高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第11章 第3節(jié)　模擬方法——概率的應(yīng)用 Word版含解析

第三節(jié)　模擬方法——概率的應(yīng)用 [最新考綱]　1.了解隨機數(shù)的意義，能運用隨機模擬方法估計概率.2.了解幾何概型的意義． (對應(yīng)學(xué)生用書第193頁) 1．模擬方法 對于某些無法確切知道的概率問題，常借助模擬方法來估計某些隨機事件發(fā)生的概率．用模擬方法可以在短時間內(nèi)完成大量的重復(fù)試驗． 2．幾何概型 (1)向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機地投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，即P(點M落在G1)＝，則稱這種模型為幾何概型． (2)幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長度之比． 幾種常見的幾何概型 (1)與長度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)； (2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題； (3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零． (　　) (2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等． (　　) (3)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)． (　　) (4)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是P＝. (　　) [答案](1)√　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．在線段[0,3]上任投一點，則此點坐標小于1的概率為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1 B　[坐標小于1的區(qū)間為[0,1)，長度為1，[0,3]的區(qū)間長度為3，故所求概率為.] 2．有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　　D A　[∵P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， ∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)．故選A.] 3．某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過2分鐘的概率是(　　) A. B. C. D. C　[試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為5，所求事件的區(qū)域長度為2，故所求概率為P＝.] 4．已知四邊形ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方體ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為(　　) A. B．1－ C. D．1－ B　[如圖，依題意可知所求概率為圖中陰影部分與長方形的面積比，即所求概率P＝＝＝1－.] (對應(yīng)學(xué)生用書第194頁) ⊙考點1　與長度(角度)有關(guān)的幾何概型 　長度、角度等測度的區(qū)分方法 (1)如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度，然后求解．解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度)． (2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動、扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角度的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段． (1)在區(qū)間上隨機取一個數(shù)α，使tan 2α＞1的概率為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. (2)在Rt△ABC中，AB＝BC，在BC邊上隨機取點P，則∠BAP＜30°的概率為(　　) A. B. C. D. (3)在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與AB交于點M，則AM＜AC的概率為________． (1)C　(2)B　(3)　[(1)∵α∈， ∴2α∈， 由tan 2α＞1，得＜2α＜，則＜α＜， ∴tan 2α＞1的概率為＝，故選C. (2)在Rt△ABC中，AB＝BC，Rt△ABC為等腰直角三角形，令A(yù)B＝BC＝1，則AC＝. 在BC邊上隨機取點P，當(dāng)∠BAP＝30°時，BP＝tan 30°＝， 在BC邊上隨機取點P，則∠BAP＜30°的概率為：P＝＝，故選B. (3)過點C作CN交AB于點N，使AN＝AC，如圖所示． 顯然當(dāng)射線CM處在∠ACN內(nèi)時，AM＜AC.又∠A＝45°，所以∠ACN＝67.5°，故所求概率為P＝＝.] 　本例(2)易把∠BAC當(dāng)作試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，本例(3)易把線段AB當(dāng)作試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域． [教師備選例題] 1．在長為12 cm的線段AB上任取一點C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形的面積大于20 cm2的概率為 (　　) A.　　　　　　　 B. C. D. C　[設(shè)|AC|＝x，則|BC|＝12－x，所以x(12－x)＞20，解得2＜x＜10，故所求概率P＝＝.] 2．某單位試行上班刷卡制度，規(guī)定每天8：30上班，有15分鐘的有效刷卡時間(即8：15～8：30)，一名職工在7：50到8：30之間到達單位且到達單位的時刻是隨機的，則他能有效刷卡上班的概率是(　　) A. B. C. D. 　D　[該職工在7：50到8：30之間到達單位且到達單位的時刻是隨機的，設(shè)其構(gòu)成的區(qū)域為線段AB，且AB＝40，職工的有效刷卡時間是8：15到8：30之間，設(shè)其構(gòu)成的區(qū)域為線段CB，且CB＝15，如圖，所以該職工有效刷卡上班的概率P＝＝，故選D. ] 　1.某公司的班車在7：00,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. B　[如圖所示，畫出時間軸． 