2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題通關(guān)攻略 專題4 立體幾何 專題能力提升練十二 2.4.3 用空間向量的方法解立體幾何問題.doc

專題能力提升練 十二 用空間向量的方法解立體幾何問題 (45分鐘　80分) 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.(2017全國卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 (　　) A.32 B.155 C.105 D.33 【解析】選C.補(bǔ)成四棱柱ABCD -A1B1C1D1,如圖所示,連接BD,DC1, 則所求角為∠BC1D,因BC1=2,BD=22+1-221cos60=3, C1D=AB1=5,因此,cos∠BC1D=|BC1|2+|DC1|2-|BD|22|BC1||DC1|=105. 2.在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,AB=2,BB1=4,則BB1與平面ACD1所成角θ的正弦值為 (　　) A.13 B.33 C.63 D.223 【解題導(dǎo)引】建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面ACD1的法向量為n,利用 sin θ=|cos<n,>|=即可得出. 【解析】選A.如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.則 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4), B(2,2,0),B1(2,2,4), =(-2,2,0), =(-2,0,4), =(0,0,4). 設(shè)平面ACD1的一個法向量為n=(x,y,z),則解得-2x+2y=0,-2x+4z=0, 取n=(2,2,1), 則sin θ=|cos<n,>|==494=13. 3.在三棱柱ABC -A1B1C1中,底面是邊長為1的正三角形,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,點(diǎn)D在棱BB1上,且BD=1,若AD與平面AA1C1C所成的角為α,則sin α的值是(　　) A.32 B.22 C.104 D.64 【解析】選D.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系, 易求點(diǎn)D32,12,1, 平面AA1C1C的一個法向量是n=(1,0,0), 所以cos<n,>=322=64,即sin α=64. 4.如圖,已知正四面體D-ABC(所有棱長均相等的三棱錐),P,Q,R分別為AB,BC,CA上的點(diǎn),AP=PB,BQQC=CRRA=2,分別記二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角為α, β,γ,則 (　　) A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α 【解析】選B.設(shè)O為三角形ABC的中心,則O到PQ的距離最小,O到PR的距離最大,O到RQ的距離居中,而高相等,因此α<γ<β. 【加固訓(xùn)練】 (2018西安調(diào)研)已知六面體ABC-A1B1C1是各棱長均等于a的正三棱柱,D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn),則直線CC1與平面AB1D所成的角為 (　　) A.45 B.60 C.90 D.30 【解析】選A.如圖所示,取AC的中點(diǎn)N,連接NB,以N為坐標(biāo)原點(diǎn),NB,NC所在直線分別為x軸,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 則A0,-a2,0,C0,a2,0, B13a2,0,a,D0,a2,a2,C10,a2,a, 所以=3a2,a2,a,=0,a,a2,=(0,0,a). 設(shè)平面AB1D的法向量為n=(x,y,z), 由n=0, n=0,可取n=(3,1,-2). 所以cos<,n>==-2aa22=-22, 因?yàn)橹本€與平面所成角θ的范圍是0≤θ≤90, 所以直線CC1與平面AB1D所成的角為45. 5.(2018?？谝荒?如圖,AB是☉O的直徑,PA垂直于☉O所在平面,點(diǎn)C是圓周上不同于A,B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn),且AB=2,PA=BC=3,則二面角A -BC -P的大小為 (　　) A.30 B.45 C.60 D.90 【解析】選C.因?yàn)锳B是☉O的直徑,PA垂直于☉O所在平面,點(diǎn)C是圓周上不同于A,B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn),且AB=2,PA=BC=3, 所以AC⊥BC,AC=AB2-BC2=4-3=1, 以點(diǎn)A為原點(diǎn),在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)A作AC的垂線為x軸,AC為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,P(0,0,3),B(3,1,0),C(0,1,0), =(3,1,-3),=(0,1,-3), 設(shè)平面PBC的法向量n=(x,y,z), 則 取z=1,得n=(0,3,1), 平面ABC的法向量m=(0,0,1), 設(shè)二面角A -BC -P的平面角為θ, 則cos θ=|mn||m||n|=12,所以θ=60, 所以二面角A-BC-P的大小為60. 