高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 平面向量教案 蘇教版
考綱導(dǎo)讀
平面向量
1.理解向量的概念,掌握向量的幾何表示,了解共線向量的概念.
2.掌握向量的加法和減法的運算法則及運算律.
3.掌握實數(shù)與向量的積的運算法則及運算律,理解兩個向量共線的充要條件.
4.了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐標的概念,掌握平面向量的坐標運算.
5.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件.
6.掌握平面兩點間的距離公式以及線段的定比分點和中點坐標公式,并且能熟練運用;掌握平移公式.
7.掌握正、余弦定理,并能初步運用它們解斜三角形.
高考導(dǎo)航
知識網(wǎng)絡(luò)
向量由于具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”,使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點,成為多項內(nèi)容的媒介.
主要考查:
1.平面向量的性質(zhì)和運算法則,共線定理、基本定理、平行四邊形法則及三角形法則.
2.向量的坐標運算及應(yīng)用.
3.向量和其它數(shù)學(xué)知識的結(jié)合.如和三角函數(shù)、數(shù)列、曲線方程等及向量在物理中的應(yīng)用.
4.正弦定理、余弦定理及利用三角公式進行恒等變形的能力.以化簡、求值或判斷三角形的形狀為主.解三角形常常作為解題工具用于立體幾何中的計算或證明.
第1課時 向量的概念與幾何運算
基礎(chǔ)過關(guān)
1.向量的有關(guān)概念
⑴ 既有 又有 的量叫向量.
的向量叫零向量. 的向量,叫單位向量.
⑵ 叫平行向量,也叫共線向量.規(guī)定零向量與任一向量 .
⑶ 且 的向量叫相等向量.
2.向量的加法與減法
⑴ 求兩個向量的和的運算,叫向量的加法.向量加法按 法則或 法則進行.加法滿足 律和 律.
⑵ 求兩個向量差的運算,叫向量的減法.作法是將兩向量的 重合,連結(jié)兩向量的 ,方向指向 .
3.實數(shù)與向量的積
⑴ 實數(shù)與向量的積是一個向量,記作.它的長度與方向規(guī)定如下:
① | |= .
② 當>0時,的方向與的方向 ;
當<0時,的方向與的方向 ;
當=0時, .
⑵ (μ)= .
(+μ)= .
(+)= .
⑶ 共線定理:向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ使得 .
4.⑴ 平面向量基本定理:如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)、,使得 .
⑵ 設(shè)、是一組基底,=,=,則與共線的充要條件是 .
典型例題
例1.已知△ABC中,D為BC的中點,E為AD的中點.設(shè),,求.
解:=-=(+)-=-+
變式訓(xùn)練1.如圖所示,D是△ABC邊AB上的中點,則向量等于( )
A
D
B
C
A.-+
B.--
C.-
D.+
解:A
例2. 已知向量,,,其中、不共線,求實數(shù)、,使.
解:=λ+μ2-9=(2λ+2μ)+(-3λ+3μ)2λ+2μ=2,且-3λ+3μ=-9λ=2,且μ=-1
變式訓(xùn)練2:已知平行四邊形ABCD的對角線相交于O點,點P為平面上任意一點,求證:
證明 +=2,+=2+++=4
例3. 已知ABCD是一個梯形,AB、CD是梯形的兩底邊,且AB=2CD,M、N分別是DC和AB的中點,若,,試用、表示和.
解:連NC,則;
B
O
A
D
C
N
M
變式訓(xùn)練3:如圖所示,OADB是以向量=,=為鄰邊的平行四邊形,又=,=,試用、表示,,.
解:=+,=+,
=-
例4. 設(shè),是兩個不共線向量,若與起點相同,t∈R,t為何值時,,t,(+)三向量的終點在一條直線上?
解:設(shè) (∈R)化簡整理得:
∵,∴
故時,三向量的向量的終點在一直線上.
變式訓(xùn)練4:已知,設(shè),如果
,那么為何值時,三點在一條直線上?
解:由題設(shè)知,,三點在一條
直線上的充要條件是存在實數(shù),使得,即,
整理得.
①若共線,則可為任意實數(shù);
②若不共線,則有,解之得,.
綜上,共線時,則可為任意實數(shù);不共線時,.
小結(jié)歸納
1.認識向量的幾何特性.對于向量問題一定要結(jié)合圖形進行研究.向量方法可以解決幾何中的證明.
2.注意與O的區(qū)別.零向量與任一向量平行.
3.注意平行向量與平行線段的區(qū)別.用向量方法證明AB∥CD,需證∥,且AB與CD不共線.要證A、B、C三點共線,則證∥即可.
