新編浙江高考數(shù)學理二輪專題訓練：第1部分 專題六 第2講 排列、組合與二項式定理選擇、填空題型

考 點 考 情 兩個計數(shù)原理 1.對兩個計數(shù)原理及排列、組合的考查主要有兩種形式：一是直接利用計數(shù)原理、排列、組合知識進行計數(shù)，如福建T5,北京T12；二是與概率問題結合起來綜合考查． 2．對二項式定理的考查主要是求展開式中的某一項，某一項的二項式系數(shù)，各項系數(shù)和等，考查賦值技巧，難度不大，如江西T5,新課標全國卷ⅡT5,安徽T11. 排列、組合問題 二項式定理 1．(20xx·福建高考)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為(　　) A．14　　　　 B．13　　　　 C．12　　　　 D．10 解析：選B　因為a，b∈{－1,0,1,2}，可分為兩類：①當a＝0時，b可能為－1或1或0或2，即b有4種不同的選法；②當a≠0時，依題意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.當a＝－1時，b有4種不同的選法；當a＝1時，b可能為－1或0或1，即b有3種不同的選法；當a＝2時，b可能為－1或0，即b有2種不同的選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，(a，b)的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13. 2．(20xx·江西高考)5展開式中的常數(shù)項為(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 解析：選C　Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·(－2)r·x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，故常數(shù)項為C×(－2)2＝40. 3．(20xx·新課標全國卷Ⅱ)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則ɑ＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析：選D　展開式中含x2的系數(shù)為C＋aC＝5，解得a＝－1. 4．(20xx·安徽高考)若8的展開式中x4的系數(shù)為7，則實數(shù)a＝________. 解析：二項式8展開式的通項為Tr＋1＝Carx，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，易得a＝. 答案： 5．(20xx·北京高考)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是________． 解析：按照要求要把序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券分成4組，然后再分配給4人，連號的情況是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法數(shù)是4A＝96. 答案：96 1．兩個重要公式 (1)排列數(shù)公式 A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n)． (2)組合數(shù)公式 C＝＝ (n，m∈N*，且m≤n)． 2．三個重要性質和定理 (1)組合數(shù)性質 ①C＝(n，m∈N*，且m≤n)； ②C＝(n，m∈N*，且m≤n)； ③C＝1. (2)二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn，其中通項Tr＋1＝Can－rbr. (3)二項式系數(shù)的性質 ①C＝C，C＝C，…，C＝C； ②C＋C＋C＋…＋C＝2n； ③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 熱點一 兩個計數(shù)原理的應用 [例1]　(1)某人設計了一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD(邊長為3個單位)的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為i(i＝1,2，…，6)，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有(　　) A．22種　　　　　　　　　　 B．24種 C．25種 D．36種 (2)方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有(　　) A．60條 B．62條 C．71條 D．80條 [自主解答]　(1)設拋擲三次骰子的點數(shù)分別為a，b，c，根據(jù)分析，若a＝1，則b＋c＝11，只能是(5,6)，(6,5)，2種情況；若a＝2，則b＋c＝10，只能是(4,6)，(5,5)，(6,4)，3種情況；若a＝3，則b＋c＝9，只能是(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，4種情況；若a＝4，則b＋c＝8，只能是(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，5種情況；若a＝5，則b＋c＝7，只能是(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，6種情況；若a＝6，則b＋c＝6，只能是(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，5種情況．故總計2＋3＋4＋5＋6＋5＝25種可能． (2)當a＝1時，若c＝0，則b2有4,9兩個取值，共2條拋物線， 若c≠0，則c有4種取值，b2有兩種，共有2×4＝8條拋物線； 當a＝2時，若c＝0，b2取1,4,9三種取值，共有3條拋物線， 若c≠0，c取1時，b2有2個取值，共有2條拋物線， c取－2時，b2有2個取值，共有2條拋物線， c取3時，b2有3個取值，共有3條拋物線， c?。?時，b2有3個取值，共有3條拋物線． 所以共有3＋2＋2＋3＋3＝13條拋物線． 同理，a＝－2，－3,3時，共有拋物線3×13＝39條． 由分類加法計數(shù)原理知，共有拋物線39＋13＋8＋2＝62條． [答案]　(1)C　(2)B ——————————規(guī)律·總結———————————————— 應用兩個計數(shù)原理解題的方法 (1)在應用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類計數(shù)原理． (2)對于復雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化． 1.如圖所示，在A，B間有四個焊接點1,2,3,4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通．今發(fā)現(xiàn)A，B之間電路不通，則焊接點脫落的不同情況有(　　) A．9種 B．11種 C．13種 D．15種 解析：選C　按照焊接點脫落的個數(shù)進行分類．若脫落1個，有(1)，(4)，共2種；若脫落2個，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6種；若脫落3個，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4種；若脫落4個，有(1,2,3,4)，共1種．綜上，共有2＋6＋4＋1＝13種焊接點脫落的情況． 2．