2018版高中數學 第1章 解三角形 1.2 第3課時 三角形中的幾何計算學案 新人教B版必修5.doc

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第3課時　三角形中的幾何計算 1.掌握三角形的面積公式的應用.(重點) 2.掌握正、余弦定理與三角函數公式的綜合應用.(難點) [基礎初探] 教材整理　三角形面積公式 閱讀教材P10探索與研究～P11，完成下列問題. 1.三角形的面積公式 (1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)； (2)S＝absin C＝bcsin_A＝casin_B； (3)S＝(a＋b＋c)r(r為內切圓半徑). 2.三角形中常用的結論 (1)∠A＋∠B＝π－∠C，＝－； (2)在三角形中大邊對大角，反之亦然； (3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊； (4)三角形的誘導公式 sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C， tan(A＋B)＝－tan_C， sin ＝cos ， cos ＝sin . 1.下列說法中正確的是________(填序號). (1)已知三角形的三邊長為a，b，c，內切圓的半徑為r，則三角形的面積S＝(a＋b＋c)r； (2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝，則∠A＝60； (3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，∠C＝30，則S△ABC的面積是6； (4)在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，則∠A＝∠B. 【解析】　(1)錯誤.因為一個三角形可以分割成三個分別以a，b，c為底，以內切圓的半徑為高的三角形，所以三角形的面積為S＝ar＋br＋cr＝(a＋b＋c)r. (2)錯誤.由三角形面積公式S＝bcsin A得， 22sin A＝，所以sin A＝，則∠A＝60或∠A＝120. (3)正確.因為三角形的面積S＝absin C＝64sin 30＝6. (4)錯誤.因為在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，則2∠A＝2∠B或2∠A＝π－2∠B，即∠A＝∠B或∠A＝－∠B. 【答案】　(3) 2.在△ABC中，a＝6，∠B＝30，∠C＝120，則△ABC的面積為________ 【解析】　由題知∠A＝180－120－30＝30.∴＝，∴b＝6，∴S＝66sin 120＝9. 【答案】　9 3.在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圓半徑為，則邊c的長為________. 【解析】　S△ABC＝absin C＝15，∴sin C＝. 由正弦定理＝2R，∴c＝2Rsin C＝3. 【答案】　3 4.若△ABC的面積為，BC＝2，∠C＝60，則邊AB的長度等于________. 【解析】　在△ABC中，由面積公式得S＝BCACsin C＝2ACsin 60＝AC＝， ∴AC＝2. ∵BC＝2，C＝60， ∴△ABC為等邊三角形. ∴AB＝2. 【答案】　2 [小組合作型] 三角形面積的計算 　(1)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，∠B＝，∠C＝，則△ABC的面積為(　　) A.2＋2 B.＋1 C.2－2 D.－1 (2)在△ABC中，S△ABC＝(a2＋b2－c2)，則∠C＝________________. (3)在△ABC中，∠A＝60，AB＝2，且△ABC的面積S△ABC＝，則邊BC的長為________. 【導學號：18082012】 【精彩點撥】　(1)利用正弦定理求邊c，然后利用三角形面積公式求解. (2)由三角形面積S＝absin C與余弦定理cos C＝相結合求解. (3)由已知可先利用三角形面積公式S＝bcsin A求出AC，然后利用余弦定理求BC. 【自主解答】　(1)由正弦定理＝及已知條件得c＝2，又sin A＝sin(B＋C)＝＋＝. 從而S△ABC＝bcsin A＝22＝＋1. (2)由S△ABC＝(a2＋b2－c2)得 absin C＝(a2＋b2－c2)，即sin C＝. ∴sin C＝cos C，即tan C＝1，∴∠C＝. (3)由S△ABC＝，得ABACsin A＝， 即2AC＝， ∴AC＝1.由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos A ＝22＋12－221＝3.∴BC＝. 【答案】　(1)B　(2)　(3) 1.由于三角形的面積公式有三種形式，實際使用時要結合題目的條件靈活運用. 2.如果已知兩邊及其夾角可以直接求面積，否則先用正、余弦定理求出需要的邊或角，再套用公式計算. [再練一題] 1.已知在△ABC中，cos A＝－，cos B＝，BC＝5，求△ABC的面積. 【解】　由cos A＝－，得sin A＝＝. 由cos B＝，得sin B＝＝. 所以sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B ＝＋＝－＝. 由正弦定理得AC＝＝＝. 所以△ABC的面積為S＝BCACsin C＝5＝. 三角形的證明問題 　在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c. 證明：＝. 【精彩點撥】　由左往右證，可由邊化角展開；由右往左證，可由角化邊展開. 【自主解答】　法一：由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， ∴a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B， 整理得：＝. 依正弦定理有＝，＝， ∴＝＝. 法二：＝ ＝＝＝. 1.三角恒等式證明的三個基本原則 (1)統(tǒng)一邊角關系. (2)由繁推簡. (3)目標明確，等價轉化. 2.