新編高考數(shù)學文科一輪總復習 96

新編高考數(shù)學復習資料 第6講　橢　圓 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、填空題 1．已知△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是________． 解析　由橢圓的定義知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是橢圓的另外一個焦點)，∴周長為4a＝4. 答案　4 2．(2014·廣州模擬)橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為________． 解析　若a2＝9，b2＝4＋k，則c＝， 由＝，即＝，解得k＝－； 若a2＝4＋k，b2＝9，則c＝， 由＝，即＝，解得k＝21. 答案?。?1 3．(2014·鎮(zhèn)江模擬)已知橢圓＋＝1，長軸在y軸上．若焦距為4，則m等于________． 解析　將橢圓的方程轉(zhuǎn)化為標準形式為＋＝1， 顯然m－2＞10－m，即m＞6，且()2－()2＝22，解得m＝8. 答案　8 4．(2014·煙臺質(zhì)檢)一個橢圓中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為________． 解析　設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．由點(2，)在橢圓上知＋＝1. 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列， 則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|， 即2a＝2·2c，＝， 又c2＝a2－b2，聯(lián)立解得a2＝8，b2＝6. 答案?。? 5．(2013·遼寧卷改編)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為________． 解析　如圖，設|AF|＝x，則cos∠ABF＝＝. 解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由橢圓及直線關(guān)于原點對稱可知|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴＝. 答案　 6．(2014·無錫模擬)設橢圓＋＝1(m>0，n>0)的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為________． 解析　拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴橢圓方程為＋＝1. 答案?。? 7．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________. 解析　由題意知|PF1|＋|PF2|＝2a，⊥， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2， ∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2. ∴|PF1|·|PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2b2＝b2＝9. ∴b＝3. 答案　3 8．(2013·福建卷)橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． 解析　因為直線y＝(x＋c)過橢圓左焦點，且斜率為，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°， 故|MF1|＝c，|MF2|＝c 由點M在橢圓上知，c＋c＝2a. 故離心率e＝＝＝－1. 答案　－1 二、解答題 9．已知橢圓的兩焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，P為橢圓上一點，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|. (1)求此橢圓的方程； (2)若點P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面積． 解　(1)依題意得|F1F2|＝2， 又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|， ∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a.∴a＝2，c＝1，b2＝3. ∴所求橢圓的方程為＋＝1. (2)設P點坐標為(x，y)， ∵∠F2F1P＝120°， ∴PF1所在直線的方程為y＝(x＋1)·tan 120°， 即y＝－(x＋1)． 解方程組 并注意到x＜0，y＞0，可得 ∴S△PF1F2＝|F1F2|·＝. 10．(2014·紹興模擬)如圖，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．已知點M在橢圓上，且點M到兩焦點距離之和為4. (1)求橢圓的方程； (2)設與MO(O為坐標原點)垂直的直線交橢圓于A，B(A，B不重合)，求·的取值范圍． 解　(1)∵2a＝4，∴a＝2， 又M在橢圓上， ∴＋＝1，解得b2＝2， ∴所求橢圓方程＋＝1. (2)由題意知kMO＝，∴kAB＝－. 設直線AB的方程為y＝－x＋m， 聯(lián)立方程組 消去y，得13x2－4mx＋2m2－4＝0， Δ＝(－4m)2－4×13×(2m2－4) ＝8(12m2－13m2＋26)＞0， ∴m2＜26，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由求根公式得x＝ 則x1＋x2＝，x1x2＝， 則·＝x1x2＋y1y2 ＝7x1x2－m(x1＋x2)＋m2 ＝∈. ∴·的取值范圍是. 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、填空題 1．(2014·濰坊模擬)已知橢圓：＋＝1(0＜b＜2)，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|＋|AF2|的最大值為5，則b的值是________． 解析　由題意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因為|BF2|＋|AF2|的最大值為5，所以|AB|的最小值為3，當且僅當AB⊥x軸時，取得最小值，此時A，B，代入橢圓方程得＋＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，即1－＋＝1，所以＝，解得b2＝3，所以b＝. 答案　 2．設F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x＝上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為________． 解析　令c＝.如圖，據(jù)題意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°， ∴∠PF2x＝60°， ∴|F2P|＝2＝3a－2c. ∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c， ∴3a＝4c，∴＝， 即橢圓的離心率為. 答案　 3．(2014·陜西五校聯(lián)考)橢圓＋＝1(a為定值，且a＞)的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于點A，B.若△FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是________． 解析　設橢圓的右焦點為F′，如圖，由橢圓定義知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a. 又△FAB的周長為|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a， 當且僅當AB過右焦點F′時等號成立． 此時4a＝12，則a＝3. 故橢圓方程為＋＝1，所以c＝2， 所以e＝＝. 答案　 二、解答題 4．(2014·河南省三市調(diào)研)已知圓G：x2＋y2－2x－y＝0經(jīng)過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點F及上頂點B.過橢圓外一點M(m,0)(m＞a)作傾斜角為π的直線l交橢圓于C，D兩點． (1)求橢圓的方程； (2)若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的內(nèi)部，求m的取值范圍． 解　(1)∵圓G：x2＋y2－2x－y＝0經(jīng)過點F，B， ∴F(2,0)，B(0，)，∴c＝2，b＝， ∴a2＝b2＋c2＝6，橢圓的方程為＋＝1. (2)由題意知直線l的方程為y＝－(x－m)，m＞， 由 消去y，得2x2－2mx＋(m2－6)＝0. 由Δ＝4m2－8(m2－6)＞0， 解得－2＜m＜2. ∵m＞，∴＜m＜2. 設C(x1，y1)，D(x2，y2)， x＝ 則x1＋x2＝m，x1x2＝， ∴y1y2＝·＝x1x2－(x1＋x2)＋. ∵＝(x1－2，y1)．＝(x2－2，y2)， ∴·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋＋4＝. ∵點F在圓E內(nèi)部，∴·＜0， 即＜0，解得0＜m＜3. 又＜m＜2，∴＜m＜3. 故m的取值范圍是(，3).