4.向量加法的三角形法則可以推廣為多個向量求和的多邊形法則,特點:首尾相接首尾連;向量減法的三角形法則特點:首首相接連終點.
第2課時 平面向量的坐標運算
基礎(chǔ)過關(guān)
1.平面向量的坐標表示
分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量、作為基底,對于一個向量,有且只有一對實數(shù)x、y,使得=x+y.我們把(x、y)叫做向量的直角坐標,記作 .并且||= .
2.向量的坐標表示與起點為 的向量是一一對應(yīng)的關(guān)系.
3.平面向量的坐標運算:
若=(x1、y1),=(x2、y2),λ∈R,則:
+=
-=
λ=
已知A(x1、y1),B(x2、y2),則= .
4.兩個向量=(x1、y1)和=(x2、y2)共線的充要條件是 .
典型例題
例1.已知點A(2,3),B(-1,5),且=,求點C的坐標.
解==(-1,),==(1, ),即C(1, )
變式訓(xùn)練1.若,,則= .
解: 提示:
例2. 已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),|-|=,求cos(α-β)的值.
解:|-|==cos=cos(α-β)=
變式訓(xùn)練2.已知-2=(-3,1),2+=(-1,2),求+.
解 =(-1,1),=(1,0),∴+=(0,1)
例3. 已知向量=(1, 2),=(x, 1),=+2,=2-,且∥,求x.
解:=(1+2x,4),=(2-x,3),∥3(1+2x)=4(2-x)x=
變式訓(xùn)練3.設(shè)=(ksinθ, 1),=(2-cosθ, 1) (0 <θ<π),∥,求證:k≥.
證明: k= ∴k-=≥0 ∴k≥
A
M
B
C
D
P
例4. 在平行四邊形ABCD中,A(1,1),=(6,0),點M是線段AB的中點,線段CM與BD交于點P.
(1) 若=(3,5),求點C的坐標;
(2) 當||=||時,求點P的軌跡.
解:(1)設(shè)點C的坐標為(x0,y0),
得x0=10 y0=6 即點C(10,6)
(2) ∵ ∴點D的軌跡為(x-1)2+(y-1)2=36 (y≠1)
∵M為AB的中點 ∴P分的比為
設(shè)P(x,y),由B(7,1) 則D(3x-14,3y-2)
∴點P的軌跡方程為
變式訓(xùn)練4.在直角坐標系x、y中,已知點A(0,1)和點B(-3,4),若點C在∠AOB的平分線上,且||=2,求的坐標.
解 已知A (0,1),B (-3,4) 設(shè)C (0,5),
D (-3,9)
則四邊形OBDC為菱形 ∴∠AOB的角平分線是菱形OBDC的對角線OD
∵
∴
小結(jié)歸納
1.認識向量的代數(shù)特性.向量的坐標表示,實現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的互相轉(zhuǎn)化.以向量為工具,幾何問題可以代數(shù)化,代數(shù)問題可以幾何化.
2.由于向量有幾何法和坐標法兩種表示方法,所以我們應(yīng)根據(jù)題目的特點去選擇向量的表示方法,由于坐標運算方便,可操作性強,因此應(yīng)優(yōu)先選用向量的坐標運算.
第3課時 平面向量的數(shù)量積
基礎(chǔ)過關(guān)
1.兩個向量的夾角:已知兩個非零向量和,過O點作=,=,則∠AOB=θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量與的 .當θ=0°時,與 ;當θ=180°時,與 ;如果與的夾角是90°,我們說與垂直,記作 .
2.兩個向量的數(shù)量積的定義:已知兩個非零向量與,它們的夾角為θ,則數(shù)量 叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作·,即·= .規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0.若=(x1, y1),=(x2, y2),則·= .
3.向量的數(shù)量積的幾何意義:
||cosθ叫做向量在方向上的投影 (θ是向量與的夾角).
·的幾何意義是,數(shù)量·等于 .
4.向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)、都是非零向量,是單位向量,θ是與的夾角.
⑴ ·=·=
⑵ ⊥
⑶ 當與同向時,·= ;當與反向時,·= .
⑷ cosθ= .
⑸ |·|≤
5.向量數(shù)量積的運算律:
⑴ ·= ;
⑵ (λ)·= =·(λ)
⑶ (+)·=
典型例題
例1. 已知||=4,||=5,且與的夾角為60°,求:(2+3)·(3-2).
解:(2+3)(3-2)=-4
變式訓(xùn)練1.已知||=3,||=4,|+|=5,求|2-3|的值.
解:
例2. 已知向量=(sin,1),=(1,cos),-.
(1) 若a⊥b,求;
(2) 求|+|的最大值.
解:(1)若,則
即 而,所以
(2)
當時,的最大值為
變式訓(xùn)練2:已知,,其中.