6.如圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為3,底面邊長A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1 =90,D點(diǎn)在棱AA1上且AD=2DA1,P點(diǎn)在棱C1C上,則的最小值為 (　　) A.52 B.-14 C.14 D.-52 【解析】選B.由題意,以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則D(1,0,2),B1(0,1,3), 設(shè)P(0,0,z),其中0≤z≤3, 則=(1,0,2-z), =(0,1,3-z), 所以=0+0+(2-z)(3-z) =z-522-14, 故當(dāng)z=52時,取得最小值-14. 二、填空題(每小題5分,共10分) 7.(2018西安一模)正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為1,MN是正方體內(nèi)切球的直徑,點(diǎn)P為正方體表面上的動點(diǎn),則的最大值為________. 【解析】連接PO,可得=(+)(+)=+(+) +=-14,當(dāng)||取得最大值32時,取得最大值為322-14=12. 答案:12 8.設(shè)二面角α-CD-β的大小為45,A點(diǎn)在平面α內(nèi),B點(diǎn)在CD上,且 ∠ABC=45,則AB與平面β所成角的大小為________. 【解析】如圖,作AE⊥平面β于點(diǎn)E,在平面β內(nèi)過E作EF⊥CD于點(diǎn)F,連接AF, 因?yàn)锳E⊥CD,AE∩EF=E, 所以CD⊥平面AEF,所以AF⊥CD, 所以∠AFE為二面角α-CD-β的平面角, 所以∠AFE=45,因?yàn)椤螦BC=45, 所以∠BAF=45. 連接BE,則∠ABE為AB與平面β所成的角. 設(shè)AE=m,則EF=m,AF=2m,BF=2m,AB=2m, 所以sin∠ABE=AEAB=12, 又因?yàn)椤螦BE為銳角,所以∠ABE=30. 答案30 三、解答題(共40分) 9.(2018全國卷Ⅰ)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把△DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PF⊥BF. (1)證明:平面PEF⊥平面ABFD. (2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值. 【解析】(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,PF∩EF=F,所以BF⊥平面PEF. 又BF?平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD. (2)作PH⊥EF,垂足為H. 由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閥軸正方向,設(shè)正方形ABCD的邊長為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz. 由(1)可得,DE⊥PE. 又DP=2,DE=1,所以PE=3. 又PF=1,EF=2,故PE⊥PF. 可得PH=32,EH=32. 則H(0,0,0),P0,0,32,D-1,-32,0,=1,32,32,=0,0,32為平面ABFD的一個法向量. 設(shè)DP與平面ABFD所成角為θ, 則sin θ==343=34. 所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為34. 【一題多解】解答本題(2)還可以用如下的方法解決 因?yàn)镻F⊥BF,BF∥ED,所以PF⊥ED, 又PF⊥PD,ED∩DP=D,所以PF⊥平面PED, 所以PF⊥PE, 設(shè)AB=4,則EF=4,PF=2,所以PE=23, 過P作PH⊥EF交EF于H點(diǎn), 由平面PEF⊥平面ABFD, 所以PH⊥平面ABFD,連接DH, 則∠PDH即為直線DP與平面ABFD所成的角, 由PEPF=EFPH,所以PH=2324=3, 因?yàn)镻D=4,所以sin∠PDH=PHPD=34, 所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為34. 10.(2018漳州一模)如圖,在多面體ABCDNPM中,底面ABCD是菱形, ∠ABC=60,PA⊥平面ABCD,AB=AP=2,PM∥AB,PN∥AD,PM=PN=1. (1)求證:MN⊥PC. (2)求平面MNC與平面APMB所成銳二面角的余弦值. 【解析】(1)作ME∥PA交AB于E,NF∥PA交AD于F,連接EF,BD,AC. 