2019-2020年高三數學《空間向量》教學設計.doc
2019-2020年高三數學《空間向量》教學設計
考綱導讀
1.理解空間向量的概念;掌握空間向量的加法、減法和數乘.
2.了解空間向量的基本定理;理解空間向量坐標的概念;掌握空間向量的坐標運算.
空間向量
定義、加法、減法、數乘運算
數量積
坐標表示:夾角和距離公式
求距離
求空間角
證明平行與垂直
3.掌握空間向量的數量積的定義及其性質;掌握用直角坐標計算空間向量數量積的公式;掌握空間兩點間的距離公式.
知識網絡
高考導航
理解空間向量的夾角的概念;掌握空間向量的數量積的概念、性質和運算律;了解空間向量的數量積的幾何意義;掌握空間向量的數量積的坐標形式;能用向量的數量積判斷向量的共線與垂直.
第1課時 空間向量及其運算
基礎過關
空間向量是平面向量的推廣.在空間,任意兩個向量都可以通過平移轉化為平面向量.因此,空間向量的加減、數乘向量運算也是平面向量對應運算的推廣.
本節(jié)知識點是:
1.空間向量的概念,空間向量的加法、減法、數乘運算和數量積;
(1) 向量:具有 和 的量.
(2) 向量相等:方向 且長度 .
(3) 向量加法法則: .
(4) 向量減法法則: .
(5) 數乘向量法則: .
2.線性運算律
(1) 加法交換律:a+b= .
(2) 加法結合律:(a+b)+c= .
(3) 數乘分配律:(a+b)= .
3.共線向量
(1)共線向量:表示空間向量的有向線段所在的直線互相 或 .
(2) 共線向量定理:對空間任意兩個向量a、b(b0),a∥b等價于存在實數,使 .
(3) 直線的向量參數方程:設直線l過定點A且平行于非零向量a,則對于空間中任意一點O,點P在l上等價于存在,使 .
4.共面向量
(1) 共面向量:平行于 的向量.
(2) 共面向量定理:兩個向量a、b不共線,則向量P與向量a、b共面的充要條件是存在實數對(),使P .
共面向量定理的推論: .
5.空間向量基本定理
(1) 空間向量的基底: 的三個向量.
(2) 空間向量基本定理:如果a,b,c三個向量不共面,那么對空間中任意一個向量p,存在一個唯一的有序實數組,使 .
空間向量基本定理的推論:設O,A,B,C是不共面的的四點,則對空間中任意一點P,都存在唯一的有序實數組,使 .
6.空間向量的數量積
(1) 空間向量的夾角: .
(2) 空間向量的長度或模: .
(3) 空間向量的數量積:已知空間中任意兩個向量a、b,則ab= .
空間向量的數量積的常用結論:
(a) cos〈a、b〉= ;
(b) a2= ;
(c) ab .
(4) 空間向量的數量積的運算律:
(a) 交換律ab= ;
(b) 分配律a(b+c)= .
典型例題
例1.已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,點F是側面CDD1C1的中心,若,求x-y的值.
解:易求得
變式訓練1. 在平行六面體中,M為AC與BD的交點,若a,b,c,則下列向量中與相等的向量是 ( )
A
B
C
D
A1
C1
B1
A.-a+b+c B.a+b+c
C.a-b+c D.-a-b+c
解:A
例2. 底面為正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D為AC的中點,
求證:AB1∥平面C1BD.
證明:記則∴,∴共面.
∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD.
變式訓練2:正方體ABCD-EFGH中,M、N分別是對角線AC和BE上的點,且AM=EN.
(1) 求證:MN∥平面FC;
(2) 求證:MN⊥AB;
(3) 當MA為何值時,MN取最小值,最小值是多少?
解:(1) 設
(2)
(3) 設正方體的邊長為a,
也即,
例3. 已知四面體ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD, G、H分別是△ABC和△ACD的重心.
求證:(1) AD⊥BC; (2) GH∥BD.
證明:(1) AD⊥BC.因為ABCD,,而.
所以AD⊥BC.
(2) 設E、F各為BC和CD的中點.欲證GH∥BD,只需證GH∥EF,=()=.
變式訓練3:已知平行六面體,E、F、G、H分別為棱的中點.求證:E、F、G、H四點共面.