(1)求證: 與互相垂直;
(2)若與的長度相等,求的值(為非零的常數(shù)).
證明:
與互相垂直
(2),
,
,,
而
,
例3. 已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點,且滿足(-)·(+-2)=0,判斷△ABC是哪類三角形.
解:設(shè)BC的中點為D,則()()=02·=0BC⊥AD△ABC是等腰三角形.
變式訓(xùn)練3:若,則△ABC的形狀是 .
解: 直角三角形.提示:
例4. 已知向量=(cosθ, sinθ)和=(-sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且||=,求cos()的值.
解:=(cosθ-sinθ+, cosθ+sinθ)由已知(cosθ-sinθ+)2+(cosθ+sinθ)2=
化簡:cos
又cos2
∵θ∈(π, 2π) ∴cos<0
∴cos=-
變式訓(xùn)練4.平面向量,若存在不同時為的實數(shù)和,使,且,試求函數(shù)關(guān)系式.
解:由得
小結(jié)歸納
1.運用向量的數(shù)量積可以解決有關(guān)長度、角度等問題.因此充分挖掘題目所包含的幾何意義,往往能得出巧妙的解法.
2.注意·與ab的區(qū)別.·=0≠>=,或=.
3.應(yīng)根據(jù)定義找兩個向量的夾角。對于不共起點的兩個向量,通過平移,使起點重合.
第4課時 線段的定比分點和平移
基礎(chǔ)過關(guān)
1. 設(shè)P1P2是直線L上的兩點,點P是L上不同于P1、P2的任意一點,則存在一個實數(shù)λ使=λ,λ叫做 .
2.設(shè)P1(x1、y1),P2(x2、y2),點P(x、y)分的比是λ時,定比分點坐標公式為:
,中點坐標公式: 。
3. 平移公式:將點P(x、y)按向量=(h、k)平移得到點P'(x',y'),則 .
典型例題
例1. 已知點A(-1, -4),B(5, 2),線段AB上的三等分點依次為P1、P2,求P1、P2的坐標及A、B分所成的比.
解 ⑴ P1(x-2) P2(3, 0) (2) -, -2
變式訓(xùn)練1.設(shè)|AB|=5,點p在直線AB上,且|PA|=1,則p分所成的比為 .
解:
例2. 將函數(shù)y=2sin(2x+)+3的圖象C進行平移后得到圖象C',使C上面的一點P(、2)移至點P'(、1),求圖像C'對應(yīng)的函數(shù)解析式.
解: C':y=2sin(2x+)+2
變式訓(xùn)練2:若直線2x-y+c=0按向量=(1, -1)平移后與圓x2+y2=5相切,則c的值為 ( )
A.8或-2 B.6或-4
C.4或-6 D.2或-8
解: A
例3. 設(shè)=(sinx-1, cosx-1),,f (x)=,且函數(shù)y=f (x)的圖象是由y=sinx的圖象按向量平移而得,求.
解:=(-) (k∈z)
變式訓(xùn)練3:將y=sin2x的圖象向右按作最小的平移,使得平移后的圖象在[kπ+, kπ+π] (k∈Z)上遞減,則= .
解:(,0)
例4. 已知△ABC的頂點A(0、0),B(4、8),C(6、-4),點M內(nèi)分所成的比為3,N是AC邊上的一點,且△AMN的面積等于△ABC的面積的一半,求N點的坐標.
解:由=
得
∴ N(4,-)
變式訓(xùn)練4.已知△ABC的三個頂點為A(1,2),B(4,1),C(3,4).
(1)求AB邊上的中線CM的長及重心G的坐標;
(2)在AB上取一點P,使過P且平行于BC的直線PQ把△ABC的面積分成4︰5兩部分(三角形面積:四邊形面積),求點P的坐標
解:
小結(jié)歸納
1.在運用線段定比分點公式時,首先要確定有向線段的起點、終點和分點,再結(jié)合圖形確定分比.
2.平移公式反映了平移前的點P(x、y)和平移后的點P'(x'、y'),及向量=(h,k)三者之間的關(guān)系.它的本質(zhì)是=.平移公式與圖象變換法則,既有區(qū)別又有聯(lián)系,應(yīng)防止混淆.
平面向量章節(jié)測試題
一、選擇題
1. 若A(2,-1),B(-1,3),則的坐標是 ( )
A.(1,2) B.(-3,4) C. (3,-4) D. 以上都不對
2.與a=(4,5)垂直的向量是 ( )
A.(-5k,4k) B. (-10,2) C. () D.(5k, -4k)
3. △ABC中,=a, =b,則等于 ( )
A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a
(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)的結(jié)果是 ( )
A.ab B.0 C. a+b D. a-b
5.已知|p|=,|q|=3, p與q的夾角為,則以a=5p+2q,b=p-3q為鄰邊的平行四邊形的一條對角線長為 ( )
A.15 B.