由PM∥AB,PN∥AD,易得ME??NF,所以四邊形MEFN是平行四邊形, 所以MN∥EF,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以AC⊥BD,又易得EF∥BD,所以AC⊥EF,所以AC⊥MN, 因?yàn)镻A⊥平面ABCD,EF?平面ABCD,所以PA⊥EF,所以PA⊥MN,因?yàn)锳C∩PA=A, 所以MN⊥平面PAC,故MN⊥PC. (2)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, 則C(0,1,0),M32,-12,2,N-32,-12,2, A(0,-1,0),P(0,-1,2),B(3,0,0), 所以=32,-32,2,=-32,-32,2,=(0,0,2),=(3,1,0),設(shè)平面MNC的法向量為m=(x,y,z),則32x-32y+2z=0,-32x-32y+2z=0, 令z=1,得x=0,y=43,所以m=0,43,1. 設(shè)平面APMB的法向量為n=(x1,y1,z1), 則2z1=0,3x1+y1=0, 令x1=1,得y1=-3,z1=0,所以n=(1,-3,0),設(shè)平面MNC與平面APMB所成銳二面角為α, 則cos α=|mn||m||n|=43302+432+1212+(-3)2+02=235, 所以平面MNC與平面APMB所成銳二面角的余弦值為235. 11.如圖,在三棱柱ABC-DEF中,AE與BD相交于點(diǎn)O,C在平面ABED內(nèi)的射影為O,G為CF的中點(diǎn). (1)求證:平面ABED⊥平面GED. (2)若AB=BD=BE=EF=2,求二面角A-CE-B的余弦值. 【解析】(1)取DE中點(diǎn)M,連接OM,在三角形BDE中,OM∥BE,OM=12BE.又因?yàn)镚為CF中點(diǎn),所以CG∥BE,CG=12BE.所以CG∥OM,CG=OM. 所以四邊形OMGC為平行四邊形. 所以MG∥OC.因?yàn)镃在平面ABED內(nèi)的射影為O,所以O(shè)C⊥平面ABED.所以GM⊥平面ABED. 又因?yàn)镚M?平面DEG,所以平面ABED⊥平面GED. (2)因?yàn)镃O⊥平面ABED,所以CO⊥AO,CO⊥OB, 又因?yàn)锳B=BE,所以平行四邊形ABED為菱形,所以O(shè)B⊥AO, 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 于是A(3,0,0),B(0,1,0),E(-3,0,0),C(0,0,3),向量=(-3,-1,0),向量=(0,-1,3), 設(shè)面BCE的一個法向量為m=(x1,y1,z1),即-3x1-y1=0,-y1+3z1=0, 不妨令z1=1,則y1=3,x1=-1,取m=(-1,3,1). 又n=(0,1,0)為平面ACE的一個法向量. 設(shè)二面角A-CE-B的大小為θ,顯然θ為銳角, 于是cos θ=|cos<m,n>|=|mn||m||n|=35=155, 故二面角A-CE-B的余弦值為155. 12.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥AB,PD⊥BC,AB=233AD,∠BAD=30. (1)證明:AD⊥PB. (2)若PD=AD,BC=CD,∠BCD=60,求二面角A-PB-C的余弦值. 【解析】(1)由PD⊥AB,PD⊥BC,AB∩BC=B,得PD⊥平面ABCD,從而PD⊥AD. 又在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ADABcos 30=13AD2, 則有AD2+BD2=AB2,所以∠ADB=90,即AD⊥DB,又PD∩DB=D, 則有AD⊥平面PDB,故AD⊥PB. (2)以D為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)AD=3,則A(3,0,0),P(0,0,3),B(0,1,0),C-32,12,0, 設(shè)平面APB的一個法向量為m=(x,y,z),則令x=1, 則y=3,z=1,故m=(1,3,1), 設(shè)平面PBC的一個法向量為n=(x′,y′,z′),則有令x′=1, 則有y′=-3,z′=-1,故n=(1,-3,-1), 所以cos<m,n>=mn|m||n|=-355=-35, 由圖知,二面角A-PB-C的余弦值為-35. (建議用時:50分鐘) 1.(2018全國卷Ⅱ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為 (　　) A.15 B.56 C.55 D.22 【解析】選C.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,3),B1(1,1,3),所以=(-1,0,3), =(1,1,3),設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為α,則cos α= |cos<,>|=-1+31+31+1+3=55. 【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決. 如圖連接A1D交AD1于點(diǎn)E. 取A1B1中點(diǎn)F,連接EF,則EF12B1D,連接D1F,在△D1FE中,∠D1EF為異面直線AD1與DB1的夾角. 