新教材2021-2022學年人教A版必修第一冊 1.2　集合間的基本關系 學案.docx

1.2集合間的基本關系 核心知識目標 核心素養(yǎng)目標 1. 理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集、真子集. 2. 在具體情境中，了解空集的含義. 3. 會判斷集合間的基本關系. 4. 能使用Venn圖表達集合間的基本關系. 1. 通過對集合間基本關系的學習，達成數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng). 2. 通過Venn圖的應用，發(fā)展直觀想象的核心素養(yǎng). 顯)知識探究-素養(yǎng)啟迪®知識探究 1. 子集的概念 ［問題1］下面給出的兩對集合，集合A中的元素都是集合B中的元素嗎？ (1) A=(0,l,2),B=(0,1,2,3}; (2) A=(x|x<~l},B=(x|x<l}. 提小:是的. 梳理1子集 (1)定義:一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素,稱集合A為集合B的子集. 對于兩個集合是用列舉法或描述法（元素個數(shù)有限）表示的集合間的I關系,常轉化為方程（組）求解，注意所求參數(shù)要滿足集合中元素互異I性，若含參數(shù)的集合是一個給定集合的子集時,還要注意空集是任何集合子集的特殊情況，如本例中k=0,若忽視，則丟解. 探究角度2求參數(shù)范圍:例5］已知集合A=（x|x<-l,或x〉4},B={x|2aWxWa+3},若BWA,求實數(shù)a的取值范圍. 解：當B二°時，只需2a〉a+3,有a>3;當B云°時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸， I11——. laa+3-1X"4x 可得薯3己、或解得a<-4,或2<a<3. 綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為{a|a〈-4,或a>2}. ［變式訓練5-1］把集合A換成“A={x|T〈x〈2}”，集合B不變，求ACB時，實數(shù)a的取值范圍. 解：因為A二{x|-Kx<2},B={x|2aWxWa+3}. 若AWB,如圖，2a-12a+3刀 所以{嘩;2,所以實數(shù)a的取值范圍為{al-lWaW-：}. ［變式訓練5-2］本例中，若將B改為B=(x12a<x<a+3),其他條件不變,求實數(shù)a的取值范圍. 解：當B二o時,只需2aNa+3,即a>3,42a+3〉2a)2a>4. 42a+3〉2a)2a>4. 當B尹°時,根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸,可得｛:I;<皓或f 解得aW-4或2Wa〈3. 綜上,可得實數(shù)a的取值范圍為｛a|aW-4或aN2｝. 即時訓練5-1:已知A=(x|x<3},B=(x|x<a). ⑴若BCA,求實數(shù)a的取值范圍;⑵若AWB,求實數(shù)a的取值范圍. 解：⑴因為BWA,B是A的子集，由圖⑴得aW3. a3 圖⑴ ⑵因為AcB,A是B的子集,由圖⑵得aN3. 3ax圖⑵ 寸方法總結 由含參數(shù)的連續(xù)數(shù)集之間的子集、真子集關系求參數(shù)取值范圍時常利用數(shù)軸法求解，若含參數(shù)的集合是確定集合的子集或真子集時，應考慮該集合為空集的特殊情況，并且要注意驗證參數(shù)的端點值是否滿足題意. 題備用例題 ⑵當m-230,即m^2時,A公。，由A(B可知1WA或26A: ① 當16A時，由l-2m+m2-m+2=0可知m2-3m+3=0,該方程無實數(shù)解，不成立；當2EA時，由4-4m+m2-m+2=0可知m2-5m+6=0,解得m=2或m二3,而且m二2時,A={2},滿足題意,m=3時,A=(2,4},不滿足題意. 綜上可知,m的取值范圍是{n)|mW2}. 1. 已知全集U=R,則能表示集合M={-1,0,1)^DN=(x|x2+x=0)的關系的韋恩圖是(B) 解析:x2+x=0的解為T和0,因此集合N是集合M的真子集，故選B. 2. (多選題)下列說法中正確的是(BD)空集沒有子集 (A) 任何集合至少有一個子集空集是任何集合的真子集 (B) 若0呈A,則A乂°解析:空集的子集是本身且空集只有一個子集，因此A錯誤;B正確；由于空集是任何非空集合的真子集，因此C錯誤;D正確. 3. 用“呈”或“邈”填空: (DZN;ZQ; ⑶QN;⑷RQ. 答案：⑴邈⑵呈⑶邈(4)邈若{x|xNa}c(x|xNT},則實數(shù)a的取值范圍是 ⑵符號表示:AGB(或BPA).