新編高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第十章】計數(shù)原理 第3講二項式定理

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第3講 二項式定理 一、選擇題 1．二項式6的展開式中的常數(shù)項是(　　) A．20　　　　　　　　　 B．－20 C．160 D．－160 解析 二項式(2x－)6的展開式的通項是Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二項式(2x－)6的展開式中的常數(shù)項是C·26－3·(－1)3＝－160. 答案 D 2．若二項式n的展開式中第5項是常數(shù)項，則正整數(shù)n的值可能為(　　)． A．6 B．10 C．12 D．15 解析　Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx，當(dāng)r＝4時，＝0，又n∈N*，∴n＝12. 答案　C 3．已知8展開式中常數(shù)項為1 120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是 (　　)． A．28 B．38 C．1或38 D．1或28 解析　由題意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展開式各項系數(shù)和為(1－a)8＝1或38. 答案　C 4．設(shè)n的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M－N＝240，則展開式中x的系數(shù)為(　　)． A．－150 B．150 C．300 D．－300 解析　由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4， Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－， 令4－＝1，得r＝2，T3＝150x. 答案　B 5．設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，則a＝(　　)． A．0 B．1 C．11 D．12 解析　512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a被13整除余1＋a，結(jié)合選項可得a＝12時，512 012＋a能被13整除． 答案　D 6．已知0<a<1，方程a|x|＝|logax|的實根個數(shù)為n，且(x＋1)n＋(x＋1)11＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，則a1＝ (　　)． A．－10 B．9 C．11 D．－12 解析　作出y＝a|x|(a>0)與y＝|logax|的大致圖象如圖所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C＝－2＋11＝9. 答案　B 二、填空題 7． 18的展開式中含x15的項的系數(shù)為________(結(jié)果用數(shù)值表示)． 解析　Tr＋1＝Cx18－rr＝(－1)rCrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系數(shù)為(－1)2·C2＝17. 答案　17 8．已知(1＋x＋x2)n的展開式中沒有常數(shù)項，n∈N*且2≤n≤8，則n＝________. 解析　n展開式中的通項為 Tr＋1＝Cxn－rr ＝Cxn－4r(r＝0,1,2，…，8)， 將n＝2,3,4,5,6,7,8逐個檢驗可知 n＝5. 答案　n＝5 9．若(cosφ＋x)5的展開式中x3的系數(shù)為2，則sin＝________. 解析 由二項式定理得，x3的系數(shù)為Ccos2φ＝2， ∴cos2φ＝，故sin＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－. 答案 －　 10．設(shè)二項式6(a＞0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項為B.若B＝4A，則a的值是________． 解析　由Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r， 得B＝C(－a)4，A＝C(－a)2，∵B＝4A，a＞0，∴a＝2. 答案　2 三、解答題 11．已知二項式n的展開式中各項的系數(shù)和為256. (1)求n；(2)求展開式中的常數(shù)項． 解　(1)由題意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8. (2)該二項展開式中的第r＋1項為Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，令＝0，得r＝2，此時，常數(shù)項為T3＝C＝28. 12．已知等差數(shù)列2,5,8，…與等比數(shù)列2,4,8，…，求兩數(shù)列公共項按原來順序排列構(gòu)成新數(shù)列{Cn}的通項公式． 解　等差數(shù)列2,5,8，…的通項公式為an＝3n－1， 等比數(shù)列2,4,8，…的通項公式為bk ＝2k ，令3n－1＝2k ，n∈N*，k ∈N*， 即n＝＝ ＝， 當(dāng)k ＝2m－1時，m∈N*， n＝∈N*， Cn＝b2n－1＝22n－1(n∈N*)． 13．已知(a2＋1)n展開式中的各項系數(shù)之和等于5的展開式的常數(shù)項，而(a2＋1)n的展開式的系數(shù)最大的項等于54，求a的值． 解　5的展開式的通項為Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常數(shù)項T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展開式的各項系數(shù)之和等于2n，由題意知2n＝16，得n＝4.由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，(a2＋1)n展開式中系數(shù)最大的項是中間項T3，故有Ca4＝54，解得a＝±. 14．已知n， (1)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)； (2)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項． 解　(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0. ∴n＝7或n＝14， 當(dāng)n＝7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5. ∴T4的系數(shù)為C423＝， T5的系數(shù)為C324＝70， 當(dāng)n＝14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T8. ∴T8的系數(shù)為C727＝3 432. (2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0. ∴n＝12或n＝－13(舍去)．設(shè)Tk＋1項的系數(shù)最大， ∵12＝12(1＋4x)12， ∴　∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10. ∴展開式中系數(shù)最大的項為T11， T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.