由已知EF=12DB1=1212+12+(3)2=52, D1E=12AD1=1,D1F=1+122=52, 所以cos∠D1EF=EF2+ED12-D1F22EFED1=55. 2.在底面為正三角形的直棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1= 3,點(diǎn)D為棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)E為A1C上的點(diǎn),且滿足A1E=mEC(m∈R),當(dāng)二面角E-AD-C的余弦值為1010 時,實(shí)數(shù)m的值為 (　　) A.1 B.2 C.12 D.3 【解析】選A.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,取AC中點(diǎn)O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)B,OC所在直線為x,y軸,以過點(diǎn)O且垂直于y軸的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系, 因?yàn)锳B=2,AA1=3,點(diǎn)D為棱BC的中點(diǎn), 所以A(0,-1,0),C(0,1,0), D32,12,0,A1(0,-1,3). 又點(diǎn)E為A1C上的點(diǎn),且滿足A1E=mEC(m∈R), 所以=m, 設(shè)E(x,y,z),則=(x,y+1,z-3), =(-x,1-y,-z), 所以(x,y+1,z-3)=(-mx,m-my,-mz),得x=0,y=m-1m+1,z=3m+1.所以E0,m-1m+1,3m+1, 則=32,32,0,=0,2mm+1,3m+1, 設(shè)平面AED的一個法向量為m=(a,b,c), 由 取a=-3,得m=-3,1,-23m. 平面ADC的一個法向量n=(0,0,1), 所以|cos<m,n>|=mn|m||n| =23m3+1+49m21=1010,解得:m=1. 【加固訓(xùn)練】 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為 (　　) A.12 B.23 C.33 D.22 【解析】選B.以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)棱長為1, 則A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0), 所以=(0,1,-1),=1,0,-12. 設(shè)平面A1ED的一個法向量為n1=(1,y,z), 則有即y-z=0,1-12z=0, 所以y=2,z=2,所以n1=(1,2,2). 因?yàn)槠矫鍭BCD的一個法向量為n2=(0,0,1), 所以|cos<n1,n2>|=231=23, 即平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為23. 3.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90,點(diǎn)E,F分別是棱AB,BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1所成的角是__________. 【解析】以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC所在直線為x軸,BA所在直線為y軸,BB1所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=BC=AA1=2, 則C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1), 則=(0,-1,1),=(2,0,2), 所以=2, 所以cos<,>=2222=12, 因?yàn)楫惷嬷本€所成角θ的范圍是0<θ≤90, 所以EF和BC1所成的角為60. 答案:60 4.已知點(diǎn)E,F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則平面AEF與平面ABC夾角的正切值為________. 【解析】延長FE,CB相交于點(diǎn)G,連接AG,如圖所示. 設(shè)正方體的棱長為3,則GB=BC=3,作BH⊥AG于點(diǎn)H,連接EH,則∠EHB即為所求兩平面的夾角. 因?yàn)锽H=322,EB=1, 所以tan∠EHB=EBBH=23. 答案:23 【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決:如圖,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)DA=1,由已知條件得 A(1,0,0),E1,1,13, F0,1,23,=0,1,13, =-1,1,23, 設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z), 平面AEF與平面ABC的夾角為θ, 由得y+13z=0,-x+y+23z=0. 令y=1,z=-3,x=-1,則n=(-1,1,-3), 取平面ABC的法向量為m=(0,0,-1), 則cos θ=|cos<n,m>|=31111,可求得tan θ=23. 