2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 階段復(fù)習(xí)課 第1課 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5.doc

第一課　解三角形 [核心速填] 1．正弦定理 (1)公式表達：＝＝＝2R. (2)公式變形： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； ②sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； ④＝＝＝＝2R. 2．余弦定理 (1)公式表達： a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C. (2)推論：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 3．三角形中常用的面積公式 (1)S＝ah(h表示邊a上的高)； (2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C； (3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)． [體系構(gòu)建] [題型探究] 利用正、余弦定理解三角形 　在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)證明：A＝2B； (2)若△ABC的面積S＝，求角A的大小. 【導(dǎo)學(xué)號：91432090】 [解]　(1)證明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)． 又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π，所以，B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B. (2)由S＝，得absin C＝，故有 sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B， 因為sin B≠0，所以sin C＝cos B， 又B，C∈(0，π)，所以C＝B. 當(dāng)B＋C＝時，A＝； 當(dāng)C－B＝時，A＝. 綜上，A＝或A＝. [規(guī)律方法]　解三角形的一般方法：,(1)已知兩角和一邊，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b. (2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a、b和C，應(yīng)先用余弦定理求c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角. (3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a、b和A，應(yīng)先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多種情況. (4)已知三邊a、b、c，可應(yīng)用余弦定理求A、B、C. [跟蹤訓(xùn)練] 1．如圖11，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，點D在BC邊上，CD＝2，cos∠ADC＝. 圖11 (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的長． [解]　(1)在△ADC中， 因為cos∠ADC＝， 所以sin∠ADC＝. 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B) ＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B ＝－＝. (2)在△ABD中，由正弦定理，得 BD＝＝＝3. 在△ABC中，由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B ＝82＋52－285＝49. 所以AC＝7. 判斷三角形的形狀 　在△ABC中，若B＝60，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀． 思路探究：利用正弦定理將已知條件中邊的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系求角或利用余弦定理，由三邊之間的關(guān)系確定三角形的形狀． [解]　法一：(正弦定理邊化角)由正弦定理， 得2sin B＝sin A＋sin C. ∵B＝60，∴A＋C＝120. ∴2sin 60＝sin(120－C)＋sin C. 展開整理得sin C＋cos C＝1. ∴sin(C＋30)＝1. ∵0<C<120， ∴C＋30＝90. ∴C＝60，則A＝60. ∴△ABC為等邊三角形． 法二：(余弦定理法)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B. ∵B＝60，b＝， ∴2＝a2＋c2－2accos 60， 化簡得(a－c)2＝0. ∴a＝c. 又B＝60， ∴a＝b＝c. ∴△ABC為等邊三角形． [規(guī)律方法]　根據(jù)已知條件(通常是含有三角形的邊和角的等式或不等式)判斷三角形的形狀時，需要靈活地應(yīng)用正弦定理和余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或角的關(guān)系.判斷三角形的形狀是高考中考查能力的常見題型，此類題目要求準(zhǔn)確地把握三角形的分類，三角形按邊的關(guān)系分為等腰三角形和不等邊三角形；三角形按角的關(guān)系分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形. 判斷三角形的形狀，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)方法求解；將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角知識求解. [跟蹤訓(xùn)練] 2．在△ABC中，若＝，試判斷△ABC的形狀. 【導(dǎo)學(xué)號：91432091】 [解]　由已知＝＝＝， 得＝. 可有以下兩種解法． 法一：(利用正弦定理，將邊化角) 由正弦定理得＝，∴＝， 即sin Ccos C＝sin Bcos B， 即sin 2C＝sin 2B. ∵B，C均為△ABC的內(nèi)角， ∴2C＝2B或2C＋2B＝180. 即B＝C或B＋C＝90. ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形． 法二：(利用余弦定理，將角化邊) ∵＝， ∴由余弦定理得＝， 即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)． ∴a2c2－c4＝a2b2－b4， 即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0. ∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0， 即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0. ∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0， 即b＝c或a2＝b2＋c2. ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形. 正、余弦定理的實際應(yīng)用 　如圖12所示，某市郊外景區(qū)內(nèi)有一條筆直的公路a經(jīng)過三個景點A、B、C.