2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 中難提分突破特訓(xùn)2 文.doc
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2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 中難提分突破特訓(xùn)2 文.doc
中難提分突破特訓(xùn)(二)
1.已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+…+nan=(n-1)2n+1+2,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=,Tn=b1+b2+…+bn,
求證:對(duì)任意的n∈N*,Tn<.
解 (1)當(dāng)n≥2時(shí),
a1+2a2+…+nan=(n-1)2n+1+2, ?、?
a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n-2)2n+2, ②
①-②,得
nan=(n-1)2n+1+2-(n-2)2n-2=n2n.
∴an=2n.
當(dāng)n=1時(shí),a1=2,也滿足.
∴an=2n.
(2)證明:bn==
==,
∴Tn=b1+b2+…+bn-1+bn
=++
+…++
=
=-<.
∴對(duì)任意的n∈N*,Tn<.
2.天氣預(yù)報(bào)是氣象專家根據(jù)觀測(cè)的氣象資料和專家們的實(shí)際經(jīng)驗(yàn),經(jīng)過(guò)分析推斷得到的,在現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)生活中有著重要的意義.某快餐企業(yè)的營(yíng)銷部門經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn),企業(yè)經(jīng)營(yíng)情況與降雨天數(shù)和降雨量的大小有關(guān).
(1)天氣預(yù)報(bào)說(shuō),在今后的三天中,每一天降雨的概率均為40%,該營(yíng)銷部門通過(guò)設(shè)計(jì)模擬實(shí)驗(yàn)的方法研究三天中恰有兩天降雨的概率,利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),并用1,2,3,4表示下雨,其余6個(gè)數(shù)字表示不下雨,產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
求由隨機(jī)模擬的方法得到的概率值;
(2)經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析,一天內(nèi)降雨量的大小x(單位:毫米)與其出售的快餐份數(shù)y成線性相關(guān)關(guān)系,該營(yíng)銷部門統(tǒng)計(jì)了降雨量與出售的快餐份數(shù)的數(shù)據(jù)如下:
降雨量/毫米
1
2
3
4
5
快餐數(shù)/份
50
85
115
140
160
試建立y關(guān)于x的回歸方程,為盡量滿足顧客要求又不造成過(guò)多浪費(fèi),預(yù)測(cè)降雨量為6毫米時(shí)需要準(zhǔn)備的快餐份數(shù).(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))
附注:回歸方程=x+中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:
=,=-.
解 (1)題干中20組隨機(jī)數(shù)中恰好含有1,2,3,4中的兩個(gè)數(shù)的有191,271,932,812,393,共5組,所以三天中恰有兩天下雨的概率的近似值P==.
(2)由題意可知==3,
==110,
===27.5,
=-=27.5,
所以y關(guān)于x的回歸方程為=27.5x+27.5.
將降雨量x=6代入回歸方程得=27.56+27.5=192.5≈193.
所以預(yù)測(cè)當(dāng)降雨量為6毫米時(shí)需要準(zhǔn)備的快餐份數(shù)為193.
3.如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四邊形,∠ACB=90,AA1=BC=1,AB=,F(xiàn)是BC的中點(diǎn).
(1)求證:DA⊥平面AA1C;
(2)試在線段A1D上確定一點(diǎn)G,使CG∥平面A1AF,并求CG與平面ABCD所成角的正切值.
解 (1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠ACB=∠DAC=90,∴DA⊥AC,
∵A1A⊥平面ABCD,DA?平面ABCD,∴A1A⊥DA,
又AC∩A1A=A,∴DA⊥平面A1AC.
(2)設(shè)A1D的中點(diǎn)為G,連接AG,CG,在平面A1AD內(nèi)作GH⊥A1A于點(diǎn)H,則GH∥AD,
且GH=AD,
由已知可得FC∥AD,
且FC=AD,連接FH,則四邊形FCGH為平行四邊形,∴CG∥FH,∵FH?平面A1AF,CG?平面A1AF,
∴CG∥平面A1AF,∴當(dāng)G為A1D的中點(diǎn)時(shí),CG∥平面A1AF,
設(shè)S為AD的中點(diǎn),連接GS,則GS∥A1A且GS=A1A=,
∵A1A⊥平面ABCD,∴GS⊥平面ABCD,連接CS,則∠GCS為CG與平面ABCD所成的角.∵CS=AF=,
∴tan∠GCS=,
∴CG與平面ABCD所成角的正切值為.
4.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(θ為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ-2cosθ=0.
(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線C1上有一動(dòng)點(diǎn)M,曲線C2上有一動(dòng)點(diǎn)N,求|MN|的最小值.
解 (1)由ρ-2cosθ=0得ρ2-2ρcosθ=0.
∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,∴x2+y2-2x=0,
即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1.
(2)由(1)可知,圓C2的圓心為C2(1,0),半徑為1.
設(shè)曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)M(3cosθ,2sinθ),
由動(dòng)點(diǎn)N在圓C2上可得|MN|min=|MC2|min-1.
∵|MC2|==,
∴當(dāng)cosθ=時(shí),|MC2|min=,
∴|MN|min=|MC2|min-1=-1.
5.已知不等式|2x-3|<x與不等式x2-mx+n<0(m,n∈R)的解集相同.
(1)求m-n;
(2)若a,b,c∈(0,1),且ab+bc+ac=m-n,求a2+b2+c2的最小值.
解 (1)當(dāng)x≤0時(shí),不等式的解集為空集;
當(dāng)x>0時(shí),|2x-3|<x?-x<2x-3<x?1<x<3,
∴1,3是方程x2-mx+n=0的兩根,
∴∴∴m-n=1.
(2)由(1)得ab+bc+ac=1,
∵≥ab,≥bc,≥ac,
∴a2+b2+c2=++≥ab+bc+ac=1.
∴a2+b2+c2的最小值是1.