答案:23 【加固訓(xùn)練】 (2017全國Ⅲ卷)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論: ①當(dāng)直線AB與a成60角時,AB與b成30角; ②當(dāng)直線AB與a成60角時,AB與b成60角; ③直線AB與a所成角的最小值為45; ④直線AB與a所成角的最大值為60; 其中正確的是________.(填寫所有正確結(jié)論的編號) 【解析】由題意得,AC⊥BC,不妨假設(shè)等腰直角三角形ABC的腰長為1,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)C且垂直于平面ABC的直線為x軸,CB所在直線為y軸,CA所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖: 則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0,1),C(0,0,0),因?yàn)橹本€a,b都垂直于AC,不妨設(shè)直線a的方向向量為a=(1,0,0),直線b的方向向量為b=(0,1,0), 因?yàn)樾边匒B以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), 所以可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(cos θ,sin θ,0), 則=(cos θ,sin θ,-1), 設(shè)直線a與直線AB的夾角為α,直線b與直線AB的夾角為β, 則cos α=|cos <a,>|==|cosθ|12=|cosθ|2, cos β=|cos<b,>|==|sinθ|12=|sinθ|2. ①中,當(dāng)直線AB與a成60角時,有cos α=|cosθ|2=12, 解得|cos θ|=22,所以|sin θ|=22,此時AB與b的夾角β的余弦值為 cos β=|sinθ|2=12,所以AB與b的夾角為60. 故①錯誤. ②中由①分析得AB與b的夾角為60,故②正確. ③中直線AB與a所成角的余弦值為cos α=|cosθ|2, 當(dāng)cos α越大時,角α就越小,而|cosθ|2的最大值為12=22, 即cos α的最大值為22,α的最小值為45, 即直線AB與a所成角的最小值為45,故③正確. ④中,直線AB與a所成角的余弦值為cos α=|cosθ|2, 當(dāng)cos α越小時,角α就越大,而|cosθ|2的最小值為0, cos α的最小值為0,α的最大值為90,即直線AB與α所成角的最大值為90,故④錯誤. 故本題正確答案為②③. 答案:②③ 5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,PA⊥BD. (1)求證:PB=PD. (2)若E,F分別為PC,AB的中點(diǎn),EF⊥平面PCD,求直線PB與平面PCD所成角的大小. 【解析】(1)連接AC與BD交于點(diǎn)O,連接PO, 因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形, 所以AC⊥BD且O為BD的中點(diǎn). 又PA⊥BD,PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC, 由于PO?平面PAC,故BD⊥PO. 又BO=DO,故PB=PD. (2)設(shè)PD的中點(diǎn)為Q,連接AQ,EQ, 則EQ12CDAF, 所以AFEQ為平行四邊形,EF∥AQ, 因?yàn)镋F⊥平面PCD, 所以AQ⊥平面PCD, 所以AQ⊥PD,PD的中點(diǎn)為Q, 所以AP=AD=2. 由AQ⊥平面PCD,又可得AQ⊥CD, 又AD⊥CD,AQ∩AD=A, 所以CD⊥平面PAD, 所以CD⊥PA,又BD⊥PA,BD∩CD=D, 所以PA⊥平面ABCD. 由題意,AB,AP,AD兩兩垂直, 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),向量,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則 A(0,0,0),B(2,0,0),Q0,22,22,D(0,2,0), P(0,0,2), =0,22,22,=(2,0,-2), 為平面PCD的一個法向量. 設(shè)直線PB與平面PCD所成角為θ, 則sin θ==12, 所以直線PB與平面PCD所成角為π6. 【一題多解】(2)解答本題還可以用如下的方法解決: 設(shè)PD的中點(diǎn)為Q,連接AQ,EQ,則EQ12CDAF, 所以AFEQ為平行四邊形,EF∥AQ, 因?yàn)镋F⊥平面PCD, 所以AQ⊥平面PCD, 所以AQ⊥PD, 又PD的中點(diǎn)為Q,所以AP=AD=2. 同理AQ⊥CD,又AD⊥CD,AQ∩AD=A, 所以CD⊥平面PAD, 所以CD⊥PA,又BD⊥PA,CD∩BD=D, 所以PA⊥平面ABCD. 連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接CQ,設(shè)CQ的中點(diǎn)為H,連接OH, 則在三角形ACQ中,OH∥AQ,所以O(shè)H⊥平面PCD, 又在三角形PBD中,OQ∥BP, 所以∠OQH即為直線PB與平面PCD所成的角. 又OH=12AQ=24AD=12,OQ=12PB=1, 所以在直角三角形OHQ中,sin∠OQH=OHOQ=12, 所以∠OQH=30,即直線PB與平面PCD所成的角為30. 