新編新課標高三數(shù)學一輪復習 第9篇 變量間的相關關系與統(tǒng)計案例學案 理

第六十三課時 變量間的相關關系與統(tǒng)計案例 課前預習案 考綱要求 1.會作兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關關系. 2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程（線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶）. 3.了解回歸的基本思想、方法及其簡單應用. 4.了解獨立性檢驗的思想、方法及其初步應用. 基礎知識梳理 1．相關關系的判斷 (1)散點圖直觀反映了兩變量的成對觀測值之間存在的某種關系，利用散點圖可以初步判斷兩個變量之間是否線性相關．如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線的附近，我們說變量x和y具有 相關關系． (2)相關系數(shù)r＝， 當r>0時，兩變量 相關，當r<0時，兩變量 相關，當|r|≤1且|r|越接近于1，相關程度 ，當|r|≤1且|r|越接近于0，相關程度 ． 2．最小二乘法求回歸直線方程 (1)設線性回歸方程為＝x＋， (2)回歸直線一定經(jīng)過樣本的中心點 ，據(jù)此性質可以解決有關的計算問題． 3．獨立性檢驗 (1)獨立性檢驗的有關概念 ①分類變量 可用變量的不同“值”表示個體所屬的 的變量稱為分類變量． ②2×2列聯(lián)表 假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為： y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d (2)獨立性檢驗 利用隨機變量K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)來判斷“兩個變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗． 步驟如下： ①計算隨機變量K2的觀測值k，查下表確定臨界值k0： P(K2≥k0) 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ②如果k≥k0，就推斷“X與Y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)的前提下不能推斷“X與Y有關系”． 預習自測 1．下列兩個變量之間的關系是相關關系的是(　　)． A．正方體的棱長與體積 B．單位面積的產(chǎn)量為常數(shù)時，土地面積與總產(chǎn)量 C．日照時間與水稻的畝產(chǎn)量 D．電壓一定時，電流與電阻 2．對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(1)；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(2)．由這兩個散點圖可以判斷(　　)． A．變量x與y正相關，u與v正相關 B．變量x與y正相關，u與v負相關 C．變量x與y負相關，u與v正相關 D．變量x與y負相關，u與v負相關 3．(20xx·湖南)設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結論中不正確的是(　　)． A．y與x具有正的線性相關關系 B．回歸直線過樣本點的中心(，) C．若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg 4．為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點抽取了100位居民進行調(diào)查，經(jīng)過計算K2≈0.99，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是(　　)． A．有99%的人認為該欄目優(yōu)秀 B．有99%的人認為該欄目是否優(yōu)秀與改革有關系 C．有99%的把握認為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系 D．沒有理由認為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系 5．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的線性回歸方程：＝0.254x＋0.321.由線性回歸方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元． 課堂探究案 典型例題 考點1 線性相關關系的判斷 【典例1】下表是某小賣部6天賣出的熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對比表. 氣溫/℃ 26 18 13 10 4 －1 杯數(shù)y 20 24 34 38 50 64 (1)將表中的數(shù)據(jù)畫成散點圖； (2)你能依據(jù)散點圖指出氣溫與熱茶杯數(shù)的關系嗎？ (3)如果氣溫與賣出熱茶杯數(shù)近似成線性相關關系的話，請畫出一條直線來近似地表示這種線性相關關系． 【變式1】 5個學生的數(shù)學和物理成績?nèi)缦卤恚? 學生 學科　　 A B C D E 數(shù)學 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 畫出散點圖，并判斷它們是否有相關關系． 考點2 線性回歸方程及其應用 【典例2】(20xx·福建)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y/件 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程＝x＋，其中＝－20，＝－ ； (2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本) 【變式2】 (20xx·南昌模擬)以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù). 房屋面積x/m2 115 110 80 135 105 銷售價格y/萬元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)求線性回歸方程； (2)據(jù)(1)的結果估計當房屋面積為150 m2時的銷售價格． 考點3 獨立性檢驗的基本思想及應用 【典例3】在調(diào)查男女乘客是否暈機的事件中，已知男乘客暈機的為28人，不暈機的也是28人，而女乘客暈機的為28人，不暈機的為56人． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2的列聯(lián)表； (2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為暈機與性別有關系？ (可能用到的公式：K2＝，可能用到的數(shù)據(jù)：P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥5.024)＝0.025) 【變式3】某學生對其親屬30人的飲食習慣進行了一次調(diào)查，并用下圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)．(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主) (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表： 主食蔬菜 主食肉類 合計 50歲以下 50歲以上 合計 (2)能否有99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關？ 當堂檢測 1．(20xx·新課標全國)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為(　　)． A．－1 B．0 C. D．1 2．(20xx·長春調(diào)研)已知x，y取值如下表： x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 從所得的散點圖分析可知：y與x線性相關，且＝0.95x＋a，則a＝(　　)． A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80 3.(20xx·陜西)設(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結論正確的是 (　　)． A．直線l過點(，) B．x和y的相關系數(shù)為直線l的斜率 C．x和y的相關系數(shù)在0到1之間 D．當n為偶數(shù)時，分布在l兩側的樣本點的個數(shù)一定相同 4．(20xx·山東)某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為 (　　)． A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 課后拓展案 A組全員必做題 1．為了解兒子身高與其父親身高的關系，隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下： 父親身高x/cm 174 176 176 176 178 兒子身高y/cm 175 175 176 177 177 則y對x的線性回歸方程為 (　　)． A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝88＋x D．y＝176 2．(20xx·福州模擬)下列說法： ①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變； ②設有一個回歸方程＝3－5x，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位； ③線性回歸方程＝x＋必過(，)； ④在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得K2的觀測值k＝13.079，則在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為這兩個變量間有關系． 其中錯誤的個數(shù)是 (　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知施化肥量x與水稻產(chǎn)量y的試驗數(shù)據(jù)如下表，則變量x與變量y是________相關(填“正”或“負”). 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 4．(20xx·唐山統(tǒng)一考試)考古學家通過始祖鳥化石標本發(fā)現(xiàn)：其股骨長度x(cm)與肱骨長度y(cm)的線性回歸方程為＝1.197x－3.660，由此估計，當股骨長度為50 cm時，肱骨長度的估計值為________ cm. 5.為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯(lián)表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2＝≈4.844. 則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性為________． B組提高選做題 1.某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量多少的調(diào)查．數(shù)據(jù)如下表： 認為作業(yè)多 認為作業(yè)不多 合計 喜歡玩游戲 18 9 不喜歡玩游戲 8 15 合計 (1)請完善上表中所缺的有關數(shù)據(jù)； (2)試通過計算說明在犯錯誤的概率不超過多少的前提下認為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關系？ 附： P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2＝ 2.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程＝x＋； (3)已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？ (參考數(shù)值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 參考答案 預習自測 1．【答案】C 【解析】A，B，D中兩個變量間的關系都是確定的，所以是函數(shù)關系；C中的兩個變量間是相關關系，對于日照時間一定的水稻，仍可以有不同的畝產(chǎn)量，故選C. 2．【答案】C 【解析】由圖(1)可知，各點整體呈遞減趨勢，x與y負相關；由圖(2)可知，各點整體呈遞增趨勢，u與v正相關． 3．【答案】D 【解析】根據(jù)線性回歸方程中各系數(shù)的意義求解．由于線性回歸方程中x的系數(shù)為0.85，因此y與x具有正的線性相關關系，故A正確．又線性回歸方程必過樣本中心點(，)，因此B正確．由線性回歸方程中系數(shù)的意義知，x每增加1 cm，其體重約增加0.85 kg，故C正確．當某女生的身高為170 cm時，其體重估計值是58.79 kg，而不是具體值，因此D不正確． 4．【答案】D 【解析】只有K2≥6.635才能有99%的把握認為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系，而即使K2≥6.635也只是對“電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系”這個論斷成立的可能性大小的結論，與是否有99%的人等無關．