解:=
===,
所以共面,即點E、F、G、H共面.
例4. 如圖,平行六面體AC1中,AE=3EA1,AF=FD,AG=,過E、F、G的平面與對角線AC1交于點P,求AP:PC1的值.
D
F
A
G
B
B1
C1
D1
A1
C
E
P
解:設
∴
又∵E、F、G、P四點共面,∴
∴ ∴AP︰PC1=3︰16
變式訓練4:已知空間四邊形OABC中,M為BC的中點,N為AC的中點,P為OA的中點,Q為OB的中點,若AB=OC,求證.
證明:法一:
故
法二:=(+)(+)
=
==0
小結歸納
1.立體幾何中有關垂直和平行的一些命題,可通過向量運算來證明.對于垂直,一般是利用a⊥bab=0進行證明.對于平行,一般是利用共線向量和共面向量定理進行證明.
2.運用向量求解距離問題,其一般方法是找出代表相應距離的線段所對向量,然后計算這個向量對應的模.而計算過程中只要運用好加法法則,就總能利用一個一個的向量三角形,將所求向量用有模和夾角的已知向量表示出來,從而求得結果.
3.利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時也很方便.其一般方法是將所求的角轉化為求兩個向量的夾角,而求兩個向量的夾角則可以利用公式cosθ=.
4.異面直線間的距離的向量求法:已知異面直線l1、l2,AB為其公垂線段,C、D分別為l1、l2上的任意一點,為與共線的向量,則||=.
5.設平面α的一個法向量為,點P是平面α外一點,且Po∈α,則點P到平面α的距離是d=.
第2課時 空間向量的坐標運算
基礎過關
設a=,b=
(1) ab=
(2) a= .
(3) ab= .
(4) a∥b ;ab .
(5) 設
則= , .
AB的中點M的坐標為 .
典型例題
例1. 若=(1,5,-1),=(-2,3,5)
(1)若(k+)∥(-3),求實數k的值;
(2)若(k+)⊥(-3),求實數k的值;
(3)若取得最小值,求實數k的值.
解:(1);
(2); (3)
變式訓練1. 已知為原點,向量∥,求.
解:設,
∵∥,∴,,
∴,即
解此方程組,得。
∴,。
x
y
z
B1
C1
A1
C
B
A
M
N
例2. 如圖,直三棱柱,底面中,CA=CB=1,,棱,M、N分別A1B1、A1A是的中點.
(1) 求BM的長;
(2) 求的值;
(3) 求證:.
解:以C為原點建立空間直角坐標系.
(1) 依題意得B(0,1,0),M(1,0,1)..
(2) 依題意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).
.
(3) 證明:依題意得C1(0,0,2),N.
變式訓練2. 在四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD為矩形,側棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E為PD的中點.
(1) 在側面PAB內找一點N,使NE⊥面PAC,并求出N點到AB和AP的距離;
(2) 求(1) 中的點N到平面PAC的距離.
A
B
C
P
E
D
解:(1) 建立空間直角坐標系A-BDP,則A、B、C、D、P、E的坐標分別是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1),依題設N(x, 0, z),則=(-x, , 1-z),由于NE⊥平面PAC,
∴
即
,即點N的坐標為(, 0, 1),
從而N到AB、AP的距離分別為1,.
(2) 設N到平面PAC的距離為d,則d=
=.
C
D
B
A
P
E
例3. 如圖,在底面是棱形的四棱錐中,,點E在上,且:=2:1.
(1) 證明 平面;
(2) 求以AC為棱,與為面的二面角的大??;
(3) 在棱PC上是否存在一點F,使∥平面?證明你的結論.
解:(1)證明略;
(2)易解得;
(3)解 以A為坐標原點,直線分別為y軸、z軸,過A點垂直于平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標系(如圖).由題設條件,相關各點的坐標為
所以,,
,設點F是棱上的點,,其中,則.令得
解得,即時,.亦即,F(xiàn)是PC的中點時,共面,又平面,所以當F是PC的中點時,∥平面.
例4. 如圖,多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEFG所截而得,其中AB=4,BC=1,BE=3,CF=4.