某次活動中，有30個人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)． 解析：其中最先選出的一個有30種方法，此時這個人所在的行和列共10個位置不能再選人，還剩一個5行4列的隊形，選第二個人有20種方法，此時該人所在的行和列不能再選人，還剩一個4行3列的隊形，此時第三個人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總的選法種數(shù)是＝1 200. 答案：1 200 熱點二 排列與組合問題 [例2]　(1)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為(　　) A．232　　　　　　　　　 B．252 C．472 D．484 (2)(20xx·重慶高考)從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是________(用數(shù)字作答)． [自主解答]　(1)法一：從16張不同的卡片中任取3張，共有C＝＝560種，其中有兩張紅色的有C×C種，其中三張卡片顏色相同的有C×4種，所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為C－C×C－C×4＝472. 法二：若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三色卡片中選3張，若都不同色，則有C×C×C＝64種，若2張顏色相同，則有CCCC＝144種；若紅色卡片有1張，則剩余2張若不同色，有C×C×C×C＝192種，若同色，則有CCC＝72種，所以共有64＋144＋192＋72＝472(種)． (2)直接法分類，3名骨科，內科、腦外科各1名；3名腦外科，骨科、內科各1名；3名內科，骨科、腦外科各1名；內科、腦外科各2名，骨科1名；骨科、內科各2名，腦外科1名；骨科、腦外科各2名，內科1名．所以選派種數(shù)為C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝590. [答案]　(1)C　(2)590 若本例(1)中增加條件“且黃色卡片至多1張”，則有多少種不同的取法？ 解：可分類完成：若取三張卡片，且三張卡片顏色均不同，則有CCCC＝256種；若取三張卡片只有兩種顏色，則可為藍綠一種中選兩張，紅黃一種選一張，共有2CC＋CCCC＝144種． 因此，所有取法種數(shù)為256＋144＝400.　　　　　 ——————————規(guī)律·總結———————————————— 1．解決排列組合問題應遵循的原則 先特殊后一般，先選后排，先分類后分步． 2．解決排列組合問題的11個策略 (1)相鄰問題捆綁法；(2)不相鄰問題插空法；(3)多排問題單排法；(4)定序問題倍縮法；(5)多元問題分類法；(6)有序分配問題分步法；(7)交叉問題集合法；(8)至少或至多問題間接法；(9)選排問題先選后排法；(10)局部與整體問題排除法；(11)復雜問題轉化法． 3．解決排列組合問題的四個角度 解答排列組合應用題要從“分析”“分辨”“分類”“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有無限制等； (3)“分類”就是對于較復雜的應用題中的元素往往分成互斥的幾類，然后逐類解決； (4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列組合問題，然后逐步解決． 3．我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架殲­15飛機準備著艦．如果甲、乙兩機必須相鄰先后著艦，而丙、丁不能相鄰先后著艦，那么不同的著艦方法有(　　) A．12種 B．18種 C．24種 D．48種 解析：選C　將甲、乙捆綁，與除丙、丁外的另外一架飛機進行全排列，有A·A種方法，而后將丙、丁進行插空，有3個空，則有A種排法，故共有A·A·A＝24種方法． 4．某班班會準備從含甲、乙的7名學生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙2人至少有一人參加，若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時順序不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為(　　) A．720　 　　 B．520 C．600　 　　 D．360 解析：選C　根據(jù)題意，分2種情況討論：若甲、乙其中一人參加，有C·C·A＝480種；若甲、乙2人都參加，共有C·C·A＝240種發(fā)言順序，其中甲、乙相鄰的情況有C·C·A·A＝120種，故有240－120＝120種．則不同的發(fā)言順序種數(shù)為480＋120＝600. 熱點三 二項式定理 [例3]　(1)(20xx·新課標全國卷Ⅰ)設m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝(　　) A．5　　　　 B．6　　　　 C．7　　　　 D．8 (2)(20xx·陜西高考)設函數(shù)f(x)＝則當x>0時，f(f(x))表達式的展開式中常數(shù)項為(　　) A．－20 B．20 C．－15 D．15 (3)若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則a3＝________. [自主解答]　(1)根據(jù)二項式系數(shù)的性質知：(x＋y)2m的二項式系數(shù)最大有一項，C＝a，(x＋y)2m＋1的二項式系數(shù)最大有兩項，C＝C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，即＝，解得m＝6. (2)依據(jù)分段函數(shù)的解析式，得f(f(x))＝f(－)＝6，∴Tr＋1＝C(－1)rxr－3.令r－3＝0，則r＝3，故常數(shù)項為C(－1)3＝－20. (3)f(x)＝x5＝(1＋x－1)5， 它的通項為Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r， T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，所以a3＝10. [答案]　(1)B　(2)A　(3)10 ——————————規(guī)律·總結———————————————— 應用通項公式要注意五點 (1)它表示二項展開式的任意項，只要n與r確定，該項就隨之確定； (2)Tr＋1是展開式中的第r＋1項，而不是第r項； (3)公式中a，b的指數(shù)和為n，且a，b不能隨便顛倒位置； (4)要將通項中的系數(shù)和字母分離開，以便于解決問題； (5)對二項式(a－b)n展開式的通項公式要特別注意符號問題． 5．若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，則＋＋…＋的值為(　　) A．2 B．0 C．－1 D．－2 解析：選C　∵(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，∴令x＝0，則a0＝1.令x＝，則2 013＝a0＋＋＋…＋＝0， 其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1. 6．若8的展開式中常數(shù)項為1 120，則展開式中各項系數(shù)之和為________． 解析：8的展開式的通項為Tr＋1＝Cx8－r(－a2)rx－r＝C(－a2)rx8－2r，令8－2r＝0，解得r＝4，所以C(－a2)4＝1 120，所以a2＝2，故8＝8.令x＝1，得展開式中各項系數(shù)之和為(1－2)8＝1. 答案：1