小明到達的時間會隨機的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達時間落在線段AC或DB上時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，得所求概率P＝＝，故選B.] 2．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為________． 　[因為在∠DAB內(nèi)任作射線AP，所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域是∠DAB，當(dāng)射線AP與線段BC有公共點時，射線AP落在∠CAB內(nèi)，則區(qū)域為∠CAB，所以射線AP與線段BC有公共點的概率為＝＝.] ⊙考點2　與體積有關(guān)的幾何概型 　與體積有關(guān)的幾何概型問題 如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用空間幾何體的體積表示，則其概率的計算公式為： P(A)＝， 求解的關(guān)鍵是計算事件的總體積以及事件A的體積． (1)在邊長為2的正方體內(nèi)部隨機取一點，則該點到正方體8個頂點的距離都不小于1的概率為(　　) A. B. C. D．1－ (2)已知正三棱錐S­ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點P，使得VP­ABC＜VS­ABC的概率是(　　) A. B. C. D. (1)D　(2)A　[(1)符合條件的點在邊長為2的正方體內(nèi)部，且以正方體的每一個頂點為球心，半徑為1的球體外，則所求概率P＝1－＝1－，故選D. (2)當(dāng)P在三棱錐的三條側(cè)棱的中點所在的平面及下底面構(gòu)成的正三棱臺內(nèi)時符合要求，由幾何概型知，P＝1－＝.] 　解答本例(2)時，應(yīng)利用VP­ABC＝VS­ABC求出點P的臨界值位置，再結(jié)合題意確定點P所在的區(qū)域． 　1.在一個球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一動點在球內(nèi)運動，則此點落在正方體內(nèi)部的概率為(　　) A. B.π C. D. D　[由題意可知這是一個幾何概型，棱長為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的體對角線長，故球的半徑R＝，球的體積V2＝π×＝π， 則此點落在正方體內(nèi)部的概率P＝＝.] 2．在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD­A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________． 1－　[如圖，與點O距離等于1的點的軌跡是一個半球面，其體積V1＝×π×13＝. 事件“點P與點O距離大于1的概率”對應(yīng)的區(qū)域體積為23－， 根據(jù)幾何概型概率公式得，點P與點O距離大于1的概率P＝＝1－.] ⊙考點3　與面積有關(guān)的幾何概型 　與面積有關(guān)的幾何概型問題 解決與面積有關(guān)的幾何概型問題，其解題關(guān)鍵是明確試驗所發(fā)生的區(qū)域及事件所發(fā)生的區(qū)域面積，其解題流程為： 　與平面幾何相結(jié)合 　(1)(2019·南昌模擬)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書中給出了勾股定理的絕妙證明．如圖是趙爽的弦圖．弦圖是一個以勾股形(即直角三角形)之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實．圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成朱(紅)色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱實＋黃實＝弦實＝弦2，化簡得：勾2＋股2＝弦2.設(shè)勾股形中勾股比為1∶，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲1 000顆圖釘(大小忽略不計)，則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為(　　) A．866 B．500 C．300 D．134 (2)(2019·武漢模擬)把半徑為2的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在半徑為2的圓內(nèi)，現(xiàn)在往該圓內(nèi)任投一點，此點落在陰影內(nèi)的概率為(　　) A.－1 B. C. D．2－ (1)D　(2)D　[(1)設(shè)勾為a，則股為a，從而弦為2a， 圖中大正方形的面積為4a2，小正方形的面積為(－1)2a2＝(4－2)a2，則圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為P＝＝1－，所以落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為1 000≈134，故選D. (2)標注圖形并作輔助線如圖： S圓＝π×22＝4π， S陰影＝×8＝×8＝8π－16， 則所求概率為P＝＝2－，故選D.] 　解答此類問題的關(guān)鍵是利用平面幾何的知識求出相關(guān)平面圖形的面積． [教師備選例題] 　七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的，如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. B　[不妨設(shè)小正方形的邊長為1，則兩個小等腰直角三角形的邊長分別為1,1，，兩個大等腰直角三角形的邊長為2,2,2，即最大正方形的邊長為2，則較大等腰直角三角形的邊長分別為，，2，故所求概率P＝1－＝.] 　與線性規(guī)劃相結(jié)合 　已知關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域為M，在區(qū)域M內(nèi)隨機取一點N(x0，y0)，則3x0－y0－2≤0的概率為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. C　[作出不等式組表示的平面區(qū)域M，如圖中陰影部分所示(△ABC及其內(nèi)部)，由題意可知所求概率P＝，易得A(0,4)，B(0，－2)，C(2,0)，D，則S△ABC＝×[4－(－2)]×2＝6，S△ABD＝×[4－(－2)]×＝，所以P＝＝，故選C.] 　解答本題的關(guān)鍵是作出平面區(qū)域M，及使3x0－y0－2≤0的區(qū)域，并正確求出它們的面積． 　1．在如圖所示的圓形圖案中有12片樹葉，構(gòu)成樹葉的圓弧均相同且所對的圓心角為，若在圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率是(　　) A．2－ B．4－ C．－－ D. B　[設(shè)圓的半徑為r，如圖所示．12片樹葉是由24個相同的弓形組成，且弓形AmB的面積為 S弓形AmB＝πr2－r2·sin＝πr2－r2， 因此所求概率為 P＝＝＝4－，故選B.] 2．