2018版高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 3.1.1 不等關(guān)系與不等式 3.1.2 不等式的性質(zhì)學(xué)案 新人教B版必修5.doc

3.1.1　不等關(guān)系與不等式 3.1.2　不等式的性質(zhì) 1.了解不等式的性質(zhì).(重點(diǎn)) 2.能用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系.(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　不等關(guān)系與不等式 閱讀教材P61～P62例1，完成下列問(wèn)題. 1.不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn) (1)不等符號(hào)<，≤，>，≥或≠. (2)所表示的關(guān)系是不等關(guān)系. 2.不等式中的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 3.比較兩實(shí)數(shù)a，b大小的依據(jù) 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)某隧道入口豎立著“限高4.5米”的警示牌，是指示司機(jī)要安全通過(guò)隧道，應(yīng)使車載貨物高度h滿足關(guān)系為h≤4.5.(　　) (2)用不等式表示“a與b的差是非負(fù)數(shù)”為a－b>0.(　　) (3)不等式x≥2的含義是指x不小于2.(　　) (4)若a<b或a＝b之中有一個(gè)正確，則a≤b正確.(　　) 【解析】　(1)√.因?yàn)椤跋薷?.5米”即為“高度不超過(guò)4.5米”.不超過(guò)用“≤”表示，故此說(shuō)法正確. (2).因?yàn)椤胺秦?fù)數(shù)”即為“不是負(fù)數(shù)”，所以a－b≥0，故此說(shuō)法錯(cuò)誤. (3)√.因?yàn)椴坏仁絰≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此說(shuō)法是正確的. (4)√.因?yàn)椴坏仁絘≤b表示a<b或a＝b.故若a<b或a＝b中有一個(gè)正確，則a≤b一定正確. 【答案】　(1)√　(2)　(3)√　(4)√ 教材整理2　不等式的性質(zhì) 閱讀教材P64～P65例，完成下列問(wèn)題. 常用不等式的重要性質(zhì) 名稱 式子表達(dá) 性質(zhì)1(對(duì)稱性) a＞b?b＜a 性質(zhì)2(傳遞性) a>b，b>c?a>c 性質(zhì)3(可加性) a＞b?a＋c>b＋c 推論1 a＋b＞c?a＞c－b 推論2 a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d 性質(zhì)4 (可乘性) a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc 推論1 a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd 推論2 a＞b＞0? an＞bn(n∈N＋，n＞1) 推論3 a＞b＞0?＞(n∈N＋，n>1) 用不等號(hào)填空： (1)若a>b，則ac2________bc2. (2)若a＋b>0，b<0，則b________a. (3)若a>b，c<d，則a－c________b－d. (4)已知x<1，則x2＋2________3x. 【解析】　(1)因?yàn)楫?dāng)c2>0時(shí)，有ac2>bc2. 當(dāng)c2＝0時(shí)，有ac2＝bc2，故應(yīng)填“≥”. (2)因?yàn)閍＋b>0，b<0，所以a>0，故應(yīng)填“<”. (3)因?yàn)閏<d，所以－c>－d，又因?yàn)閍>b， 所以a－c>b－d，故應(yīng)填“>”. (4)因?yàn)閤2＋2－3x＝(x－2)(x－1)，而x<1，所以x－2<0，x－1<0，則(x－2)(x－1)>0， 即x2＋2－3x>0，所以x2＋2>3x，故應(yīng)填“>”. 【答案】　(1)≥　(2)<　(3)>　(4)> [小組合作型] 用不等式(組)表示不等關(guān)系 　你有過(guò)乘坐火車的經(jīng)歷嗎？火車站售票處有規(guī)定：兒童身高不足1.2 m的免票，身高1.2 m～1.5 m的兒童火車票為半價(jià)，身高超過(guò)1.5 m的兒童買全價(jià)票.你能用不等式表示這些規(guī)定嗎？ 【精彩點(diǎn)撥】　本題關(guān)鍵是要提取問(wèn)題中所提供的表示不等關(guān)系的信息：①身高不足1.2 m，②身高1.2 m～1.5 m，③身高超過(guò)1.5 m，抓住表示不等關(guān)系的詞語(yǔ)即可. 【自主解答】　設(shè)身高為h m， 文字表述 身高不足 1.2 m 身高在1.2 m ～1.5 m間 身高超過(guò) 1.5 m 符號(hào)表示 h<1.2 1.2≤h≤1.5 h>1.5 票價(jià) 免票 半價(jià)票 全價(jià)票 1.此類問(wèn)題的難點(diǎn)是如何正確地找出題中的顯性不等關(guān)系和隱性不等關(guān)系. 2.當(dāng)問(wèn)題中同時(shí)滿足幾個(gè)不等關(guān)系，則應(yīng)用不等式組來(lái)表示它們之間的不等關(guān)系，另外若問(wèn)題有幾個(gè)變量，選用幾個(gè)字母分別表示這些變量即可. 3.用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟： (1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ)：至多、至少、大于等. (2)適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量. (3)用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語(yǔ)，并連接變量得不等式. [再練一題] 1.用不等式(組)表示下列問(wèn)題中的不等關(guān)系： (1)限速80 km/h的路標(biāo)； (2)橋頭上限重10噸的標(biāo)志； (3)某酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不多于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p不少于2.3%. 【解】　(1)設(shè)汽車行駛的速度為v km/h，則v≤80. (2)設(shè)汽車的重量為ω噸，則ω≤10. (3) 比較兩數(shù)(式)的大小 　比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。? (1)x2＋3與3x； (2)已知a，b為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2. 【精彩點(diǎn)撥】　我們知道，a－b＞0?a＞b，a－b＜0?a＜b，因此，若要比較兩式的大小，只需作差與0作比較即可. 【自主解答】　(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3 ＝＋≥＞0， ∴x2＋3＞3x. (2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)， ∵a＞0，b＞0 且 a≠b， ∴(a－b)2＞0，a＋b＞0. ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2. 1.作差法比較兩個(gè)數(shù)大小的步驟及變形方法： (1)作差法比較的步驟：作差→變形→定號(hào)→結(jié)論. (2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；⑤分母或分子有理化；⑥分類討論. 2.如果兩實(shí)數(shù)同號(hào)，亦可采用作商法來(lái)比較大小，即作商后看商是大于1，等于1，還是小于1. [再練一題] 2.已知a>0，試比較a與的大小. