《隨機(jī)過程》第6章習(xí)題及參考答案

湖南大學(xué)本科課程《隨機(jī)過程》第6章習(xí)題及參考答案 主講教師：何松華 教授 1. 給定實(shí)數(shù)和一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，定義理想門限系統(tǒng)的特性為 試證：(1) ；(2) 證：(1) 在任意時(shí)刻為只有兩種取值1,0的隨機(jī)變量，則 (2)根據(jù)相關(guān)函數(shù)定義，有 2．設(shè)平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一窄帶高斯隨機(jī)過程，其概率密度函數(shù)為 在檢波器后聯(lián)接一個(gè)理想低通濾波器，求低通濾波器輸出過程的一維概率密度和均值；當(dāng)時(shí)結(jié)果有何變化。 解：根據(jù)題意，為非零均值的中頻窄帶隨機(jī)過程，可以表示為： 其中、為零均值窄帶隨機(jī)過程的同向分量以及正交分量，都服從均值為0、方差為的正態(tài)分布，且在同一時(shí)刻互不相關(guān)，則檢波器輸出信號(hào) 通過理想低通濾波后，濾波器輸出信號(hào)為 由于隨機(jī)變量、為互不相關(guān)(正態(tài)分布情況與獨(dú)立等價(jià))的正態(tài)隨機(jī)變量，則服從自由度為2的卡方分布，即 ，，根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度關(guān)系，的一維概率密度分布函數(shù)為 當(dāng)時(shí)，，。 3．設(shè)對(duì)稱限幅器的特性為 (1)已知輸入隨機(jī)過程的一維概率密度，求輸出隨機(jī)過程的一維概率密度。(2)當(dāng)輸入隨機(jī)過程為零均值平穩(wěn)高斯過程、自相關(guān)函數(shù)為時(shí)，求輸出過程的相關(guān)函數(shù)。 解：的概率分布函數(shù)為 顯然，在處不連續(xù)，從0跳變到，其導(dǎo)數(shù)在該處將產(chǎn)生一個(gè)強(qiáng)度為的沖激，在處也不連續(xù)，從跳變到，其導(dǎo)數(shù)在該處將產(chǎn)生一個(gè)強(qiáng)度為的沖激，則有 (2)根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義以及多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望特性，有： 式中，，根據(jù)的定義以及聯(lián)合概率密度函數(shù)的對(duì)稱性得到 4．設(shè)有理想限幅器 假定輸入為零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程。(1)求的一維概率密度和均值；(2)用Price定理證明：。 解：(1) 顯然，對(duì)任意時(shí)刻t，只有兩種可能的取值1,-1，且概率各為0.5，則 (2) 令為零均值、單位方差高斯噪聲，則，根據(jù)Price定理 上式中，令，并利用沖激函數(shù)的積分特性，得到 根據(jù)以及得到：。 5．設(shè)有零均值高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)為，它的一維概率分布函數(shù)為，定義一個(gè)無(wú)記憶非線性系統(tǒng)，試用Price定理證明的相關(guān)函數(shù)為 證：根據(jù)Price定理 其中，，，取，得到 式中，、，；上式中的積分為一個(gè)均值為0、方差為、歸一化相關(guān)函數(shù)為的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程的二維聯(lián)合概率密度分布函數(shù)的全積分，積分值為1，于是有： 顯然隨機(jī)變量的取值范圍為[-1/2,1/2]，當(dāng)在[-1/2,1/2]范圍內(nèi)變化時(shí)，其概率分布函數(shù)為 式中，為的反函數(shù)。因此，在任意時(shí)刻的概率密度分布為[-1/2,1/2]上的均勻分布，其均值為0，方差為1/12，代入或并利用或求得：，于是有： 6．平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其方差為，相關(guān)函數(shù)為，求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值及相關(guān)函數(shù)。 解：，存在兩個(gè)反函數(shù)，，則在任意時(shí)刻的概率密度函數(shù)為 根據(jù)聯(lián)合正態(tài)分布隨機(jī)變量的聯(lián)合矩函數(shù)特性 得到 7．全波線性檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其方差為，相關(guān)函數(shù)為，(1)求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值；(2)用Price定理求輸出過程的相關(guān)函數(shù)及方差。 解：(1) ，存在兩個(gè)反函數(shù)，，則在任意時(shí)刻的概率密度函數(shù)為 (2)設(shè)為零均值、單位方差、自相關(guān)函數(shù)為的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，則有，對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，其二階導(dǎo)數(shù)在處產(chǎn)生一個(gè)強(qiáng)度為的沖激，其余處的二階導(dǎo)數(shù)值為0，則根據(jù)Price定理得到： 根據(jù)分部積分性質(zhì)，得到 顯然，的均方值與的均方值相同，代入、以及、得到：，于是有： 8．半波線性檢波器的傳輸特性為 在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其方差為，相關(guān)函數(shù)為，(1)求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值；(2)用Price定理求輸出過程的相關(guān)函數(shù)及方差。 