新版一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第九章 第十節(jié)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 Word版含解析

1 1 一、填空題 1．直線x＝1與橢圓x2＋＝1的位置關(guān)系是________． 解析：∵橢圓x2＋＝1的短半軸b＝1，故直線x＝1與橢圓相切． 答案：相切 2．若直線y＝kx－2與拋物線y2＝8x交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k＝________. 解析：由，消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故Δ＝[－4(k＋2)]2－4k2×4＝64(1＋k)>0，解得k>－1，且x1＋x2＝＝4，解得k＝－1或k＝2，故k＝2. 答案：2 3．若直線y＝kx與雙曲線－＝1相交，則k的取值范圍為________． 解析：雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，若直線與雙曲線相交，結(jié)合斜率的變化情況可知k∈(－，)． 答案：(－，) 4．已知F1、F2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．在△AF1B中，若有兩邊之和為10，則第三邊的長(zhǎng)度是________． 解析：∵△AF1B的周長(zhǎng)為4a，且a＝4， ∴第三邊的長(zhǎng)度為4×4－10＝6. 答案：6 5．斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為________． 解析：設(shè)橢圓與直線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)， 由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0. 則有x1＋x2＝－t，x1x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝·＝， 當(dāng)t＝0時(shí)，|AB|max＝. 答案： 6．已知直線l與橢圓x2＋2y2＝2交于P1、P2兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線l的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值等于________． 解析：設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P(，)， k2＝，k1＝，k1k2＝. 由相減得y－y＝－(x－x)． 故k1k2＝－. 答案：－ 7．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則以F為圓心、AB為直徑的圓的方程是________． 解析：由y2＝4x，得p＝2，F(xiàn)(1,0)， ∴A(1,2)，B(1，－2)， ∴所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝4. 答案：(x－1)2＋y2＝4 8．過橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為________． 解析：該橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)， 則該直線方程是x＝y(tǒng)＋1， 代入橢圓方程得3y2＋2y－8＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝－，y1·y2＝－， 則△OAB的面積為 S＝|OF||y1－y2|＝ ＝ ＝＝. 答案： 9．若斜率為的直線l與橢圓＋＝1(a>b>0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為________． 解析：由題意易知兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－c，c，縱坐標(biāo)分別為－，，所以由＝?2b2＝ac＝2(a2－c2)，即2e2＋e－2＝0，解得e＝(負(fù)根舍去)． 答案： 二、解答題 10．已知橢圓C1：＋＝1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，又拋物線C2：y2＝4mx(m>0)與橢圓C1有公共焦點(diǎn)F2(1,0)． (1)求橢圓和拋物線的方程； (2)設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F1且與拋物線交于不同兩點(diǎn)P、Q且滿足＝λ.求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 解析：(1)橢圓中c＝1，e＝，所以a＝2，b＝＝，橢圓方程為＋＝1. 拋物線中m＝＝1，所以拋物線方程為y2＝4x. (2)設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，和拋物線方程聯(lián)立得 消去y整理得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，因?yàn)橹本€和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以 解得－1<k<1且k≠0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1. 又＝λ，所以又y2＝4x，由此得4x1＝λ24x2，即x1＝λ2x2， 由x1x2＝1解得x2＝，x1＝λ， 又x1＋x2＝＝－2，所以λ＋＝－2. 又因?yàn)?<k2<1，所以λ＋＝－2>2. 解得λ>0且λ≠1. 11．設(shè)拋物線過定點(diǎn)A(－1,0)，且以直線x＝1為準(zhǔn)線． (1)求拋物線頂點(diǎn)的軌跡C的方程； (2)若直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN恰被直線x＝－平分，設(shè)弦MN的垂直直平分線的方程為y＝kx＋m，試求m的取值范圍． 解析：(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P(x，y)，由拋物線的性質(zhì)可得其焦點(diǎn)F(2x－1，y)，再根據(jù)拋物線的定義得|AF|＝2，即(2x)2＋y2＝4，所以軌跡C的方程為x2＋＝1. (2)設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P(－，y0)，則由點(diǎn)M，N為橢圓上的點(diǎn)，可知： 兩式相減，得 4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0， 將xM＋xN＝2×(－)＝－1，yM＋yN＝2y0， ＝－代入上式得k＝－. 又點(diǎn)P(－，y0)在弦MN的垂直平分線上， 所以y0＝－k＋m. 所以m＝y(tǒng)0＋k＝y(tǒng)0. 由點(diǎn)P(－，y0)在線段BB′上 (B′、B為直線x＝－與橢圓的交點(diǎn)，如圖所示)， 所以y′B<y0<yB， 也即－<y0<. 所以－<m<，且m≠0. 12．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且曲線過點(diǎn)(1，)． (1)求橢圓C的方程； (2)已知直線x－y＋m＝0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)不在圓x2＋y2＝內(nèi)，求m的取值范圍． 解析：(1)∵＝， ∴＝＝1－＝，∴a2＝2b2.① 曲線過(1，)，則＋＝1，② 由①②解得則橢圓方程為＋y2＝1. (2)聯(lián)立方程， 消去y整理得：3x2＋4mx＋2m2－2＝0， 則Δ＝16m2－12(2m2－2)＝8(－m2＋3)>0， 解得－<m<.③ x1＋x2＝，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝＋2m＝， 即AB的中點(diǎn)為(－，)． 又∵AB的中點(diǎn)不在x2＋y2＝內(nèi)， ∴＋＝≥. 解得m≤－1或m≥1.④ 由③④得：－<m≤－1或1≤m<.