2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

2.3.2　離散型隨機(jī)變量的方差 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問題．(重點(diǎn))3.掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求法，會(huì)利用公式求它們的方差．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差 (1)定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度，而D(X)＝為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度．稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差． (2)意義：隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越?。? 2．隨機(jī)變量的方差與樣本方差的關(guān)系 隨機(jī)變量的方差是總體的方差，它是一個(gè)常數(shù)，樣本的方差則是隨機(jī)變量，是隨樣本的變化而變化的．對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近于總體的方差． 3．服從兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的方差 (1)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)； (2)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)． 4．離散型隨機(jī)變量方差的線性運(yùn)算性質(zhì) 設(shè)a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝a2D(X)． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)離散型隨機(jī)變量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； (　　) (2)離散型隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平； (　　) (3)離散型隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波動(dòng)水平． (　　) (4)離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定． (　　) [解析]　(1)　因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平． (2)　因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度． (3)√　由方差的意義可知． (4)　離散型隨機(jī)變量的方差越大，說明隨機(jī)變量的穩(wěn)定性越差，方差越小，穩(wěn)定性越好． [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4) 2．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率P＝0.5，則E(X)和D(X)分別為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032190】 A．0.25　0.5　　　　　　 B．0.5　0.75 C．0.5　0.25 D．1　0.75 C　[E(X)＝0.5，D(X)＝0.5(1－0.5)＝0.25.] 3．已知隨機(jī)變量ξ，D(ξ)＝，則ξ的標(biāo)準(zhǔn)差為________． 　[ξ的標(biāo)準(zhǔn)差＝＝.] 4．已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表： ξ －1 0 1 P 則ξ的均值為________，方差為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032191】 －　　[均值E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)＋0＋1＝－； 方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋(x3－E(ξ))2p3＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 求隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差 　已知X的分布列如下： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)計(jì)算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． [解]　(1)由分布列的性質(zhì)，知＋＋a＝1，故a＝，從而X2的分布列為 X2 0 1 P (2)法一：(直接法)由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)＋0＋1＝－. 故X的方差D(X)＝＋＋＝. 法二：(公式法)由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)＋0＋1＝－，X2的均值E(X2)＝0＋1＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝. (3)因?yàn)閅＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11. [規(guī)律方法]　方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力，公式的記憶不能出錯(cuò)！在隨機(jī)變量X2的均值比較好計(jì)算的情況下，運(yùn)用關(guān)系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失為一種比較實(shí)用的方法．另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aX＋b)＝a2D(X)． [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知η的分布列為： η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差； (2)設(shè)Y＝2η－E(η)，求D(Y)． [解]　(1)∵E(η)＝0＋10＋20＋50＋60＝16， D(η)＝(0－16)2＋(10－16)2＋(20－16)2＋(50－16)2＋(60－16)2＝384， ∴＝8. (2)∵Y＝2η－E(η)， ∴D(Y)＝D(2η－E(η)) ＝22D(η)＝4384＝1 536. 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差 　設(shè)X的分布列為P(X＝k)＝C(k＝0,1,2,3,4,5)，則D(3X)＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032192】 A．10　　　　　　　 B．30 C．15 D．5 A　[由P(X＝k)＝C(k＝0,1,2,3,4,5)可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布X～B 所以D(X)＝5＝， D(3X)＝9D(X)＝10.] 母題探究：1.