解：(1) 在任意時(shí)刻的概率分布函數(shù)為 (2)設(shè)為零均值、單位方差、自相關(guān)函數(shù)為的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，則有，對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，其二階導(dǎo)數(shù)在處產(chǎn)生一個(gè)強(qiáng)度為的沖激，其余處的二階導(dǎo)數(shù)值為0，則根據(jù)Price定理得到： 根據(jù)分部積分性質(zhì)，得到 代入、以及、得到：、，于是有： 9．圖示非線性系統(tǒng)。輸入為零均值、功率譜密度為的高斯白噪聲，求輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。 解：根據(jù)電路方程容易得到RC低通濾波器的傳遞函數(shù)為 式中，，則根據(jù)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)理論，低通濾波器輸出過程的功率譜密度函數(shù)為 根據(jù)典型傅立葉變換對(duì)關(guān)系得到低通濾波器輸出過程的自相關(guān)函數(shù)為 由于為零均值平穩(wěn)高斯過程，則也為零均值平穩(wěn)高斯過程，方差，則根據(jù)題6給出的平方律檢波器的輸入輸出過程相關(guān)函數(shù)的關(guān)系(證明過程省略)得到： 根據(jù)典型傅立葉變換關(guān)系得到檢波器輸出過程的功率譜密度函數(shù)為 10．設(shè)隨機(jī)變量和是零均值、方差為的聯(lián)合高斯隨機(jī)變量，其概率密度分布函數(shù)分別為和，且，證明： 證：根據(jù)高斯分布以及聯(lián)合高斯分布隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)特性以及多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望性質(zhì)，并令，有 令、、 ，則有(參見題5) ，證畢。 11．設(shè)功率譜密度為的白噪聲通過一個(gè)物理帶寬為的理想低通濾波器，在低通濾波器后接一個(gè)傳輸特性為的平方律檢波器，求檢波器輸出隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，并將功率譜密度函數(shù)用圖表示。 解：理想低通濾波器輸出信號(hào)的功率譜密度函數(shù)為 根據(jù)相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間傅立葉變換關(guān)系，得到理想低通濾波器輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為 根據(jù)題6給出的平方律檢波器的輸入輸出過程相關(guān)函數(shù)的關(guān)系(證明過程省略)得到： 根據(jù)傅立葉變換性質(zhì)，有： 根據(jù)卷積原理，寬度為、高度為1的矩形函數(shù)的卷積為寬度為、高度為的三角函數(shù)，則寬度為、高度為的矩形函數(shù)的卷積為寬度為、高度為的三角函數(shù)，則 輸出過程的功率譜密度函數(shù)如下圖所示。 12．設(shè)為均值為、相關(guān)函數(shù)為的平穩(wěn)高斯過程，將其加入到模型為 的理想限幅器輸入端，求限幅器輸出過程的自相關(guān)函數(shù)。 解：令為零均值、單位方差高斯噪聲，則，令，根據(jù)Price定理，有： 上式中，令，并利用沖激函數(shù)的積分特性，得到 令 式中，為函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)的值，則有 式中 13．平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一窄帶隨機(jī)信號(hào)，其中包絡(luò)服從瑞利分布 求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值和方差。 解：根據(jù)窄帶隨機(jī)過程理論，當(dāng)包絡(luò)服從參數(shù)為的瑞利分布、相位服從[-p,p]上的均勻分布，且、相互獨(dú)立時(shí)，窄帶隨機(jī)過程服從均值為0、方差為的正態(tài)分布[證明過程參見第2章15題，或構(gòu)造兩外一個(gè)隨機(jī)變量，根據(jù)多維隨機(jī)變量的多維函數(shù)的聯(lián)合概率密度特性得到] 根據(jù)函數(shù)關(guān)系得到檢波器輸出過程的一維概率密度為 的均值、方差分別為 14．同步檢波器如下圖所示，設(shè)為窄帶平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，其相關(guān)函數(shù)為 求檢波器輸出端的相關(guān)函數(shù)及平均功率。 解：(由相關(guān)函數(shù)知該窄帶隨機(jī)過程的物理功率譜密度不是關(guān)于對(duì)稱的，但不改變窄帶信號(hào)的希爾伯特特性)將窄帶隨機(jī)過程表示為 忽略符號(hào)特性(不改變相關(guān)函數(shù)及功率特性)，則理想低通濾波器輸出信號(hào)可以表示為 式中，為窄帶隨機(jī)過程的包絡(luò)，為窄帶隨機(jī)過程的正交分量。根據(jù)窄帶隨機(jī)過程理論，的相關(guān)函數(shù)為 式中，表示表示Hilbert變換。的平均功率 對(duì)于窄帶隨機(jī)過程，可以進(jìn)行近似計(jì)算。令，則有 則功率譜的基帶部分(非對(duì)稱) 所對(duì)應(yīng)的相關(guān)函數(shù)為 根據(jù)希爾伯特變換原理以及傅立葉變換性質(zhì)可知 15．設(shè)全波線性檢波器的傳輸特性為，檢波器的輸入為，其中為直流電平信號(hào)，為零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其方差為，求檢波器輸入、輸出端的信噪比(考慮高信噪比情況)。 解：輸入端的信號(hào)平均功率以及噪聲平均功率分別為、，則檢波器輸入端信噪比為 在高信噪比情況下，全波線性檢波器的輸出信號(hào)可以近似表示為 式中，第1項(xiàng)為輸出信號(hào)，平均功率為，第2項(xiàng)為輸出噪聲，其平均功率為，第3項(xiàng)為信號(hào)與噪聲的耦合項(xiàng)，平均功率為，一般將其作為噪聲功率看待，則輸出信噪比為