(1) 求和點G的坐標;
(2) 求GE與平面ABCD所成的角;
Z
A
D
G
E
F
C
B
x
y
(3) 求點C到截面AEFG的距離.
解:(1) 由圖可知:A(1,0,0),B(1,4,0),
E(1,4,3),F(xiàn)(0,4,4) ∴
又∵,設G(0,0,z),則(-1,0,z)
=(-1,0,1) ∴z=1 ∴G(0,0,1)
(2)平面ABCD的法向量
,設GE與平面ABCD成角為,則
∴
(3)設⊥面AEFG,=(x0,y0,z0)
∵⊥,⊥,而=(-1,0,1),=(0,4,3)
∴
取z0=4,則=(4,-3,4)
∵
即點C到截面AEFG的距離為.
變式訓練4. 如圖四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PG⊥平面ABCD,垂足為G,G在AD上,且PG=4,,BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中點.
(1)求異面直線GE與PC所成的角的余弦值;
P
A
G
B
C
D
F
E
(2)求點D到平面PBG的距離;
(3)若F點是棱PC上一點,且DF⊥GC,求的值.
解:(1)以G點為原點,為x軸、y軸、
z軸建立空間直角坐標系,則B(2,0,0),C(0,2,0),
P(0,0,4),故E(1,1,0),=(1,1,0), =(0,2,4)。,
∴GE與PC所成的余弦值為.
(2)平面PBG的單位法向量n=(0,1,0) .
∵,
∴點D到平面PBG的距離為n |=.
(3)設F(0,y,z),則。
∵,∴,
即,
∴ , 又,即(0,,z-4)=λ(0,2,-4), ∴z=1,
小結歸納
故F(0,,1) ,,∴。
對于以下幾類立體幾何問題:(1) 共線與共面問題;(2) 平行與垂直問題;(3) 夾角問題;(4) 距離問題;(5) 探索性問題.
運用向量來解決它們有時會體現(xiàn)出一定的優(yōu)勢.用空間向量解題的關鍵步驟是把所求向量用某個合適的基底表示,本節(jié)主要是用單位正交基底表示,就是適當地建立起空間直角坐標系,把向量用坐標表示,然后進行向量與向量的坐標運算,最后通過向量在數量上的關系反映出向量的空間位置關系,從而使問題得到解決.在尋求向量間的數量關系時,一個基本的思路是列方程,解方程.
空間向量章節(jié)測試題
1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,A A1=1,則點A到平面A1BC的距離為( )
A. B. C. D.
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,則AB1與C1B所成的角的大小為
A.60 B. 90 C.105 D. 75
3.正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F分別是AA1與CC1的中點,則直線ED與D1F所成角的大小是 ( )
A. B。 C。 D。
4. 設E,F(xiàn)是正方體AC1的棱AB和D1C1的中點,在正方體的12條面對角線中,與截面A1ECF成60角的對角線的數目是 ( )
A.0 B.2 C.4 D.6
5.棱長都為2的直平行六面體ABCD—A1B1C1D1中,∠BAD=60,則對角線A1C與側面DCC1D1所成角的正弦值為 ( )
A. B. C. D.
6. 在棱長為2的正方體中,O是底面ABCD的中心,E、F分別是、AD的中點,那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于 ( )
A. B. C. D.
7. 棱長為a的正四面體中,高為H,斜高為h,相對棱間的距離為d,則a、H、h、d的大小關系正確的是 ( )
A.a>H>h>d B.a>d>h>H C.a>h>d>H D.a>h>H>d
8.將正方形ABCD沿對角線BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,E是CD中點,則的大小為 ( )
A. B. C. D.
9.三棱錐A—BCD的高AH = 3,H是底面△BCD的重心.若AB=AC,二面角A—BC—D為60,G是△ABC的重心,則HG的長為 ( )
A. B. C. D.
10.PA,PB,PC是從P引出的三條射線,每兩條的夾角都是60,則直線PC與平面PAB所成的角的余弦值為 ( )
A. B。 C。 D。
11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,D是A1C1的中點,則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為 。
A
B
M
D
C
12。如圖,正方體的棱長為1,C、D分別是兩條棱的中點, A、B、M是頂點,那么點M到截面ABCD的距離是 .
13.正四棱錐P-ABCD的所有棱長都相等,E為PC中點,則直線AC與截面BDE所成的角為 .