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082042】 【解】　因?yàn)閍－＝＝，因?yàn)閍>0，所以當(dāng)a>1時(shí)，>0，有a>； 當(dāng)a＝1時(shí)，＝0，有a＝； 當(dāng)0<a<1時(shí)，<0，有a<. 綜上，當(dāng)a>1時(shí)，a>； 當(dāng)a＝1時(shí)，a＝； 當(dāng)0<a<1時(shí)，a<. [探究共研型] 不等式的性質(zhì)應(yīng)用 探究1　小明同學(xué)做題時(shí)進(jìn)行如下變形： ∵2<b<3， ∴<<， 又∵－6<a<8， ∴－2<<4. 你認(rèn)為正確嗎？為什么？ 【提示】　不正確.因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，但同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，在本題中只知道－6<a<8.不明確a值的正負(fù).故不能將<<與－6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能分別相乘. 探究2　由－6<a<8，－4<b<2，兩邊分別相減得－2<a－b<6，你認(rèn)為正確嗎？ 【提示】　不正確.因?yàn)橥虿坏仁骄哂锌杉臃ㄅc可乘性.但不能相減或相除，解題時(shí)要充分利用條件，運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)變形，而不可隨意“創(chuàng)造”性質(zhì). 探究3　你知道下面的推理、變形錯(cuò)在哪兒?jiǎn)幔? ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 這怎么與－2<a＋b<2矛盾了呢？ 【提示】　利用幾個(gè)不等式的范圍來(lái)確定某不等式的范圍要注意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形.本題中將2<a－b<4與－2<a＋b<2兩邊相加得0<a<3，又將－4<b－a<－2與－2<a＋b<4兩邊相加得出－3<b<2，又將該式與0<a<3兩邊相加得出－3<a＋b<3，多次使用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了a＋b范圍的擴(kuò)大. 　(1)已知－≤α<β≤，試求的取值范圍； (2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍. 【精彩點(diǎn)撥】　(1)→ 【自主解答】　(1)∵－≤α<β≤， ∴－≤<，－<≤， ∴－≤－<， ∴－≤<. 又α<β，∴<0， ∴－≤<0. ∴的取值范圍是. (2)法一：設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))， 則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b) ＝(m＋n)a＋(n－m)b， 于是得 解得 ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1). 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10， 即f(－2)的取值范圍是[5,10]. 法二：由 得 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1). 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10， 即f(－2)的取值范圍是[5,10]. 1.利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng) (1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上， 記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用. (2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則. 2.利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要注意的問(wèn)題 (1)恰當(dāng)設(shè)計(jì)解題步驟，合理利用不等式的性質(zhì). (2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)要切實(shí)注意不等式性質(zhì)的前提條件，切不可用似乎是很顯然的理由，代替不等式的性質(zhì)，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等. (3)準(zhǔn)確使用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯(cuò)誤. [再練一題] 3.(1)已知12<a<60,15<b<36，求a－b與的取值范圍； (2)若bc－ad≥0，bd>0，求證：≤. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082043】 【解】　(1)∵15<b<36，∴－36<－b<－15， ∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45. ∵<<，∴<<，∴<<4. ∴a－b和的取值范圍分別是(－24,45)，. (2)證明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad， ∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b). 又bd>0，兩邊同除以bd得，≤. 1.完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工共需付工資每人500元，請(qǐng)瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則工人滿足的關(guān)系式是(　　) A.5x＋4y<200　　 B.5x＋4y≥200 C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200 【解析】　據(jù)題意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故選D. 【答案】　D 2.若x≠－2且y≠1，則M＝x2＋y2＋4x－2y的值與－5的大小關(guān)系是(　　) A.M>－5 B.M<－5 C.M≥－5 D.M≤－5 【解析】　M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2， ∵x≠－2，y≠1， ∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0. 故M>－5. 【答案】　A 3.b g糖水中有a g糖(b>a>0)，若再添上m g糖(m>0)，則糖水變甜了，根據(jù)這個(gè)事實(shí)提煉的一個(gè)不等式為(　　) A.＜ B.＞ C.＜ D.＞ 【解析】　變甜了，意味著含糖量大了，即濃度高了. 加糖之前糖水的濃度為， 加糖之后糖水的濃度為， 故>. 【答案】　B 4.已知－1<2x－1<1，則－1的取值范圍是________________________. 【解析】?。?<2x－1<1?0<x<1?>1?>2?－1>1. 【答案】　(1，＋∞) 5.(1)已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大??； (2)若a>b>0，c<d<0，e<0，求證：>. 【解】　(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1). ∵x≤1，∴x－1≤0. 又3x2＋1>0，∴(x－1)(3x2＋1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. (2)證明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0，則(a－c)2>(b－d)2>0，即<. 又e<0，∴>.