在區(qū)間(0,2)內(nèi)隨機取一個實數(shù)a，則滿足的點(x，y)構(gòu)成區(qū)域的面積大于1的概率是(　　) A. B. C. D. C　[作出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則陰影部分的面積S＝×a×2a＝a2＞1，∴1＜a＜2，根據(jù)幾何概型的概率計算公式得所求概率為＝.] 課外素養(yǎng)提升⑨　數(shù)學(xué)建?！獢?shù)學(xué)文化與概率 (對應(yīng)學(xué)生用書第196頁) 高中新課標把“體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值”作為高中數(shù)學(xué)課程的十項理念之一，強調(diào)數(shù)學(xué)文化是貫穿整個高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容．古典概型、幾何概型中常常這樣考查數(shù)學(xué)文化． 古典概型中的數(shù)學(xué)文化 【例1】　(2019·赤峰模擬)《史記》卷六十五《孫子吳起列傳第五》中有這樣一道題：齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹馬進行一場比賽，齊王獲勝的概率是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. A　[設(shè)齊王的上、中、下三個等次的馬分別為a，b，c， 田忌的上、中、下三個等次的馬分別記為A，B，C， 從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽的所有的可能為Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9種， 根據(jù)題設(shè)其中Ab，Ac，Bc是田忌勝，共三種可能，則齊王的馬獲勝有6種情況， 所以齊王獲勝的概率為P＝＝，故選A.] [評析]　據(jù)題意，設(shè)齊王的上、中、下三個等次的馬分別為a，b，c，田忌的上、中、下三個等次的馬分別記為A，B，C，用列舉法列舉齊王與田忌賽馬的情況，可得齊王勝出的情況，由等可能事件的概率計算可得答案． 【例2】　《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，從八卦中任取一卦，這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線的概率為(　　) A. B. C. D. C　[從八卦中任取一卦，基本事件總數(shù)n＝8， 這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線包含的基本事件個數(shù)m＝3， ∴這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線的概率為P＝＝，故選C.] [評析]　從八卦中任取一卦，基本事件總數(shù)n＝8，這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線包含的基本事件個數(shù)m＝3，由此能求出這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線的概率． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】 1．(2019·煙臺模擬)2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式，孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮多個素數(shù)p使得p＋2是素數(shù)，素數(shù)對(p，p＋2)稱為孿生素數(shù)．從10以內(nèi)的素數(shù)中任取兩個，其中能構(gòu)成孿生素數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. A　[依題意，10以內(nèi)的素數(shù)共有4個，分別是2,3,5,7，從中選兩個共6個基本事件，分別是(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,5)，(3,7)，(5,7)． 而10以內(nèi)的孿生素數(shù)有(3,5)，(5,7)兩對，包含2個基本事件， 所以從10以內(nèi)的素數(shù)中任取兩個，其中能構(gòu)成孿生素數(shù)的概率P＝＝，故選A.] 幾何概型中的數(shù)學(xué)文化 【例3】　(2018·全國卷Ⅰ)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則(　　) A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3 A　[法一：設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積為S1＝bc，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝π×＋π×－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由幾何概型的知識知p1＝p2，故選A. 法二：不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC＝2，則BC＝2，所以區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積，為S1＝×2×2＝2，區(qū)域Ⅲ的面積S3＝－2＝π－2，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝π×12－(π－2)＝2.根據(jù)幾何概型的概率計算公式，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故選A.] [評析]　先分別求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三個區(qū)域的面積，再利用幾何概型的概率公式對選項進行判斷即可． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】 2．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：已知直角三角形的兩直角邊長分別為8步和15步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步．現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是(　　) A. B. C．1－ D．1－ D　[直角三角形的斜邊長為＝17，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r， 則8＋15－2r＝17，解得r＝3，從而內(nèi)切圓的面積為S內(nèi)切＝9π. 因此豆子落在內(nèi)切圓外部的概率為 P＝1－＝1－，故選D.]