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新編高三數(shù)學(xué) 第56練 向量法求解立體幾何問(wèn)題練習(xí)

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新編高三數(shù)學(xué) 第56練 向量法求解立體幾何問(wèn)題練習(xí)

第56練 向量法求解立體幾何問(wèn)題 訓(xùn)練目標(biāo) 會(huì)用空間向量解決立體幾何的證明、求空間角、求距離問(wèn)題. 訓(xùn)練題型 (1)用空間向量證明平行與垂直;(2)用空間向量求空間角;(3)求長(zhǎng)度與距離. 解題策略 (1)選擇適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系;(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示直線的方向向量及平面的法向量;(3)理解并記住用向量表示的空間角和距離的求解公式; (4)探索性問(wèn)題,可利用共線關(guān)系設(shè)變量,引入?yún)?shù),列方程求解. 1.(20xx·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢)如圖,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP. (1)設(shè)點(diǎn)M為棱PD的中點(diǎn),求證:EM∥平面ABCD; (2)線段PD上是否存在一點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值為?若存在,試確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 2.(20xx·上饒?jiān)驴?如圖所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn). 求證:(1)AM∥平面BDE; (2)AM⊥平面BDF. 3.(20xx·南昌月考)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1B=B1A=AB=BC,∠B1BC=90°,D為AC的中點(diǎn),AB⊥B1D. (1)求證:平面ABB1A1⊥平面ABC; (2)在線段CC1(不含端點(diǎn))上,是否存在點(diǎn)E,使得二面角E-B1D-B的余弦值為-?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由. 4.(20xx·太原質(zhì)檢)如圖所示,該幾何體是由一個(gè)直三棱柱ADE-BCF和一個(gè)正四棱錐P-ABCD組合而成的,AD⊥AF,AE=AD=2. (1)證明:平面PAD⊥平面ABFE; (2)求正四棱錐P-ABCD的高h(yuǎn),使得二面角C-AF-P的余弦值是. 答案精析 1.(1)證明 因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABPE,且BC⊥AB,所以BC⊥平面ABPE,所以BA,BP,BC兩兩垂直.以B為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正 方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,2,0),D(2,0,1),M,E(2,1,0),C(0,0,1), 所以=. 易知平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,1,0), 所以·n=·(0,1,0)=0,所以⊥n. 又EM?平面ABCD,所以EM∥平面ABCD. (2)解 當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí),直線BN與平面PCD所成角的正弦值為. 理由如下:因?yàn)椋?2,-2,1),=(2,0,0),設(shè)平面PCD的法向量為n1=(x1,y1,z1), 由得 取y1=1,得平面PCD的一個(gè)法向量為n1=(0,1,2). 假設(shè)線段PD上存在一點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角α的正弦值為. 設(shè)=λ(0≤λ≤1), 則=λ(2,-2,1)=(2λ,-2λ,λ), =+=(2λ,2-2λ,λ). 所以sin α=|cos〈,n1〉|====. 所以9λ2-8λ+4=5,解得λ=1或λ=-(舍去). 因此,線段PD上存在一點(diǎn)N,當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí),直線BN與平面PCD所成角的正弦值為. 2.證明 (1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)AC∩BD=N,連接NE, 則點(diǎn)N,E的坐標(biāo)分別為(,,0),(0,0,1). 所以=(-,-,1). 又點(diǎn)A,M的坐標(biāo)分別是(,,0),(,,1), 所以=(-,-,1). 所以=,且NE與AM不共線. 所以NE∥AM.又因?yàn)镹E?平面BDE,AM?平面BDE, 所以AM∥平面BDE. (2)由(1)知=(-,-,1), 因?yàn)镈(,0,0),F(xiàn)(,,1), 所以=(0,,1). 所以·=0,所以⊥, 所以AM⊥DF,同理AM⊥BF, 又DF∩BF=F,DF?平面BDF, BF?平面BDF, 所以AM⊥平面BDF. 3.(1)證明 取AB的中點(diǎn)O,連接OD,OB1.因?yàn)锽1B=B1A,所以O(shè)B1⊥AB. 又AB⊥B1D,OB1∩B1D=B1,OB1?平面B1OD,B1D?平面B1OD, 所以AB⊥平面B1OD, 因?yàn)镺D?平面B1OD,所以AB⊥OD. 由已知條件知,BC⊥BB1, 又OD∥BC,所以O(shè)D⊥BB1. 因?yàn)锳B∩BB1=B,AB?平面ABB1A1,BB1?平面ABB1A1, 所以O(shè)D⊥平面ABB1A1. 因?yàn)镺D?平面ABC,所以平面ABB1A1⊥平面ABC. (2)解 由(1)知OB,OD,OB1兩兩垂直,所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,||為單位長(zhǎng)度1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,連接B1C. 由題設(shè)知,B1(0,0,),B(1,0,0),D(0,1,0),A(-1,0,0),C(1,2,0),C1(0,2,), ∴=(0,1,-),=(1,0,-),=(-1,0,), =(1,2,-),設(shè)=λ(0<λ<1), 由=+=(1-λ,2,(λ-1)),設(shè)平面BB1D的法向量為m=(x1,y1,z1), 則得 令z1=1,則x1=y(tǒng)1=, 所以平面BB1D的法向量為m=(,,1). 設(shè)平面B1DE的法向量為n=(x2,y2,z2),則 得 令z2=1,則x2=,y2=, 所以平面B1DE的一個(gè)法向量n=(,,1). 設(shè)二面角E-B1D-B的大小為θ, 則cosθ===-. 解得λ=. 所以在線段CC1上存在點(diǎn)E,使得二面角E-B1D-B的余弦值為-,此時(shí)=. 4.(1)證明 在直三棱柱ADE-BCF中,AB⊥平面ADE,AD?平面ADE,所以AB⊥AD. 又AD⊥AF,AB∩AF=A,AD∩AF=A,AB?平面ABFE,AF?平面ABFE, 所以AD⊥平面ABFE. 因?yàn)锳D?平面PAD, 所以平面PAD⊥平面ABFE. (2)解 由(1)知AD⊥平面ABFE,以A為原點(diǎn),AB,AE,AD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)h為點(diǎn)P到平面ABCD的距離. 則A(0,0,0),F(xiàn)(2,2,0),C(2,0,2),P(1,-h(huán),1),=(2,2,0),=(2,0,2),=(1,-h(huán),1). 設(shè)平面AFC的一個(gè)法向量為m=(x1,y1,z1), 則 取x1=1,則y1=z1=-1, 所以m=(1,-1,-1). 設(shè)平面AFP的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,z2), 則 取x2=1,則y2=-1,z2=-1-h(huán), 所以n=(1,-1,-1-h(huán)). 因?yàn)槎娼荂-AF-P的余弦值為, 所以|cos〈m,n〉|===, 解得h=1.

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