景區(qū)管委會開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點D.經(jīng)測量景點D位于景點A的北偏東30方向上8 km處，位于景點B的正北方向，還位于景點C的北偏西75方向上．已知AB＝5 km. 圖12 (1)景區(qū)管委會準(zhǔn)備由景點D向景點B修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長； (2)求景點C與景點D之間的距離．(結(jié)果精確到0.1 km) (參考數(shù)據(jù)：＝1.73，sin 75＝0.97，cos 75＝0.26，tan 75＝3.73，sin 53＝0.80，cos 53＝0.60，tan 53＝1.33，sin 38＝0.62，cos 38＝0.79，tan 38＝0.78) 思路探究：(1)以BD為邊的三角形為△ABD和△BCD，在△ABD中，一角和另外兩邊易得，所以可在△ABD中利用余弦定理求解DB. (2)以CD為邊的兩個三角形中的其他邊不易全部求得，而角的關(guān)系易得，考慮應(yīng)用正弦定理求解． [解]　(1)設(shè)BD＝x km，則在△ABD中，由余弦定理得52＝82＋x2－28xcos 30，即x2－8x＋39＝0，解得x＝43.因為4＋3>8，應(yīng)舍去，所以x＝4－3≈3.9，即這條公路的長約為3.9 km. (2)在△ABD中，由正弦定理得＝，所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝sin∠ADB＝＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6.在△CBD中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75)＝0.80.26＋0.60.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC≈3.9.故景點C與景點D之間的距離約為3.9 km. [規(guī)律方法]　正弦定理、余弦定理在實際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.常用的有測量距離問題，測量高度問題，測量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系)，最后確定用哪個定理轉(zhuǎn)化，用哪個定理求解，并進行作答，解題時還要注意近似計算的要求. [跟蹤訓(xùn)練] 3．如圖13，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點A處有一個水聲監(jiān)測點，另兩個監(jiān)測點B，C分別在A的正東方20 km和54 km處．某時刻，監(jiān)測點B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個聲波信號，8 s后監(jiān)測點A,20 s后監(jiān)測點C相繼收到這一信號，在當(dāng)時氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s. 圖13 (1)設(shè)A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值； (2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離(精確到0.01 km). 【導(dǎo)學(xué)號：91432092】 [解]　(1)由題意得PA－PB＝1.58＝12(km)， PC－PB＝1.520＝30(km)． ∴PB＝x－12，PC＝18＋x. 在△PAB中，AB＝20 km， cos∠PAB＝＝＝. 同理cos∠PAC＝. ∵cos∠PAB＝cos∠PAC， ∴＝，解得x＝. (2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x＝≈17.71(km)． 所以靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離為17.71 km. 與三角形有關(guān)的綜合問題 [探究問題] 1．如圖14所示，向量與的夾角是∠B嗎？在△ABC中，兩向量的數(shù)量積與余弦定理有怎樣的聯(lián)系？ 圖14 提示：向量與的夾角是∠B的補角，大小為180－∠B， 由于＝||||cos A＝bccos A. 所以＝bccos A＝(b2＋c2－a2)，有時直接利用此結(jié)論解決與向量數(shù)量積有關(guān)的解三角形問題． 2．在解三角形的過程中，求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，兩種方法有什么利弊呢？ 提示：用余弦定理可以根據(jù)角的余弦值的符號直接判斷是銳角還是鈍角，但計算比較復(fù)雜．用正弦定理計算相對比較簡單，但仍要結(jié)合已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般選擇用正弦定理去計算比較小的邊所對的角，避免討論． 　在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a>c，已知＝2，cos B＝，b＝3.求： (1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值. 【導(dǎo)學(xué)號：91432093】 思路探究：(1)由平面向量的數(shù)量積定義及余弦定理，列出關(guān)于a，c的方程組即可求解． (2)由(1)結(jié)合正弦定理分別求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解． [解]　(1)由＝2得cacos B＝2. 又cos B＝，所以ac＝6. 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B. 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋26＝13. 解得或 因為a＞c，所以a＝3，c＝2. (2)在△ABC中， sin B＝＝＝， 由正弦定理，得sin C＝sin B＝＝. 因為a＝b＞c，所以C為銳角， 因此cos C＝＝＝. 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C ＝＋＝. 母題探究：1.(變條件，變結(jié)論)將本例中的條件“a>c，＝2，cos B＝，b＝3”變?yōu)椤耙阎猄△ABC＝30且cos A＝”求的值． [解]　在△ABC中，cos A＝， ∴A為銳角且sin A＝， ∴S△ABC＝bcsin A＝bc＝30. ∴bc＝156. ∴＝||||cos A ＝bccos A＝156＝144. 2．(變條件，變結(jié)論)在“母題探究1”中再加上條件“c－b＝1”能否求a的值？ [解]　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2156＝25，∴a＝＝5. [規(guī)律方法]　正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進行了量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù)，而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通?？梢岳谜?、余弦定理完成證明、求值等問題. (1)解三角形與向量的交匯問題，可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識轉(zhuǎn)化求解. (2)解三角形與其他知識的交匯問題，可以運用三角形的基礎(chǔ)知識、正余弦定理、三角形面積公式與三角恒等變換，通過等價轉(zhuǎn)化或構(gòu)造方程及函數(shù)求解.