6.如圖,矩形ABCD中,AB=6,AD=23,點(diǎn)F是AC上的動點(diǎn).現(xiàn)將矩形ABCD沿著對角線AC折成二面角D′-AC-B,使得D′B=30. (1)求證:當(dāng)AF=3時,D′F⊥BC. (2)試求CF的長,使得二面角A-D′F-B的大小為π4. 【解析】(1)連接DF,BF. 在矩形ABCD中,AD=23,CD=6, 所以AC=43,∠CAB=30,∠DAC=60. 在△ADF中,因?yàn)锳F=3, 所以DF2=DA2+AF2-2DAAFcos∠DAC=9,因?yàn)镈F2+AF2=9+3=DA2, 所以DF⊥AC,即D′F⊥AC. 又在△ABF中, BF2=AB2+AF2-2ABAFcos∠CAB=21, 所以在△D′FB中,D′F2+FB2=32+(21)2=D′B2, 所以BF⊥D′F,又因?yàn)锳C∩FB=F, 所以D′F⊥平面ABC.所以D′F⊥BC. (2)在矩形ABCD中,過D作DE⊥AC于O,并延長交AB于E.沿著對角線AC翻折后, 由(1)可知,OE,OC,OD′兩兩垂直, 以O(shè)為原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),E(1,0,0), D′(0,0,3), B(3,23,0),因?yàn)镋O⊥平面AD′F, 所以=(1,0,0)為平面AD′F的一個法向量. 設(shè)平面BD′F的法向量為n=(x,y,z),F(0,t,0), 因?yàn)椤?(-3,-23,3),=(-3,t-23,0), 由得-3x-23y+3z=0,-3x+(t-23)y=0, 取y=3,則x=t-23,z=t, 所以n=(t-23,3,t). 所以cosπ4=, 即|t-23|(t-23)2+9+t2=22, 所以t=34. 所以當(dāng)CF=1143時,二面角A-D′F-B的大小是π4. (2018榆林一模)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,∠ABD= 90,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EB=3,EF=1,BC=13,且M是BD的中點(diǎn). (1)求證:EM∥平面ADF. (2)求二面角A-FD-B的余弦值的大小. 【解析】(1)因?yàn)镋B⊥平面ABD,AB⊥BD, 故以B為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 由已知可得=32,0,-3,=(3,-2,0),=(0,-1,3), 設(shè)平面ADF的一個法向量是n=(x,y,z). 由得3x-2y=0,-y+3z=0, 令y=3,則n=(2,3,3). 又因?yàn)閚=0,所以⊥n,又EM?平面ADF,故EM∥平面ADF. 【一題多解】取AD的中點(diǎn)N,連接MN,NF.在平面DAB中,M是BD的中點(diǎn), N是AD的中點(diǎn),所以MN∥AB,MN=12AB,又因?yàn)镋F∥AB,EF=12AB,所以MN∥EF且MN=EF.所以四邊形MNFE為平行四邊形,所以EM∥FN, 又因?yàn)镕N?平面ADF,EM?平面ADF,故EM∥平面ADF. (2)由(1)可知平面ADF的一個法向量是n=(2,3,3). 易得平面BFD的一個法向量是m=(0,-3,1), 所以cos<m,n>=mn|m||n|=-34, 又二面角A-FD-B為銳角, 故二面角A-FD-B的余弦值大小為34. 7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2, BC=22,PA=2. (1)取PC中點(diǎn)N,連接DN,求證:DN∥平面PAB. (2)求直線AC與PD所成角的余弦值. (3)在線段PD上,是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M-AC-D的大小為45,如果存在,求BM與平面MAC所成的角,如果不存在,請說明理由. 【解析】取BC的中點(diǎn)E,連接DE與AC,相交于點(diǎn)O,連接AE,易知AC⊥DE,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0), P(0,-1,2), (1)PC中點(diǎn)N(0,0,1),所以=(1,0,1), 設(shè)平面PAB的法向量為n=(a,b,c), 由=(0,0,2),=(2,0,0), 令b=1,可得:n=(0,1,0),所以n=0,因?yàn)镈N?平面PAB,所以DN∥平面PAB. (2)=(0,2,0),=(-1,1,-2),設(shè)AC與PD所成的角為θ,則cos θ=226=66. (3)設(shè)M(x,y,z)及=λ(0≤λ≤1), 所以x=-λ,y+1=λ,z-2=-2λ,?M(-λ,λ-1,2(1-λ)), 設(shè)平面ACM的法向量為m=(x,y,z), 由=(0,2,0),=(-λ,λ,2(1-λ)),可得m=(2-2λ,0,λ),平面ACD的法向量為p=(0,0,1), 所以cos<m,p>=λ1λ2+(2-2λ)2 =22?2λ=5λ2-8λ+4,解得λ=23. 解得M-23,-13,23, 所以=-83,23,23,所以m=23,0,23, 設(shè)BM與平面MAC所成角為φ,所以sin φ= |cos<,m>|=-12922322=12, 所以φ=π6.