三角恒等式證明的基本途徑 (1)把角的關系通過正、余弦定理轉化為邊的關系，然后進行化簡、變形. (2)把邊的關系轉化為角的關系，一般是通過正弦定理，然后利用三角函數公式進行恒等變形. [再練一題] 2.在△ABC中，求證：＝. 【證明】　由正弦定理得右邊＝ ＝ ＝ ＝＝＝左邊. ∴原等式成立. [探究共研型] 三角形中的綜合問題 探究1　如圖1228所示，圖中共有幾個三角形？線段AD分別是哪些三角形的邊，∠B是哪些三角形的內角？ 圖1228 【提示】　在圖形中共有三個三角形，分別為△ABC，△ABD，△ADC；線段AD是△ADC與△ABD的公共邊，∠B既是△ABC的內角，又是△ABD的內角. 探究2　在探究1中，若sin B＝sin ∠ADB，則△ABD是什么形狀的三角形？在此條件下若已知AB＝m，DC＝n，如何求出AC? 【提示】　若sin B＝sin ∠ADB，則△ABD為等腰三角形，在此條件下，可在△ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在△ADC中求出AC，也可以在△ABD中先求出BD，然后在△ABC中，利用余弦定理求出AC. 探究3　在探究1的圖形中若已知∠B與∠C的大小如何表示(或求)∠A，如何用∠B與∠C的正、余弦值表示∠A的正弦值？ 【提示】　∠A＝π－(∠B＋∠C)，sin A＝sin[π－(B＋C)] ＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C. 　在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知∠A＝，bsin－csin＝a. (1)求證：∠B－∠C＝； (2)若a＝，求△ABC的面積. 【導學號：18082013】 【精彩點撥】　(1)先由正弦定理化邊為角，再化簡已知三角形即證. (2)結合第(1)問可直接求出∠B，∠C，再利用面積公式求值；也可以作輔助線導出b，c的大小關系，再由余弦定理求值，最后用面積公式求解. 【自主解答】　(1)由bsin－csin＝a，應用正弦定理， 得sin Bsin－sin Csin＝sin A， 所以sin B－sin Csin B＋cos B＝， 整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，即sin(B－C)＝1， 因為0<∠B<π，0<∠C<π，從而∠B－∠C＝. (2)因∠B＋∠C＝π－∠A＝，所以∠B＝π，∠C＝. 由a＝，∠A＝得b＝＝2sin ，c＝＝2sin ，所以△ABC的面積S＝bcsin A＝sin sin ＝cos sin ＝. 1.解三角形綜合問題，除靈活運用正、余弦定理及三角形的有關知識外，一般還要用到三角函數，三角恒等變換，平面向量等知識，因此掌握正、余弦定理，三角函數的公式及性質是解題關鍵. 2.三角形問題中，涉及變量取值范圍或最值問題要注意函數思想的應用. [再練一題] 3.如圖1229，在四邊形ABCD中，AC＝CD＝AB＝1，＝1，sin∠BCD＝. 圖1229 (1)求BC邊的長； (2)求四邊形ABCD的面積. 【解】　(1)∵AC＝CD＝AB＝1， ∴＝||||cos∠BAC＝2cos∠BAC＝1，∴cos∠BAC＝，∴∠BAC＝60. 在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC＝22＋12－221＝3，∴BC＝. (2)由(1)知，在△ABC中，有AB2＝BC2＋AC2， ∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90， ∴S△ABC＝BCAC＝1＝. 又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90＋∠ACD， sin∠BCD＝，∴cos∠ACD＝， 從而sin∠ACD＝＝， ∴S△ACD＝ACCDsin∠ACD＝11＝. ∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋＝. 1.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a＝5，b＝4，cos C＝，則△ABC的面積是(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 【解析】　∵cos C＝，∠C∈(0，π)，∴sin C＝， ∴S△ABC＝absin C＝54＝6.故選B. 【答案】　B 2.已知△ABC的面積為，且b＝2，c＝，則(　　) A.∠A＝30 B.∠A＝60 C.∠A＝30或150 D.∠A＝60或120 【解析】　∵S＝bcsin A＝， ∴2sin A＝，∴sin A＝， ∴∠A＝60或120.故選D. 【答案】　D 3.在△ABC中，已知AB＝3，∠A＝120，且△ABC的面積為，則BC邊的長為________. 【解析】　∵S△ABC＝3bsin 120＝，∴b＝5，∴由余弦定理得a2＝32＋52－235cos 120＝49，∴a＝7，即BC＝7. 【答案】　7 4.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知∠B＋∠C＝，a＝，b＝1，則S△ABC等于________. 【解析】　因為∠B＋∠C＝π，所以∠A＝π－π＝， 由＝，得＝，則sin B＝， 因為a>b，所以∠A>∠B，則∠B＝， 所以∠C＝， ∴S△ABC＝absin C＝11＝. 【答案】　 5.在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別為a，b，c，已知c＝2，∠C＝. (1)若△ABC的面積等于，求a，b； (2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面積. 【解】　(1)由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4. 因為△ABC的面積等于， 所以absin C＝，得ab＝4. 聯立方程 解得 (2)由正弦定理，已知條件可化為b＝2a. 聯立方程 解得 所以△ABC的面積S＝absin C＝.