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1、
第56練 向量法求解立體幾何問題
訓(xùn)練目標(biāo)
會(huì)用空間向量解決立體幾何的證明、求空間角、求距離問題.
訓(xùn)練題型
(1)用空間向量證明平行與垂直;(2)用空間向量求空間角;(3)求長度與距離.
解題策略
(1)選擇適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系;(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示直線的方向向量及平面的法向量;(3)理解并記住用向量表示的空間角和距離的求解公式;
(4)探索性問題,可利用共線關(guān)系設(shè)變量,引入?yún)?shù),列方程求解.
1.(20xx·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢)如圖,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且A
2、E∥BP.
(1)設(shè)點(diǎn)M為棱PD的中點(diǎn),求證:EM∥平面ABCD;
(2)線段PD上是否存在一點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值為?若存在,試確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請說明理由.
2.(20xx·上饒?jiān)驴?如圖所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).
求證:(1)AM∥平面BDE;
(2)AM⊥平面BDF.
3.(20xx·南昌月考)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1B=B1A=AB=BC,∠B1BC=9
3、0°,D為AC的中點(diǎn),AB⊥B1D.
(1)求證:平面ABB1A1⊥平面ABC;
(2)在線段CC1(不含端點(diǎn))上,是否存在點(diǎn)E,使得二面角E-B1D-B的余弦值為-?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
4.(20xx·太原質(zhì)檢)如圖所示,該幾何體是由一個(gè)直三棱柱ADE-BCF和一個(gè)正四棱錐P-ABCD組合而成的,AD⊥AF,AE=AD=2.
(1)證明:平面PAD⊥平面ABFE;
(2)求正四棱錐P-ABCD的高h(yuǎn),使得二面角C-AF-P的余弦值是.
答案精析
1.(1)證明
4、因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABPE,且BC⊥AB,所以BC⊥平面ABPE,所以BA,BP,BC兩兩垂直.以B為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正
方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,2,0),D(2,0,1),M,E(2,1,0),C(0,0,1),
所以=.
易知平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),
所以·n=·(0,1,0)=0,所以⊥n.
又EM?平面ABCD,所以EM∥平面ABCD.
(2)解 當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí),直線BN與平面PCD所成角的正弦值為.
理由如下:因?yàn)椋?2,-2,1),=(2,0,0),設(shè)平面PCD的法向量為n1=(x1,y1
5、,z1),
由得
取y1=1,得平面PCD的一個(gè)法向量為n1=(0,1,2).
假設(shè)線段PD上存在一點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角α的正弦值為.
設(shè)=λ(0≤λ≤1),
則=λ(2,-2,1)=(2λ,-2λ,λ),
=+=(2λ,2-2λ,λ).
所以sin α=|cos〈,n1〉|====.
所以9λ2-8λ+4=5,解得λ=1或λ=-(舍去).
因此,線段PD上存在一點(diǎn)N,當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí),直線BN與平面PCD所成角的正弦值為.
2.證明 (1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AC∩BD=N,連接NE,
則點(diǎn)N,E的坐標(biāo)分別為(,,0),(0,0,1
6、).
所以=(-,-,1).
又點(diǎn)A,M的坐標(biāo)分別是(,,0),(,,1),
所以=(-,-,1).
所以=,且NE與AM不共線.
所以NE∥AM.又因?yàn)镹E?平面BDE,AM?平面BDE,
所以AM∥平面BDE.
(2)由(1)知=(-,-,1),
因?yàn)镈(,0,0),F(xiàn)(,,1),
所以=(0,,1).
所以·=0,所以⊥,
所以AM⊥DF,同理AM⊥BF,
又DF∩BF=F,DF?平面BDF,
BF?平面BDF,
所以AM⊥平面BDF.
3.(1)證明 取AB的中點(diǎn)O,連接OD,OB1.因?yàn)锽1B=B1A,所以O(shè)B1⊥AB.
又AB⊥B1D,OB1∩B1D
7、=B1,OB1?平面B1OD,B1D?平面B1OD,
所以AB⊥平面B1OD,
因?yàn)镺D?平面B1OD,所以AB⊥OD.
由已知條件知,BC⊥BB1,
又OD∥BC,所以O(shè)D⊥BB1.
因?yàn)锳B∩BB1=B,AB?平面ABB1A1,BB1?平面ABB1A1,
所以O(shè)D⊥平面ABB1A1.
因?yàn)镺D?平面ABC,所以平面ABB1A1⊥平面ABC.
(2)解 由(1)知OB,OD,OB1兩兩垂直,所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,||為單位長度1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,連接B1C.
由題設(shè)知,B1(0,0,),B(1,0,0),D(0,1,
8、0),A(-1,0,0),C(1,2,0),C1(0,2,),
∴=(0,1,-),=(1,0,-),=(-1,0,),
=(1,2,-),設(shè)=λ(0<λ<1),
由=+=(1-λ,2,(λ-1)),設(shè)平面BB1D的法向量為m=(x1,y1,z1),
則得
令z1=1,則x1=y(tǒng)1=,
所以平面BB1D的法向量為m=(,,1).
設(shè)平面B1DE的法向量為n=(x2,y2,z2),則
得
令z2=1,則x2=,y2=,
所以平面B1DE的一個(gè)法向量n=(,,1).
設(shè)二面角E-B1D-B的大小為θ,
則cosθ===-.
解得λ=.
所以在線段CC1上存在點(diǎn)E,使得二
9、面角E-B1D-B的余弦值為-,此時(shí)=.
4.(1)證明 在直三棱柱ADE-BCF中,AB⊥平面ADE,AD?平面ADE,所以AB⊥AD.
又AD⊥AF,AB∩AF=A,AD∩AF=A,AB?平面ABFE,AF?平面ABFE,
所以AD⊥平面ABFE.
因?yàn)锳D?平面PAD,
所以平面PAD⊥平面ABFE.
(2)解 由(1)知AD⊥平面ABFE,以A為原點(diǎn),AB,AE,AD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)h為點(diǎn)P到平面ABCD的距離.
則A(0,0,0),F(xiàn)(2,2,0),C(2,0,2),P(1,-h(huán),1),=(2,2,0),=(2,0,2),=(1,-h(huán),1).
設(shè)平面AFC的一個(gè)法向量為m=(x1,y1,z1),
則
取x1=1,則y1=z1=-1,
所以m=(1,-1,-1).
設(shè)平面AFP的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,z2),
則
取x2=1,則y2=-1,z2=-1-h(huán),
所以n=(1,-1,-1-h(huán)).
因?yàn)槎娼荂-AF-P的余弦值為,
所以|cos〈m,n〉|===,
解得h=1.