2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2-3-2 離散型隨機(jī)變量的方差隨堂達(dá)標(biāo)驗(yàn)收 新人教A版選修2-3.doc
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2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2-3-2 離散型隨機(jī)變量的方差隨堂達(dá)標(biāo)驗(yàn)收 新人教A版選修2-3.doc
2-3-2 離散型隨機(jī)變量的方差
1.牧場(chǎng)有10頭牛,因誤食含有病毒的飼料而被感染,已知該病的發(fā)病率為0.02,設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ,則D(ξ)等于( )
A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804
[解析] ∵ξ~B(10,0.02),∴D(ξ)=100.02(1-0.02)=0.196.
[答案] C
2.投擲一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為ξ,則( )
A.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.52 B.E(ξ)=3.5,D(ξ)=
C.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.5 D.E(ξ)=3.5,D(ξ)=
[解析] ∵P(ξ=k)=,k=1,2,3,4,5,6,
∴E(ξ)=(1+2+3+…+6)=3.5,
E(ξ2)=(12+22+…+62)=,
∴D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=-=.
[答案] B
3.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,則p=________.
[解析] 由得p=.
[答案]
4.隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.P(ξ=0)=,E(ξ)=1,則D(ξ)=________.
[解析] 由題意設(shè)P(ξ=1)=p,則ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
p
-p
由E(ξ)=1,可得p=,所以D(ξ)=12+02+12=.
[答案]
課內(nèi)拓展 課外探究
1.常用分布的方差
(1)兩點(diǎn)分布:若X服從兩點(diǎn)分布,則D(X)=p(1-p).
注意:上述公式證明如下:
由于X服從兩點(diǎn)分布,即P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,
∴E(X)=p,E(X2)=02(1-p)+12p=p,
∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=p-p2=p(1-p).
(2)二項(xiàng)分布:若X~B(n,p),則D(X)=np(1-p).
注意:上述結(jié)論證明如下:
∵X~B(n,p),令q=1-p,則P(X=i)=Cpiqn-i,
∴E(X2)=2Cpiqn-i
=(i-1)Cpiqn-i+Cpiqn-i
=(i-1)Cpiqn-i+E(X)
=n(n-1)p2pi-2q(n-2)-(i-2)+E(X)
=n(n-1)p2pjq(n-2)-j+E(X)
=n(n-1)p2(p+q)n-2+E(X)
=n(n-1)p2+E(X)
=n(n-1)p2+np,
∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=n(n-1)p2+np-(np)2=np-np2=npq.
故D(X)=np(1-p).
(3)超幾何分布:若隨機(jī)變量X服從超幾何分布,即X~H(N,M,n),則
D(X)=.
某人投籃命中的概率為p=0.4.
(1)求投籃一次,命中次數(shù)X的均值和方差;
(2)求重復(fù)10次投籃時(shí)命中次數(shù)Y的均值和方差.
[解] (1)X的分布列為
X
0
1
P
0.6
0.4
E(X)=00.6+10.4=0.4.
D(X)=(0-0.4)20.6+(1-0.4)20.4=0.24.
(2)由題意知,命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布,
即Y~B(10,0.4),
∴E(Y)=np=100.4=4,
D(Y)=100.40.6=2.4.
[點(diǎn)評(píng)] 由隨機(jī)變量的方差的計(jì)算公式可知,欲求隨機(jī)變量的方差應(yīng)先求該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.若該隨機(jī)變量服從一些特殊的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布),可以直接利用已知的公式進(jìn)行計(jì)算.
2.方差的求法
(1)定義法
求離散型隨機(jī)變量的方差的步驟:①明確隨機(jī)變量的取值,以及取每個(gè)值的試驗(yàn)結(jié)果;②求出隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率;③列出分布列;④利用公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn求出隨機(jī)變量的期望E(X);⑤代入公式D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xi-E(X))2pi+…+(xn-E(X))2pn求出方差D(X);⑥代入公式σ(X)=求出隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差σ.
(2)利用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2求方差
公式D(X)=E(X2)-(E(X))2的證明如下:
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=(xp1+xp2+…+xpn)+2E(X)(x1p1+x2p2+…+xnpn)+(E(X))2(p1+p2+…+pn)=E(X2)-2(E(X))2+(E(X))2=E(X2)-(E(X))2.
利用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2可以簡(jiǎn)化求方差的過(guò)程.
盒子中有5個(gè)球,其中3個(gè)白球,2個(gè)黑球,從中任取兩個(gè)球,求取出白球的個(gè)數(shù)的期望和方差.
[解] 取出白球個(gè)數(shù)ξ的可能取值為0,1,2.
ξ=0表示取出的兩個(gè)球都是黑球,P(ξ=0)==;
ξ=1表示取出的兩個(gè)球一個(gè)黑球,一個(gè)白球,P(ξ=1)==;
ξ=2表示取出的兩個(gè)球都是白球,P(ξ=2)==,于是:
E(ξ)=0+1+2=1.2,
D(ξ)=(0-1.2)2+(1-1.2)2+(2-1.2)2=0.36,
或E(ξ2)=02+12+22=1.8,
D(ξ)=E(ξ)2-(E(ξ))2=1.8-1.22=0.36.
[點(diǎn)評(píng)] 求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差,往往先求概率分布,再根據(jù)定義求解,在方差的計(jì)算過(guò)程中,利用D(ξ)=E(ξ)2-(E(ξ))2計(jì)算方差要簡(jiǎn)便一些.
設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為
ξ
1
2
…
n
P
…
求D(X).
[解] 解法一:E(X)=1+2+…+n=(1+2+…+n)==,
于是,有
D(X)=2+2+…+2==.
解法二:由解法一可求得E(X)=.
又E(X2)=12+22+…+n2=(12+22+…+n2)=.
∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=-=.
[點(diǎn)評(píng)] 本例的解法二比解法一簡(jiǎn)捷得多,這是因?yàn)楣紻(X)=E(X2)-(E(X))2是由公式D(X)=(xi-E(X))2pi展開(kāi)并化簡(jiǎn)后得到的結(jié)論,因此利用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2來(lái)計(jì)算D(X)就避免了用公式D(X)=(xi-E(X))2pi的復(fù)雜的展開(kāi)、化簡(jiǎn)過(guò)程.
當(dāng)隨機(jī)變量X為n(不是具體的數(shù)值)個(gè)時(shí),在計(jì)算E(X)及D(X)時(shí),應(yīng)把“n”當(dāng)作常量來(lái)計(jì)算.