2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸小題搶分練（四）.doc

壓軸小題搶分練(四) 壓軸小題集訓(xùn)練,練就能力和速度,筑牢高考滿分根基! 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.過拋物線x2=2y上兩點A,B分別作切線,若兩條切線互相垂直,則線段AB的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離的最小值為 (　　) A.12　　 B.1　　 C.32　　 D.2 【解析】選B.拋物線的方程即:y=x22,則y′=x, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則過A,B兩點切線的斜率為:k1=x1,k2=x2, 由題意可得:x1x2=-1. 由題知拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-12, 則線段AB的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離為: y1+y22+12=14(x12+x22+2)≥14(2|x1x2|+2)=1, 當(dāng)且僅當(dāng)|x1|=|x2|=1時等號成立. 據(jù)此可得線段AB的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離的最小值為1. 2.已知函數(shù)f(x)=e2 018x+mx3-m(m>0),當(dāng)x1+x2=1時,對于任意的實數(shù)θ,都有不等式f(x1)+f(sin2θ)>f(x2)+f(cos2θ)成立,則實數(shù)x1的取值范圍是 (　　) A.[1,+∞)　　 B.[1,2]　　 C.(1,2]　　 D.(1,+∞) 【解析】選D.令g(x)=f(x)-f(1-x)=(e2 018x+mx3)-[e2 018(1-x)+m(1-x)3],則 g′(x)=2 018[e2 018x+e2 018(1-x)]+3m[x2+(1-x)2]>0, 據(jù)此可得函數(shù)g(x)單調(diào)遞增, x1+x2=1,則不等式f(x1)+f(sin2θ)>f(x2)+f(cos2θ),即 f(x1)+f(sin2θ)>f(1-x1)+f(1-sin2θ), 則f(x1)-f(1-x1)>f(1-sin2θ)-f[1-(1-sin2θ)], 即g(x1)>g(1-sin2θ), 結(jié)合函數(shù)g(x)的單調(diào)性可得:x1>1-sin2θ恒成立, 當(dāng)sin θ=0時,(1-sin2θ)max=1, 結(jié)合恒成立的條件可得實數(shù)x1的取值范圍是(1,+∞). 3.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1,F2,過點F2的直線l:12x-5y -24=0交雙曲線的右支于A,B兩點,若∠AF1B的平分線的方程為x-4y+2=0,則三角形AF1B內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (　　) A.x-122+y-582=1382 B.(x-1)2+y-342=542 C.(x-1)2+y-342=63522 D.x-122+y-582=542 【解析】選A.如圖所示, 設(shè)三角形AF1B的內(nèi)切圓切AB于點E,切AF1于點G,切BF1于點H,則BF1-BF2=AF1-AF2,得 BH+HF1-(BE+EF2)=AG+GF1-(AE-EF2), 所以-EF2=EF2,即EF2=0,也就是E與F2重合, 由∠AF1B的平分線的方程為x-4y+2=0, 可得F1(-2,0),故F2(2,0). 設(shè)三角形AF1B的內(nèi)切圓的圓心C(m,n),則 m-4n+2=0,(m-2)2+n2=|12m-5n-24|13, 解得m=12,n=58. 所以三角形AF1B的內(nèi)切圓的半徑為r=12-22+2564=138,所以三角形AF1B的內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-122+y-582=1382. 4.設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0,則a的取值范圍是 (　　) A.-32e,1　　 B.-32e,34 C.32e,34　　 D.32e,1 【解析】選D.設(shè)g(x)=ex(2x-1),y=ax-a, 由題意知存在唯一的整數(shù)x0使得g(x0)在直線y=ax-a的下方, 因為g′(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1), 所以當(dāng)x<-12時,g′(x)<0; 當(dāng)x>-12時,g′(x)>0, 所以當(dāng)x=-12時,g(x)取最小值-2e-12. 當(dāng)x=0時,g(0)=-1,當(dāng)x=1時,g(1)=e>0, 直線y=ax-a恒過定點(1,0)且斜率為a, 故-a>g(0)=-1且g(-1)=-3e-1≥-a-a, 解得32e≤a<1. 5.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a<b<c,P點在△ABC所在平面上的投影恰好是△ABC的重心G,設(shè)平面PAB,PAC,PCB與底面ABC所成的銳二面角分別為α,β,γ,則 (　　) A.α>β>γ B.α<β<γ C.α=β=γ D.α<γ<β 【解析】選A.根據(jù)題意畫出如圖所示的圖形: 因為G為△ABC的重心, 所以S△AGB=S△AGC=S△BGC. 過G分別作GH,GM,GN垂直于AB,AC,BC,連接PH,PM,PN,可知∠PHG,∠PMG、∠PNG分別為平面PAB,PAC,PCB與底面ABC所成的銳二面角,分別為α,β,γ. 在△AGB,△AGC,△BGC中,AB>AC>BC, 且S△AGB=S△AGC=S△BGC, 所以GH<GM<GN. 在Rt△PGH,Rt△PGM,Rt△PGN中,PG=PG=PG,GH<GM<GN. 所以PGGH>PGGM>PGGN,即tan α>tan β>tan γ. 因為正切函數(shù)在0,π2上為增函數(shù), 所以α>β>γ. 6.