2018-2019學年高中數學 課時分層作業(yè)12 圓錐曲線的統一定義 蘇教版必修4.doc
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2018-2019學年高中數學 課時分層作業(yè)12 圓錐曲線的統一定義 蘇教版必修4.doc
課時分層作業(yè)(十二) 圓錐曲線的統一定義
(建議用時:40分鐘)
[基礎達標練]
一、填空題
1.若直線ax-y+1=0經過拋物線y2=4x的焦點,則實數a=________.
[解析] 拋物線y2=4x的焦點是(1,0),直線ax-y+1=0過焦點,∴a+1=0,∴a=-1.
[答案]?。?
2.已知橢圓的準線方程為y=4,離心率為,則橢圓的標準方程為________.
[解析] 由題意==4,∴a=4e=2.
∵e==,
∴c=1,b2=a2-c2=3.
由準線方程是y=4可知,
橢圓的焦點在y軸上,標準方程為+=1.
[答案]?。?
3.已知拋物線y2=2px的準線與雙曲線x2-y2=2的左準線重合,則拋物線的焦點坐標為________.
[解析] 雙曲線的左準線為x=-1,
拋物線的準線為x=-,所以=1,所以p=2.
故拋物線的焦點坐標為(1,0).
[答案] (1,0)
4.已知橢圓E的中心在坐標原點,離心率為,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,A,B是C的準線與E的兩個交點,則|AB|=________.
【導學號:71392114】
[解析] 拋物線y2=8x的焦點為(2,0),∴橢圓中c=2,
又=,∴a=4,b2=a2-c2=12,
從而橢圓方程為+=1.
∵拋物線y2=8x的準線為x=-2,
∴xA=xB=-2,
將xA=-2代入橢圓方程可得|yA|=3,
由圖象可知|AB|=2|yA|=6.
[答案] 6
5.若橢圓+=1(a>b>0)的左焦點到右準線的距離等于3a,則橢圓的離心率為________.
[解析] 由題意知,+c=3a,即a2+c2=3ac,
∴e2-3e+1=0,解得e=.
[答案]
6.已知拋物線y2=16x的焦點恰好是雙曲線-=1的右焦點,則雙曲線的漸近線方程為________.
[解析] 由拋物線方程y2=16x得焦點坐標為(4,0),從而知雙曲線-=1的右焦點為(4,0),∴c=4,∴12+b2=16,∴b=2.又a=2,∴雙曲線漸近線方程為y=x,即y=x.
[答案] y=x
7.已知橢圓+=1上有一點P,它到左、右焦點距離之比為1∶3,則點P到兩準線的距離之和為________.
【導學號:71392115】
[解析] 設P(x,y),左、右焦點分別為F1,F2,由橢圓方程,可得a=10,b=6,c=8,e==,則PF1+PF2=2a=20.
又3PF1=PF2,∴PF1=5,PF2=15.
設點P到兩準線的距離分別為d1,d2,可得d1==,d2==.故點P到兩準線的距離分別為,,+=25.
[答案] 25
8.已知點P在雙曲線-=1上,并且P到雙曲線的右準線的距離恰是P到雙曲線的兩個焦點的距離的等差中項,那么P的橫坐標是________.
[解析] 記實半軸、虛半軸、半焦距的長分別為a,b,c,離心率為e,點P到右準線l的距離為d,則a=4,b=3,c=5,e==,右準線l的方程為x==.如果P在雙曲線右支上,則PF1=PF2+2a=ed+2a.從而,PF1+PF2=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d,這不可能;故P在雙曲線的左支上,則PF2-PF1=2a,PF1+PF2=2d.兩式相加得2PF2=2a+2d.
又PF2=ed,從而ed=a+d.故d===16.因此,P的橫坐標為-16=-.
[答案]?。?
二、解答題
9.已知橢圓的一個焦點是F(3,1),相應于F的準線為y軸,l是過F且傾斜角為60的直線,l被橢圓截得的弦AB的長是,求橢圓的方程.
[解] 設橢圓離心率為e,M(x,y)為橢圓上任一點,
由統一定義=e,得=e,
整理得(x-3)2+(y-1)2=e2x2. ①
∵直線l的傾斜角為60,∴直線l的方程為y-1=(x-3), ②
①②聯立得(4-e2)x2-24x+36=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達定理得x1+x2=,
∴AB=e(x1+x2)=e=,∴e=,
∴橢圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=x2,
即+=1.
10.已知定點A(-2,),點F為橢圓+=1的右焦點,點M在橢圓上運動,求AM+2MF的最小值,并求此時點M的坐標.
【導學號:71392116】
[解] ∵a=4,b=2,∴c==2,
∴離心率e=.
A點在橢圓內,設M到右準線的距離為d,
則=e,即MF=ed=d,右準線l:x=8,
∴AM+2MF=AM+d.
∵A點在橢圓內,
∴過A作AK⊥l(l為右準線)于K,交橢圓于點M0.
則A,M,K三點共線,即M與M0重合時,AM+d最小為AK,其值為8-(-2)=10.
故AM+2MF的最小值為10,此時M點坐標為(2,).
[能力提升練]
1.已知點F1,F2分別是橢圓x2+2y2=2的左,右焦點,點P是該橢圓上的一個動點,那么|1+2|的最小值是________.
[解析] 橢圓x2+2y2=2的標準方程是+y2=1,
∴a=,b=1.
∵1+2=2,
∴|+|=2||.
∵b≤||≤a,
∴1≤||≤,
∴|1+2|的最小值是2.
[答案] 2
2.過圓錐曲線C的一個焦點F的直線l交曲線C于A,B兩點,且以AB為直徑的圓與F相應的準線相交,則曲線C為________.
[解析] 設圓錐曲線的離心率為e,M為AB的中點,A,B和M到準線的距離分別為d1,d2和d,圓的半徑為R,d=,R===.由題意知R>d,則e>1,圓錐曲線為雙曲線.
[答案] 雙曲線
3.設橢圓C:+=1(a>b>0)恒過定點A(1,2),則橢圓的中心到準線的距離的最小值為________.
[解析] ∵A(1,2)在橢圓上,∴+=1,
∴b2=,則橢圓中心到準線距離的平方為====.
令a2-5=t>0,
f(t)==t++9≥9+4.
當且僅當t=時取“=”,
∴≥ =+2,
∴min=+2.
[答案]?。?
4.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右準線l2與一條漸近線l交于點P,F是雙曲線的右焦點.
(1)求證:PF⊥l;
(2)若|PF|=3,且雙曲線的離心率e=,求該雙曲線的方程.
【導學號:71392117】
[解] (1)證明:右準線為l2:x=,由對稱性不妨設漸近線l為y=x,則P,又F(c,0),
∴kPF==-.
又∵kl=,∴kPFkl=-=-1.
∴PF⊥l.
(2)∵|PF|的長即F(c,0)到l:bx-ay=0的距離,
∴=3,即b=3,又e==,
∴=,∴a=4.故雙曲線方程為-=1.