故D正確． 5．【答案】0.254 【解析】由題意，知其回歸系數(shù)為0.254，故家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.254萬元． 典型例題 【典例1】【解析】(1)畫出的散點圖如圖． (2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)氣溫和熱茶杯數(shù)具有相關關系，氣溫和熱茶杯數(shù)成負相關，圖中的各點大致分布在一條直線的附近，因此氣溫和杯數(shù)近似成線性相關關系． (3)根據(jù)不同的標準，可以畫出不同的直線來近似表示這種線性相關關系，如讓畫出的直線上方的點和下方的點數(shù)目相等．如圖． 【變式1】【解析】把數(shù)學成績作為橫坐標，把相應的物理成績作為縱坐標，在直角坐標系中描點(xi，yi)(i＝1,2，…，5)，作出散點圖如圖． 從圖中可以直觀地看出數(shù)學成績和物理成績具有相關關系，且當數(shù)學成績增大時，物理成績也在由小變大，即它們正相關． 【典例2】【解析】(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又＝－20， 所以＝－ ＝80＋20×8.5＝250， 從而回歸直線方程為＝－20x＋250. (2)設工廠獲得的利潤為L元，依題意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1 000 ＝－202＋361.25. 當且僅當x＝8.25時，L取得最大值． 故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤． 【變式2】【解析】(1)＝×(115＋110＋80＋135＋105)＝109， ＝×(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2. 設所求回歸直線方程為＝x＋，則 ＝＝≈0.196 2， ∴＝－ ＝23.2－109×≈1.816 6. ∴所求回歸直線方程為＝0.196 2x＋1.816 6. (2)由第(1)問可知，當x＝150 m2時，銷售價格的估計值為 ＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(萬元)． 【典例3】【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下： 暈機 不暈機 合計 男乘客 28 28 56 女乘客 28 56 84 合計 56 84 140 (2)假設是否暈機與性別無關，則K2的觀測值k＝＝≈3.889，P(K2≥3.841)＝0.05. 所以可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為暈機與性別有關系． 【變式3】【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下： 主食蔬菜 主食肉類 合計 50歲以下 4 8 12 50歲以上 16 2 18 合計 20 10 30 (2)因為K2＝＝10>6.635， 所以有99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關． 當堂檢測 1．【答案】D 【解析】樣本點都在直線上時，其數(shù)據(jù)的估計值與真實值是相等的，故其相關系數(shù)為1. 2．【答案】B 【解析】依題意得，＝×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，＝×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直線＝0.95x＋a必過樣本中心點(，)，即點(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a，由此解得a＝1.45，選B. 3.【答案】A 【解析】由樣本的中心(，)落在回歸直線上可知A正確；x和y的相關系數(shù)表示為x與y之間的線性相關程度，不表示直線l的斜率，故B錯；x和y的相關系數(shù)應在－1到1之間，故C錯；分布在回歸直線兩側的樣本點的個數(shù)并不絕對平均，無論樣本點個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，故D錯． 4．【答案】B 【解析】＝＝3.5(萬元)， ＝＝42(萬元)， ∴＝－＝42－9.4×3.5＝9.1， ∴回歸方程為＝9.4x＋9.1， ∴當x＝6(萬元)時，＝9.4×6＋9.1＝65.5(萬元)． A組全員必做題 1．【答案】C 【解析】由題意得＝＝176(cm)， ＝＝176(cm)，由于(，)一定滿足線性回歸方程，經(jīng)驗證知選C. 2．【答案】B 【解析】只有②錯誤，應該是y平均減少5個單位． 3．【答案】正 【解析】因為散點圖能直觀地反映兩個變量是否具有相關關系，所以畫出散點圖如圖所示： 通過觀察圖象可知變量x與變量y是正相關． 4．【答案】56.19 【解析】根據(jù)線性回歸方程＝1.197x－3.660，將x＝50代入得y＝56.19，則肱骨長度的估計值為56.19 cm. 5.【答案】5% 【解析】∵K2≈4.844，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設檢驗的基本原理，應該斷定“是否選修文科與性別之間有關系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%. B組提高選做題 1.解：(1) 認為作業(yè)多 認為作業(yè)不多 合計 喜歡玩游戲 18 9 27 不喜歡玩游戲 8 15 23 合計 26 24 50 (2)將表中的數(shù)據(jù)代入公式K2＝得到K2的觀測值k＝≈5.059>5.024， 查表知P(K2≥5.024)＝0.025，即說明在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關系． 2.【解析】(1)由題設所給數(shù)據(jù)，可得散點圖如圖所示． (2)由對照數(shù)據(jù)，計算得：＝86， ＝＝4.5(噸)，＝＝3.5(噸)． 已知iyi＝66.5， 所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為： ＝＝＝0.7， ＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35. (3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為： 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(噸標準煤)．