讀作“A包含于B”(或“B包含A”). (2) Venn圖表示CE)性質 ① 任何一個集合都是它本身的子集，即AUA. ② 對于集合A,B,C,如果ACB,且BCC,那么A^C. 2. 集合的相等實例觀察下面兩個例子： (1) 設C=(x|x是兩條邊相等的三角形｝,D=｛x|x是等腰三角形｝；C=(1,5,6),D=(6,5,1). ［問題2-1］你能發(fā)現(xiàn)兩個集合間有什么關系嗎？ 提示：⑴⑵中集合C,D的元素相同，即集合C中任何一個元素都是集合D中的元素，同時，集合D中任何一個元素也都是集合C中的元素. ［問題2-2］與實數(shù)中的結論“若aNb,且b，a,則a=b”相類比，在集合中,你能得出什么結論？ 提示:若兩個集合互為子集，則這兩個集合相等. 梳理2集合相等⑴定義:一般地，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等.也就是說，若ACB,且BWA,則A^B. (2) 符號表示:A二B. (3)Venn圖表示: 4(B) (4)性質:對于集合A,B,C,如果A二B,且B二C,那么A^C. 3. 真子集的概念［問題3］對于［問題1］中給出的兩對集合，集合B中的元素都是集合 A中的元素嗎？ 提示:不全是. 梳理3真子集定義:如果集合AWB,但存在元素xGB,且x々A,則稱集合A是集合B的真子集. ⑵符號表示:A呈B(或B呈A)讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”). (3) Venn圖表示⑷性質：對于集合A,B,C,如果A£B,且B呈C,那么A呈C. 4. 空集［問題4］集合A=(x|x<-1且x〉3｝中有多少個元素？ 提示:0個. 梳理4空集定義:不含任何元素的集合,叫做空集. (1) 符號表示:g. ⑶規(guī)定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. ®小試身手下列關于0的說法正確的是(D) (A)Oe0(B)0e{0}(0(O}c0(D)0C{O} 解析：0是不含任何元素的集合，所以0任°,0^{0},故選D. 1. 集合{x|x=l}的子集有個. 答案：2(人教A教材P8練習T2改編)用““頓“呈，，“呈，，或“二，，填 空： (1) 5{5};{a,b,c}(a,c}; (2) (1,2,3}{3,2,1);0{0}. 答案：⑴E⑵呈⑶二⑷呈集合A=(x|x=3m-l,meN)和B=(x|x=3m+2,meN}之間的關系 是. 解析：由A二析1,2,5,8,…},B=(2,5,8,???),知B£A. 答案:B0點曝堂蹇更.素鑫姓宣/-—— EQ探究點一子集與真子集的概念探究角度1子集的列舉、子集個數(shù) ［例1］已知集合M=(x|x<2且x6N},N=(x|-2<x<2且x£Z}. (1) 寫出集合M的子集、真子集；求集合N的子集數(shù)、真子集數(shù)和非空真子集數(shù). 解:M=(x|x<2且xEN}={0,1},N=(x|-2<x<2,且xEZ)=(-1,0,1). (1) 所以M的子集為0,{0},{1},{0,1};其中真子集為o,{0},{1}. (2) N的子集為o,(-1),{0},{1},(-1,0},(-1,1},(0,1),(-1,0,1).所以N的子集數(shù)為8,真子集數(shù)為7,非空真子集數(shù)為6. 即時訓練1-1：已知集合M滿足{1,2}2,3,4,5),寫出集合M所有的可能情況. 解：由題意可以確定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一個，因此依據(jù)集合M的元素個數(shù)分類如下： 含有3個元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};含有4個元素:(1,2,3,4},{1,2,3,5),{1,2,4,5}; 含有5個元素：(1,2,3,4,5}. 故滿足條件的集合M為{1,2,3},(1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},(1,2, 3,4,5). 寸方法總結寫一個集合的子集時，可按子集中元素的個數(shù)多少分類寫出，注意要做到不重不漏. (1) n個元素的集合，其子集、真子集的個數(shù)討論： ① 0的子集只有1個. ② {&}的子集有2個. ③ {a,b}的子集有4個. ④ {a,b,c}的子集有8個. 含有n個元素的集合M有2。個子集，有(2」1)個非空子集，有(2。-1)個真子集有(2」2)個非空真子集. 多易錯警示寫一個集合的子集時，不要忘記|。|和其本身. 