(變換條件、改變問法)本例題改為隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，求二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值． [解]　由E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96及X～B(n，p)知 即解得 所以二項(xiàng)分布的參數(shù)n＝6，p＝0.4. 2．(改變問法)本例題條件不變，求E(3X＋2)． [解]　由例題可知X～B 所以E(X)＝5＝. 故E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝7. [規(guī)律方法]　求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的關(guān)注點(diǎn) (1)寫出離散型隨機(jī)變量的分布列． (2)正確應(yīng)用均值與方差的公式進(jìn)行計(jì)算． (3)對(duì)于二項(xiàng)分布，關(guān)鍵是通過題設(shè)環(huán)境確定隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，然后直接應(yīng)用公式計(jì)算． 均值、方差的實(shí)際應(yīng)用 [探究問題] 1．A，B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表： A機(jī)床 次品數(shù)X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B機(jī)床 次品數(shù)X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 試求E(X1)，E(X2)． [提示]　E(X1)＝00.7＋10.2＋20.06＋30.04＝0.44. E(X2)＝00.8＋10.06＋20.04＋30.10＝0.44. 2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？ [提示]　不能．因?yàn)镋(X1)＝E(X2)． 3．在探究1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A、B兩臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量？ [提示]　利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定． 　甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032193】 [思路探究]　(1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出ξ，η的分布列． (2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的均值，然后再看其方差值． [解]　(1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. 因?yàn)橐疑渲?0,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分別為 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)得： E(ξ)＝100.5＋90.3＋80.1＋70.1＝9.2； E(η)＝100.3＋90.3＋80.2＋70.2＝8.7； D(ξ)＝(10－9.2)20.5＋(9－9.2)20.3＋(8－9.2)20.1＋(7－9.2)20.1＝0.96； D(η)＝(10－8.7)20.3＋(9－8.7)20.3＋(8－8.7)20.2＋(7－8.7)20.2＝1.21. 由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績(jī)比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好． [規(guī)律方法]　利用均值和方差的意義分析解決實(shí)際問題的步驟 1．比較均值．離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，因此，在實(shí)際決策問題中，需先計(jì)算均值，看一下誰的平均水平高． 2．在均值相等的情況下計(jì)算方差．方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度．通過計(jì)算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定． 3．下結(jié)論．依據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論． [跟蹤訓(xùn)練] 2．有甲、乙兩名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，他們?cè)诮獯鹜环輸?shù)學(xué)試卷時(shí)，各自的成績(jī)?cè)?0分、90分、100分的概率分布大致如下表所示： 甲： 分?jǐn)?shù)X 80 90 100 概率P 0.2 0.6 0.2 乙： 分?jǐn)?shù)Y 80 90 100 概率P 0.4 0.2 0.4 試分析兩名學(xué)生的成績(jī)水平． [解]　因?yàn)镋(X)＝800.2＋900.6＋1000.2＝90， D(X)＝(80－90)20.2＋(90－90)20.6＋(100－90)20.2＝40， E(Y)＝800.4＋900.2＋1000.4＝90， D(Y)＝(80－90)20.4＋(90－90)20.2＋(100－90)20.4＝80， 即E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)， 所以甲生與乙生的成績(jī)均值一樣，甲的方差較小，因此甲生的學(xué)習(xí)成績(jī)較穩(wěn)定． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．設(shè)隨機(jī)變量X～B，則D的值等于(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C. D．4 C　[隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布 所以D＝D(X)＝8＝] 2．已知X的分布列為 X －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 則D(X)等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032194】 A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．0 B　[E(X)＝－10.5＋00.3＋10.2＝－0.3， D(X)＝0.5(－1＋0.3)2＋0.3(0＋0.3)2＋0.2(1＋0.3)2＝0.61.] 3．已知隨機(jī)變量X，D(10X)＝，則X的方差為________． 　[D(10X)＝100D(X)＝， ∴D(X)＝.] 4．有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，則自動(dòng)包裝機(jī)________的質(zhì)量較好． 乙　[因?yàn)镋(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包裝機(jī)的質(zhì)量穩(wěn)定．] 5．為防止風(fēng)沙危害，某地政府決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，已知各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)X為成活沙柳的株數(shù)，已知E(X)＝4，D(X)＝，求n，p的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032195】 [解]　由題意知，X服從二項(xiàng)分布B(n，p)， 由E(X)＝np＝4，D(X)＝np(1－p)＝， 得1－p＝， ∴p＝，n＝6.