6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐標為(2k-1,7)且p∥,則k的值為 ( )
A. B. C. D.
7. 已知△ABC的三個頂點,A、B、C及平面內(nèi)一點P滿足,則點P與△ABC的關(guān)系是 ( )
A. P在△ABC的內(nèi)部 B. P在△ABC的外部
C. P是AB邊上的一個三等分點 D. P是AC邊上的一個三等分點
8.已知△ABC的三個頂點,A (1,5),B(-2,4),C(-6,-4),M是BC邊上一點,且△ABM的面積是△ABC面積的,則線段AM的長度是 ( )
A.5 B. C. D.
1,e2是夾角為450的兩個單位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,,則|a+b|的值 ( )
A. B.9 C. D.
10.若|a|=1,|b|=,(a-b)⊥a,則a與b的夾角為 ( )
0 B.450 C.6000
11.把一個函數(shù)的圖象按向量a=(,-2)平移后,得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin(x+)-2,則原函數(shù)的解析式為 ( )
A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx
12.在△ABC中,=c, = a, =b,則下列推導(dǎo)中錯誤的是 ( )
A.若a·b<0,則△ABC為鈍角三角形 B. 若a·b=0,則△ABC為直角三角形
C. 若a·b=b·c,則△ABC為等腰三角形 D. 若c·( a+b+c)=0,則△ABC為等腰三角形
二、填空題
13.在△ABC中,已知且則這個三角形的形狀是 .
的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時河水的流速為,則船實際航行的速度的大小和方向是 .
15. 若向量,現(xiàn)用a、b表示c,則c= .
16.給出下列命題:①若a2+b2=0,則a=b=0;
②已知AB,則
③已知a,b,c是三個非零向量,若a+b=0,則|a·c|=|b·c|
④已知,e1,e2是一組基底,a=λ1e1+λ2e2則a與e1不共線,a與e2也不共線;
⑤若a與b共線,則a·b=|a|·|b|.其中正確命題的序號是 .
三、解答題
A
B
N
M
D
C
17.如圖,ABCD是一個梯形,, M、N分別是的中點,已知a,b,試用a、b表示和
1、e2=e1+e2,2e1+8e2,=3(e1-e2)
⑴求證:A、B、D共線;
⑵試確定實數(shù)k,使ke1+e2和e1+ke2共線.
19.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD.⑴求證:AB⊥AC;⑵求點D與向量的坐標.
20.已知△ABC的三個頂點為A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB邊上的中線CM的長;⑵在AB上取一點P,使過P且平行與BC的直線PQ把的面積分成4:5兩部分,求P點的坐標.
21.已知a、b是兩個非零向量,證明:當b與a+λb(λ∈R)垂直時,a+λb的模取得最小值.
22.已知二次函數(shù)f(x) 對任意x∈R,都有f (1-x)=f (1+x)成立,設(shè)向量a=(sinx,2), b=(2sinx,),
c=(cos2x,1),d=(1,2)。
(1)分別求a·b和c·d的取值范圍;
(2)當x∈[0,π]時,求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集.
平面向量章節(jié)測試題參考答案
一、BCDBA;DDADB;BD
二、4km/h,方向與水流方向的夾角為600 ; 15.a-2b ; 16.①③④
三、17.∵||=2||∴∴a,b-a , =a-b
18.⑴∵5e1+5e2= , ∴又有公共點B,∴A、B、D共線
⑵設(shè)存在實數(shù)λ使ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ且kλ=1 ∴k=
19.⑴由可知即AB⊥AC
⑵設(shè)D(x,y),∴
∵ ∴5(x-2)+5(y-4)=0
∵ ∴5(x+1)-5(y+2)=0 ∴ ∴D()
20.⑴
⑵設(shè)P(x,y)
21. 當b與a+λb(λ∈R)垂直時,b·(a+λb)=0,∴λ= -
| a+λb |==
當λ= -時,| a+λb |取得最小值.
∴當b與a+λb(λ∈R)垂直時,a+λb的模取得最小值.
22. (1)a·b=2sin2x+11 c·d=2cos2x+11
(2)∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)圖象關(guān)于x=1對稱
當二次項系數(shù)m>0時, f(x)在(1,)內(nèi)單調(diào)遞增,
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1>2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈
當二次項系數(shù)m<0時,f(x)在(1,)內(nèi)單調(diào)遞減,
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈、
故當m>0時不等式的解集為;當m<0時不等式的解集為