探究角度2集合間關系的判斷［例2］寫出下列各對集合之間的關系： (1) A=(x|-l<x<4},B=(x|x-5<0};A=(x|x=2n,n^Z),B=(y|y=k+2,k6Z}; (2) A=(x|x=k+-,kEZ},B二{x|x=2k+-,kEZ}. 2i解：⑴集合B=(x|x<5},用數(shù)軸表示集合A,B如圖所示，由圖可知 A呈B. B A III, >? -2-1012345式當k,n取整數(shù)時,A二{…,-4,-2,0,2,4,6,…}, B二{…，-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,…},故A呈B. (1) 集合A中,x二k+手號(kez),因此kEZ時,2k+l是奇數(shù);集合B中，x=2k+i=—(kez),因此k£Z時,4k+l只表示部分奇數(shù)，故B呈A. 即時訓練2-1:寫出下列每對集合之間的關系： ⑴A={1,2,3,4,5},B={1,3,5};(2)O{x|x』l},D={x||x|二1}; (2) E=｛-1,1｝,F=((-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)｝;G=｛等腰三角形｝,H=｛等邊三角形｝. 解：⑴因為B的每個元素都屬于A,而4£A且4《B,所以B呈A. ⑵因為C和D包含的元素都是1和T,所以C二D. (3) 集合E的代表元素是數(shù)，集合F的代表元素是實數(shù)對，因此兩集合之間無包含關系. (4) 由于等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故G邈H. 寸方法總結判斷兩個集合間的關系時,首先要明確集合的元素特征，分析集合的元素之間的關系，然后根據(jù)以下方法判斷： (1) 直接法:首先判斷一個集合A中的任意一個元素是否屬于另一個集合B.若是，則AWB,否則A不是B的子集.其次通過判斷另一個集合B中的任意一個元素是否屬于集合A來判斷它們之間的真子集關系. (2) 對于用列舉法表示的集合，只需要觀察其元素即可知道它們之間的關系. (3) 對于用描述法表示的集合，要從所含元素的特征來分析;若集合之間可以統(tǒng)一形式，則需要統(tǒng)一形式后判斷. (4) 而對于不等式表示的數(shù)集,可在數(shù)軸上標出集合的元素，直觀地進行判斷，但要注意端點值的取舍. 三。探究點二集合相等 ［例3］己知A={1,x,2x),B=(l,y,y2),若AWB,且AW,求實數(shù)x和y的值. 解：由AcB,且A2B知,A=B. 由集合相等的概念可得g2了‘21 解方程組得X=0,y=0, 我或=2, '乙，4 1V=-. 】2 當x二0,y=0時,A二｛1,0,0｝,B二｛1,0,0｝不符合集合中元素的互異性，舍去. 所以x=2,y=2或x=iy三. 42即時訓練3-1:設集合A二｛x,y),B二(0,x2),若A=B,求實數(shù)x,y的值. 解：因為集合A,B相等，所以x=0或y=0. ⑴當x=0時,X?=0,則B=｛0,0),不滿足集合中元素的互異性，故舍去. (2)當y=0時,x=x2,解得x=0或x=l.由(1)知x=0應舍去. 綜上知，x=l,y=0. 寸方法總結 根據(jù)集合相等求參數(shù),首先分析一個集合中元素與另一集合中哪個元素相等，分幾種情況進行討論，然后通過列方程(組)求解.當集合麗未知元素不止一個時，情況會更復雜,需要多次討論.求出參數(shù)后要根據(jù)集合中元素的互異性進行檢驗,排除不合要求的解. 三Q探究點三根據(jù)集合間的關系求參數(shù)值或取值范圍探究角度1求參數(shù)值 ［例4］集合A=(x|x2=4,xGR},集合B={x|kx二4,x《R},若BWA,則實數(shù)k=. 解析:A=(x|x2=4,x£R}二{-2,2}. 因為BWA,所以B=0,B={2},B=(-2},B=(-2,2}. 因為方程kx二4最多有一個實數(shù)根或無根，因此分類討論如下：當B二。時，方程kx=4無實根，所以k=0;當B二{2}時，則2是方程kx=4的實根，故2k二4nk二2; 當B二{-2}時，則-2是方程kx=4的實根，故-2k二4nk二-2. 綜上可知實數(shù)k=0,2,-2. 答案：0,2,-2即時訓練4T:已知集合A二{1,3,何},B二{1,m},BWA,則m等于() (A)0或必(B)0或3(C)1或必或)1或3 解析：因為BWA,所以m二3或若m=3,則A={1,3,V3),B=(1,3},滿足BWA. 若m=y/m,解得m=0或m二1. ① 若m二0,則A二{1,3,0},B二{1,0},滿足BWA;若m=1,則A,B不滿足集合中元素的互異性，舍去. 綜上,m=0或m=3,故選B. 寸方法總結