14.已知邊長為的正三角形ABC中,E、F分別為BC和AC的中點,PA⊥面ABC,且PA=2,設平面過PF且與AE平行,則AE與平面間的距離為 .
A
E
D
C
B
A1
F
D1
C1
B1
15.如右下圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2.E、F分別是線段AB、BC上的點,且EB= FB=1.
(1)求二面角C-DE-C1的正切值;
(2)求直線EC1與FD1所成的余弦值.
16.如圖,三棱錐P—ABC中, PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點,且CD平面PAB.
(I) 求證:AB平面PCB;
(II) 求異面直線AP與BC所成角的大??;
(III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值.
Q
P
D
C
B
A
17.如圖所示,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.
(1)試建立適當的坐標系,并寫出點P、B、D的坐標;
(2)問當實數a在什么范圍時,BC邊上能存在點Q,
使得PQ⊥QD?
(3)當BC邊上有且僅有一個點Q使得PQ⊥QD時,
求二面角Q-PD-A的大小.
空間向量章節(jié)測試題答案
1.B。
2. B。
3. A。
4. C。提示:以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標系,并設正方體的棱長為1,則A1(1,0,0),E(1,,0),C(0,1,0).設平面A1ECF的法向量為n=(x,y,z),則由=0及=0,可得x=z=y,于是可取n=(1,,1).
,,而且可計算得到這四個向量與向量n所成的角為30,于是這四個向量與平面A1ECF所成的角為60.而其它的面對角線所在的向量均不滿足條件.
5 D。
6. C。
7. C。
8.A。
9. D。
10. D
11.。
12. 。
13.設AC與BD相交于點O,則與所成的角即∠EOC為所求.易得大小為45.
14.
15.(1)如圖,以A為原點,分別為x軸,y軸,z軸的正向建立空間直角坐標系A-xyz,則有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2).
于是,,
.
設向量與平面C1DE垂直,則有
.
∴其中z>0.
取n0=(-1,-1,2),則n0是一個與平面C1DE垂直的向量.
∵向量=(0,0,2)與平面CDE垂直,
∴n0與所成的角θ為二面角C-DE-C1的平面角.
∵,
∴.
(2)設EC1與FD1所成角為b,則
.
16. (1) ∵PC⊥平面ABC,平面ABC,
∴PCAB.∵CD平面PAB,平面PAB,
∴CDAB.又,∴AB平面PCB.
∴二面角C-PA-B的大小的余弦值為.
(2) 由(I) AB平面PCB,∵PC=AC=2,
又∵AB=BC,可求得BC=.以B為原點,
如圖建立坐標系.則A(0,,0),B(0,0,0), C(,0,0),P(,0,2).
=(,-,2),=(,0,0).
則=+0+0=2.
=== .
∴異面直線AP與BC所成的角為.
(3)設平面PAB的法向量為m= (x,y,z).=(0, -,0),=(,-,2),
則 即解得令z= -1,得 m= (,0,-1).
設平面PAC的法向量為n=(x, y, z).=(0,0,-2), =(,-,0),
則 即解得 令x=1, 得 n= (1,1,0).
z
第10題答圖
Q
P
D
C
B
A
y
x
M
N
=. ∴二面角C-PA-B的大小的余弦值為.
17.(1)以A為坐標原點,AB、AD、AP分
別為x、y、z軸建立坐標系如圖所示.
∵PA=AB=1,BC=a,
∴P(0,0,1),B(1,1,0),
D(0,a,0).
(2)設點Q(1,x,0),則
.
由,得x2-ax+1=0.
顯然當該方程有實數解時,BC邊上才存在點Q,使得PQ⊥QD,故⊿=a2-4≥0.
因a>0,故a的取值范圍為a≥0.
(3)易見,當a=2時,BC上僅有一點滿足題意,此時x=1,即Q為BC的中點.
取AD的中點M,過M作MN⊥PD,垂足為N,連結QM、QN.則M(0,1,0),P(0,0,1),D(0,2,0).
∵D、N、P三點共線,
∴.
又,且,
故.
于是.
故.
∵,
∴.
∴∠MNQ為所求二面角的平面角.
∵,
∴所求二面角為.