新編高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)作業(yè)：第十章 計(jì)數(shù)原理 第三節(jié)　二項(xiàng)式定理 Word版含解析

第三節(jié)　二項(xiàng)式定理 A組　基礎(chǔ)題組 1.(20xx四川,2,5分)在x(1+x)6的展開式中,含x3項(xiàng)的系數(shù)為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.30 B.20 C.15 D.10 2.二項(xiàng)式x+2x2n的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中常數(shù)項(xiàng)是(　　) A.180 B.90 C.45 D.360 3.在ax6+bx4的展開式中,如果x3的系數(shù)為20,那么ab3=(　　) A.20 B.15 C.10 D.5 4.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A.1或3 B.-3 C.1 D.1或-3 5.(20xx湖北,3,5分)已知(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為(　　) A.212 B.211 C.210 D.29 6.(20xx北京昌平期末)在2x2-1x6的展開式中,常數(shù)項(xiàng)是　　　　.(用數(shù)字作答)  7.已知x2+1xn的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32,則展開式中x4的系數(shù)為　　　　.  8.(1+3x)61+14x10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為　　　　.  9.已知(a2+1)n的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和等于165x2+1x5的展開式的常數(shù)項(xiàng),而(a2+1)n的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)等于54,求a的值. 10.已知函數(shù)f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n(n≥3). (1)求展開式中x2的系數(shù); (2)求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和. B組　提升題組 11.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a1+2a2+3a3+4a4+5a5=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.32 B.-1 C.10 D.1 12.(20xx福建廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)等聯(lián)考)在1+x+1x201510的展開式中,含x2的項(xiàng)的系數(shù)為(　　) A.10 B.30 C.45 D.120 13.若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5為實(shí)數(shù),則a3=　　　　.  14.(20xx河北保定期末)若a=-蟺2?€2cosxdx,則xa+1x+24的展開式中常數(shù)項(xiàng)為　　　　.  15.在(2x-3y)10的展開式中,求: (1)二項(xiàng)式系數(shù)的和; (2)各項(xiàng)系數(shù)的和; (3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和; (4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和. 16.(20xx吉林長春檢測)已知二項(xiàng)式12+2xn. (1)若展開式中第5項(xiàng),第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù); (2)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79,求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).  答案全解全析 A組　基礎(chǔ)題組 1.C　在(1+x)6的展開式中,含x2的項(xiàng)為T3=C62·x2=15x2,故在x(1+x)6的展開式中,含x3的項(xiàng)的系數(shù)為15. 2.A　由二項(xiàng)展開式中系數(shù)的性質(zhì),得n=10,∴Tr+1=C10r·(x)10-r2x2r=2rC10r·x5-52r,令5-52r=0,則r=2,從而展開式的常數(shù)項(xiàng)是T3=4C102=180. 3.D　展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C4ra4-rbrx24-7r,令24-7r=3,得r=3,則C43ab3=20,∴ab3=5. 4.D　令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6.又a1+a2+a3+…+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴1+m=±2,∴m=1或m=-3. 5.D　∵(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為Cn3,Cn7,∴Cn3=Cn7,得n=10. ∵C100+C101+C102+C103+…+C1010=210, 又C100+C102+…+C1010=C101+C103+…+C109, ∴奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C100+C102+…+C1010=29. 6.答案　60 解析　展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6r(2x2)6-r·-1xr=(-1)r·26-r·C6r·x12-3r,令12-3r=0,得r=4,∴常數(shù)項(xiàng)是T5=22×C64=60. 7.答案　10 解析　令x=1,得2n=32,所以n=5,則展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5r(x2)5-r1xr=C5rx10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以展開式中x4的系數(shù)為C52=10. 8.答案　4246 解析　分別求兩個(gè)因式的通項(xiàng):Tr+1=C6rxr3,Tr'+1=C10r'x-r'4,由C6rxr3·C10r'x-r'4=C6rC10r'xr3-r'4,令r3-r'4=0,又0≤r≤6,0≤r'≤10,且r、r'為整數(shù),解得r=r'=0,或r=3且r'=4,或r=6且r'=8. ∴常數(shù)項(xiàng)為1+C63C104+C66C108=4246. 9.解析　165x2+1x5的展開式的通項(xiàng)為 Tr+1=C5r165x25-r1xr=1655-r·C5r·x20-5r2, 令20-5r2=0,得r=4, 所以常數(shù)項(xiàng)為T5=C54×165=16. 又(a2+1)n的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和等于2n, 所以2n=16,n=4, 所以(a2+1)4的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是T3=C42a4=54, 所以a=±3. 10.解析　(1)展開式中x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2 =C33+C32+C42+…+Cn2 =C43+C42+…+Cn2 =C53+C52+…+Cn2 =…=Cn+13==n(n+1)(n-1)6. (2)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為f(1)=2+22+23+…+2n=2(1-2n)1-2=2n+1-2. B組　提升題組 11.C　原等式兩邊求導(dǎo)得10(2x-3)4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=10.故選C. 12.C　因?yàn)?+x+1x201510=(1+x)+1x201510=(1+x)10+C101(1+x)91x2015+…+C10101x201510,所以x2項(xiàng)只能在(1+x)10的展開式中出現(xiàn),所以含x2的項(xiàng)為C102x2,系數(shù)為C102=45.故選C. 13.答案　10 解析　由于f(x)=x5=(1+x)-1]5,所以a3=C52(-1)2=10. 14.答案　352 解析　∵a=-蟺2?€2cosxdx=20蟺2cosxdx =2sinx=2sin=2, ∴xa+1x+24=x2+1x+24 =x2+1x+24, 通項(xiàng)公式為Tr+1=C4rx2+1x4-r·(2)r. 當(dāng)r=0,2,4時(shí)才會(huì)有常數(shù)項(xiàng), 故展開式的常數(shù)項(xiàng)為C40C42x221x2+C42·C21·x2·1x·(2)2+C44(2)4=32+12+4=352. 15.解析　(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和為C100+C101+…+C1010=210. (2)令x=y=1,則各項(xiàng)系數(shù)和為(2-3)10=(-1)10=1. (3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C100+C102+…+C1010=29, 偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C101+C103+…+C109=29. (4)設(shè)(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10, 令x=y=1,得a0+a1+a2+…+a10=1,① 令x=1,y=-1(或x=-1,y=1), 得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,② ①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510, ∴奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為1+5102; ①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510, ∴偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為1-5102. 16.解析　(1)由題意知Cn4+Cn6=2Cn5,∴n2-21n+98=0, ∴n=7或n=14. 當(dāng)n=7時(shí),展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5, T4的系數(shù)為C7312423=352, T5的系數(shù)為C7412324=70. 當(dāng)n=14時(shí),展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8, T8的系數(shù)為C14712727=3432. (2)由題意知Cn0+Cn1+Cn2=79,∴n2+n-156=0. ∴n=12或n=-13(舍去). 設(shè)Tk+1項(xiàng)的系數(shù)最大, ∵12+2x12=1212(1+4x)12, ∴ ∴9.4≤k≤10.4,又k為整數(shù),∴k=10. ∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11, T11=C1210·122·210·x10=16896x10.