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1、△+△數(shù)學中考教學資料2019年編△+△
第15講 三角形及其性質(zhì)
一、 知識清單梳理
知識點一：三角形的分類及性質(zhì)
關(guān)鍵點撥與對應舉例
1.三角形的分類
（1）按角的關(guān)系分類 （2）按邊的關(guān)系分類
失分點警示：
在運用分類討論思想計算等腰三角形周長時，必須考慮三角形三邊關(guān)系.
例：等腰三角形兩邊長分別是3和6，則該三角形的周長為15.
2.三邊關(guān)系
三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
3.角的關(guān)系
（1）內(nèi)角和定理：
①三角形的內(nèi)角和等180°；
②推論：直角三角形的兩銳角互余.
（2）外角
2、的性質(zhì)：
①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和.
②三角形的任意一個外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角.
利用三角形的內(nèi)、外角的性質(zhì)求角度時，若所給條件含比例，倍分關(guān)系等，列方程求解會更簡便.有時也會結(jié)合平行、折疊、等腰（邊）三角形的性質(zhì)求解.
4.三角形中的重要線段
四線
性 質(zhì)
（1）角平分線、高結(jié)合求角度時，注意運用三角形的內(nèi)角和為180°這一隱含條件.
（2）當同一個三角形中出現(xiàn)兩條高，求長度時，注意運用面積這個中間量來列方才能夠求解.
角平分線
（1） 角平線上的點到角兩邊的距離相等
（2） 三角形的三條角平分線的相交于一點（內(nèi)心）
中線
（1） 將三
3、角形的面積等分
（2） 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
高
銳角三角形的三條高相交于三角形內(nèi)部；直角三角形的三條高相交于直角頂點；鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部
中位線
平行于第三邊，且等于第三邊的一半
5. 三角形中內(nèi)、外角與角平分線的規(guī)律總結(jié)
如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，則∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；
如圖②，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，則有∠O=∠A+90°；
如圖③，BO、CO分別為∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分線，則∠O=∠A，∠O’=∠O；
如圖④，BO、CO分
4、別為∠CBD、∠BCE的平分線，則∠O=90°-∠A.
對于解答選擇、填空題，可以直接通過結(jié)論解題，會起到事半功倍的效果.
知識點二 ：三角形全等的性質(zhì)與判定
6.全等三角形的性質(zhì)
(1)全等三角形的對應邊、對應角相等．
(2)全等三角形的對應角平分線、對應中線、對應高相等．
(3)全等三角形的周長等、面積等．
失分點警示：運用全等三角形的性質(zhì)時，要注意找準對應邊與對應角.
7.三角形全等的判定
一般三角形全等
SSS（三邊對應相等）
SAS（兩邊和它們的夾角對應相等）
ASA（兩角和它們的夾角對應相等）
AAS（兩角和其中一個角的對邊對應相等）
5、
失分點警示
如圖，SSA和AAA不能判定兩個三角形全等.
直角三角形全等
(1)斜邊和一條直角邊對應相等（HL）
(2)證明兩個直角三角形全等同樣可以用 SAS,ASA和AAS.
8.全等三角形的運用
（1）利用全等證明角、邊相等或求線段長、求角度：將特征的邊或角放到兩個全等的三角形中，通過證明全等得到結(jié)論.在尋求全等的條件時，注意公共角、公共邊、對頂角等銀行條件.
（2）全等三角形中的輔助線的作法：
①直接連接法：如圖①，連接公共邊，構(gòu)造全等.
②倍長中線法：用于證明線段的不等關(guān)系，如圖②，由SAS可得△ACD≌△EBD，則AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截長補短法：適合證明線段的和差關(guān)系，如圖③、④.
例：
如圖，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，則CE=3.
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