2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形 1.2 第3課時(shí) 三角形中的幾何計(jì)算學(xué)案 新人教B版必修5.doc
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2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形 1.2 第3課時(shí) 三角形中的幾何計(jì)算學(xué)案 新人教B版必修5.doc
第3課時(shí) 三角形中的幾何計(jì)算
1.掌握三角形的面積公式的應(yīng)用.(重點(diǎn))
2.掌握正、余弦定理與三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用.(難點(diǎn))
[基礎(chǔ)初探]
教材整理 三角形面積公式
閱讀教材P10探索與研究~P11,完成下列問題.
1.三角形的面積公式
(1)S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分別表示a,b,c邊上的高);
(2)S=absin C=bcsin_A=casin_B;
(3)S=(a+b+c)r(r為內(nèi)切圓半徑).
2.三角形中常用的結(jié)論
(1)∠A+∠B=π-∠C,=-;
(2)在三角形中大邊對(duì)大角,反之亦然;
(3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊;
(4)三角形的誘導(dǎo)公式
sin(A+B)=sin_C,cos(A+B)=-cos_C,
tan(A+B)=-tan_C,
sin =cos ,
cos =sin .
1.下列說法中正確的是________(填序號(hào)).
(1)已知三角形的三邊長為a,b,c,內(nèi)切圓的半徑為r,則三角形的面積S=(a+b+c)r;
(2)在△ABC中,若c=b=2,S△ABC=,則∠A=60;
(3)在△ABC中,若a=6,b=4,∠C=30,則S△ABC的面積是6;
(4)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,則∠A=∠B.
【解析】 (1)錯(cuò)誤.因?yàn)橐粋€(gè)三角形可以分割成三個(gè)分別以a,b,c為底,以內(nèi)切圓的半徑為高的三角形,所以三角形的面積為S=ar+br+cr=(a+b+c)r.
(2)錯(cuò)誤.由三角形面積公式S=bcsin A得,
22sin A=,所以sin A=,則∠A=60或∠A=120.
(3)正確.因?yàn)槿切蔚拿娣eS=absin C=64sin 30=6.
(4)錯(cuò)誤.因?yàn)樵凇鰽BC中,若sin 2A=sin 2B,則2∠A=2∠B或2∠A=π-2∠B,即∠A=∠B或∠A=-∠B.
【答案】 (3)
2.在△ABC中,a=6,∠B=30,∠C=120,則△ABC的面積為________
【解析】 由題知∠A=180-120-30=30.∴=,∴b=6,∴S=66sin 120=9.
【答案】 9
3.在△ABC中,ab=60,S△ABC=15,△ABC的外接圓半徑為,則邊c的長為________.
【解析】 S△ABC=absin C=15,∴sin C=.
由正弦定理=2R,∴c=2Rsin C=3.
【答案】 3
4.若△ABC的面積為,BC=2,∠C=60,則邊AB的長度等于________.
【解析】 在△ABC中,由面積公式得S=BCACsin C=2ACsin 60=AC=,
∴AC=2.
∵BC=2,C=60,
∴△ABC為等邊三角形.
∴AB=2.
【答案】 2
[小組合作型]
三角形面積的計(jì)算
(1)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=2,∠B=,∠C=,則△ABC的面積為( )
A.2+2 B.+1
C.2-2 D.-1
(2)在△ABC中,S△ABC=(a2+b2-c2),則∠C=________________.
(3)在△ABC中,∠A=60,AB=2,且△ABC的面積S△ABC=,則邊BC的長為________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):18082012】
【精彩點(diǎn)撥】 (1)利用正弦定理求邊c,然后利用三角形面積公式求解.
(2)由三角形面積S=absin C與余弦定理cos C=相結(jié)合求解.
(3)由已知可先利用三角形面積公式S=bcsin A求出AC,然后利用余弦定理求BC.
【自主解答】 (1)由正弦定理=及已知條件得c=2,又sin A=sin(B+C)=+=.
從而S△ABC=bcsin A=22=+1.
(2)由S△ABC=(a2+b2-c2)得
absin C=(a2+b2-c2),即sin C=.
∴sin C=cos C,即tan C=1,∴∠C=.
(3)由S△ABC=,得ABACsin A=,
即2AC=,
∴AC=1.由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2ABACcos A
=22+12-221=3.∴BC=.
【答案】 (1)B (2) (3)
1.由于三角形的面積公式有三種形式,實(shí)際使用時(shí)要結(jié)合題目的條件靈活運(yùn)用.
2.如果已知兩邊及其夾角可以直接求面積,否則先用正、余弦定理求出需要的邊或角,再套用公式計(jì)算.
[再練一題]
1.已知在△ABC中,cos A=-,cos B=,BC=5,求△ABC的面積.
【解】 由cos A=-,得sin A==.
由cos B=,得sin B==.
所以sin C=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B
=+=-=.
由正弦定理得AC===.
所以△ABC的面積為S=BCACsin C=5=.
三角形的證明問題
在△ABC中,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a,b,c.
證明:=.
【精彩點(diǎn)撥】 由左往右證,可由邊化角展開;由右往左證,可由角化邊展開.
【自主解答】 法一:由余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
∴a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B,
整理得:=.
依正弦定理有=,=,
∴==.
法二:=
===.
1.三角恒等式證明的三個(gè)基本原則
(1)統(tǒng)一邊角關(guān)系.
(2)由繁推簡(jiǎn).
(3)目標(biāo)明確,等價(jià)轉(zhuǎn)化.
2.三角恒等式證明的基本途徑
(1)把角的關(guān)系通過正、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,然后進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形.
(2)把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,一般是通過正弦定理,然后利用三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形.
[再練一題]
2.在△ABC中,求證:=.
【證明】 由正弦定理得右邊=
=
=
===左邊.
∴原等式成立.
[探究共研型]
三角形中的綜合問題
探究1 如圖1228所示,圖中共有幾個(gè)三角形?線段AD分別是哪些三角形的邊,∠B是哪些三角形的內(nèi)角?
圖1228
【提示】 在圖形中共有三個(gè)三角形,分別為△ABC,△ABD,△ADC;線段AD是△ADC與△ABD的公共邊,∠B既是△ABC的內(nèi)角,又是△ABD的內(nèi)角.
探究2 在探究1中,若sin B=sin ∠ADB,則△ABD是什么形狀的三角形?在此條件下若已知AB=m,DC=n,如何求出AC?
【提示】 若sin B=sin ∠ADB,則△ABD為等腰三角形,在此條件下,可在△ABD中先求出AD,然后利用余弦定理在△ADC中求出AC,也可以在△ABD中先求出BD,然后在△ABC中,利用余弦定理求出AC.
探究3 在探究1的圖形中若已知∠B與∠C的大小如何表示(或求)∠A,如何用∠B與∠C的正、余弦值表示∠A的正弦值?
【提示】 ∠A=π-(∠B+∠C),sin A=sin[π-(B+C)]
=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.
在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知∠A=,bsin-csin=a.
(1)求證:∠B-∠C=;
(2)若a=,求△ABC的面積.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):18082013】
【精彩點(diǎn)撥】 (1)先由正弦定理化邊為角,再化簡(jiǎn)已知三角形即證.
(2)結(jié)合第(1)問可直接求出∠B,∠C,再利用面積公式求值;也可以作輔助線導(dǎo)出b,c的大小關(guān)系,再由余弦定理求值,最后用面積公式求解.
【自主解答】 (1)由bsin-csin=a,應(yīng)用正弦定理,
得sin Bsin-sin Csin=sin A,
所以sin B-sin Csin B+cos B=,
整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1,
因?yàn)?<∠B<π,0<∠C<π,從而∠B-∠C=.
(2)因∠B+∠C=π-∠A=,所以∠B=π,∠C=.
由a=,∠A=得b==2sin ,c==2sin ,所以△ABC的面積S=bcsin A=sin sin =cos sin =.
1.解三角形綜合問題,除靈活運(yùn)用正、余弦定理及三角形的有關(guān)知識(shí)外,一般還要用到三角函數(shù),三角恒等變換,平面向量等知識(shí),因此掌握正、余弦定理,三角函數(shù)的公式及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
2.三角形問題中,涉及變量取值范圍或最值問題要注意函數(shù)思想的應(yīng)用.
[再練一題]
3.如圖1229,在四邊形ABCD中,AC=CD=AB=1,=1,sin∠BCD=.
圖1229
(1)求BC邊的長;
(2)求四邊形ABCD的面積.
【解】 (1)∵AC=CD=AB=1,
∴=||||cos∠BAC=2cos∠BAC=1,∴cos∠BAC=,∴∠BAC=60.
在△ABC中,由余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2ABACcos∠BAC=22+12-221=3,∴BC=.
(2)由(1)知,在△ABC中,有AB2=BC2+AC2,
∴△ABC為直角三角形,且∠ACB=90,
∴S△ABC=BCAC=1=.
又∠BCD=∠ACB+∠ACD=90+∠ACD,
sin∠BCD=,∴cos∠ACD=,
從而sin∠ACD==,
∴S△ACD=ACCDsin∠ACD=11=.
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=+=.
1.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,a=5,b=4,cos C=,則△ABC的面積是( )
A.8 B.6 C.4 D.2
【解析】 ∵cos C=,∠C∈(0,π),∴sin C=,
∴S△ABC=absin C=54=6.故選B.
【答案】 B
2.已知△ABC的面積為,且b=2,c=,則( )
A.∠A=30 B.∠A=60
C.∠A=30或150 D.∠A=60或120
【解析】 ∵S=bcsin A=,
∴2sin A=,∴sin A=,
∴∠A=60或120.故選D.
【答案】 D
3.在△ABC中,已知AB=3,∠A=120,且△ABC的面積為,則BC邊的長為________.
【解析】 ∵S△ABC=3bsin 120=,∴b=5,∴由余弦定理得a2=32+52-235cos 120=49,∴a=7,即BC=7.
【答案】 7
4.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知∠B+∠C=,a=,b=1,則S△ABC等于________.
【解析】 因?yàn)椤螧+∠C=π,所以∠A=π-π=,
由=,得=,則sin B=,
因?yàn)閍>b,所以∠A>∠B,則∠B=,
所以∠C=,
∴S△ABC=absin C=11=.
【答案】
5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對(duì)邊的邊長分別為a,b,c,已知c=2,∠C=.
(1)若△ABC的面積等于,求a,b;
(2)若sin B=2sin A,求△ABC的面積.
【解】 (1)由余弦定理,得a2+b2-ab=4.
因?yàn)椤鰽BC的面積等于,
所以absin C=,得ab=4.
聯(lián)立方程
解得
(2)由正弦定理,已知條件可化為b=2a.
聯(lián)立方程
解得
所以△ABC的面積S=absin C=.