函數(shù)f(x)=(kx+4)ln x-x(x>1),若f(x)>0的解集為(s,t),且(s,t)中恰有兩個整數(shù),則實數(shù)k的取值范圍為 (　　) A.1ln2-2,12ln2-1　　 B.1ln2-2,12ln2-1 C.1ln3-43,12ln2-1　　 D.1ln3-43,12ln2-1 【解析】選D.令f(x)>0,得kx+4>xlnx, 令g(x)=xlnx,則g′(x)=lnx-1ln2x, 令g′(x)>0,解得x>e,令g′(x)<0,解得1<x<e, 故g(x)在(1,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增, 畫出對應(yīng)的圖象,f(x)>0在(s,t)中恰有兩個整數(shù)解,由圖可知,這兩個整數(shù)解為2和3, 從而有3k+4>3ln3,4k+4≤4ln4,解得1ln3-43<k≤12ln2-1. 7.若曲線y=lnx+a的一條切線為y=ex+b,其中a,b為正實數(shù),則a+eb+2的取值范圍是 (　　) A.2e+e2,+∞ B.e,+∞ C.2,+∞ D.2,e 【解析】選C.設(shè)切點為(x0,y0), 則有1x0+a=e,ln(x0+a)=ex0+b?b=ae-2,因為b>0,所以a>2e,a+eb+2=a+1a≥2. 8.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+1=1f(x+1),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,若在區(qū)間(-1,1]上方程f(x)-mx-m=0有兩個不同的實根,則實數(shù)m的取值范圍是 (　　) A.0,12　　 B.12,+∞ C.0,13　　 D.0,12 【解析】選D.設(shè)x∈(-1,0),則x+1∈(0,1), 因為當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x, 所以f(x+1)=x+1. 因為f(x)+1=1f(x+1), 可得f(x)=x(0≤x≤1),1x+1-1(-1≤x<0), 方程f(x)-mx-x=0,化為f(x)=mx+m, 畫出圖象y=f(x),y=m(x+1),M(1,1),N(-1,0), 可得kMN=12. 因為在區(qū)間(-1,1]上方程f(x)-mx-x=0有兩個不同的實根,所以0<m≤12. 9.等比數(shù)列{an}的首項為32,公比為-12,前n項和為Sn,則當(dāng)n∈N*時,Sn-1Sn的最大值與最小值的比值為 (　　) A.-125 B.-107 C.109 D.125 【解析】選B.因為等比數(shù)列{an}的首項為32,公比為-12, 所以an=32-12n-1, 所以Sn=321--12n1--12=1--12n. ①當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn=1+12n隨著n的增大而減小,則1<Sn≤S1=32,故0<Sn-1Sn≤56; ②當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn=1-12n隨著n的增大而增大,則34=S2≤Sn<1,故-712≤Sn-1Sn<0. 所以Sn-1Sn的最大值與最小值的比值為56-712=-107. 10.如圖是一個幾何體的平面展開圖,其中ABCD為正方形,E,F分別為PA,PD的中點,在此幾何體中,給出下面結(jié)論: ①直線BE與直線CF異面; ②直線BE與直線AF異面; ③直線EF∥平面PBC. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是 (　　) A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 【解析】選C.畫出幾何體的立體圖形,如圖, 由題意可知,①直線BE與直線CF異面,不正確, 因為E,F是PA與PD的中點,可知EF∥AD, 所以EF∥BC,直線BE與直線CF是共面直線. ②直線BE與直線AF異面,正確. ③直線EF∥平面PBC;由E,F是PA與PD的中點可知,EF∥AD,所以EF∥BC, 因為EF?平面PBC,BC?平面PBC,所以EF∥平面PBC是正確的. 11.已知拋物線C:y2=8x,圓F:(x-2)2+y2=4,直線l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下順次與上述兩曲線交于M1,M2,M3,M4四點,則下列各式結(jié)果為定值的是 (　　) A.|M1M3||M2M4| B.|FM1||FM4| C.|M1M2||M3M4| D.|FM1||M1M2| 【解析】選C.由y=k(x-2),y2=8x, 消去y整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0(k≠0), 設(shè)M1(x1,y1),M4(x2,y2), 則x1+x2=4k2+8k2,x1x2=4. 過點M1,M4分別作直線l′:x=-2的垂線,垂足分別為A,B,則|M1F|=x1+2,|M4F|=x2+2. 對于A,|M1M3||M2M4|=(|M1F|+2)(|M4F|+2)=(x1+4)(x2+4)=x1x2+4(x1+x2)+16,不為定值,故A不正確. 對于B,|FM1||FM4|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4,不為定值,故B不正確. 對于C,|M1M2||M3M4|=(|M1F|-2)(|M4F|-2)=x1x2=4,為定值,故C正確. 對于D,|FM1||M1M2|=|M1F|(|M1F|-2)=(x1+2)x1,不為定值,故D不正確. 12.在關(guān)于x的不等式x2-axex-aex>0(其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù))的解集中,有且僅有兩個正整數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為 (　　) A.165e4,12e B.94e3,12e C.165e4,43e2 D.94e3,43e2 【解析】選D.x2-axex-aex>0?x2>a(x+1)ex, 設(shè)f(x)=x2,g(x)=a(x+1)ex, 則原不等式等價于f(x)>g(x). 若a≤0,則當(dāng)x>0時,f(x)>0,g(x)<0, 所以原不等式的解集中有無數(shù)個正整數(shù). 所以a>0. 因為f(0)=0,g(0)=a>0, 所以f(0)<g(0). 當(dāng)f(1)≤g(1),即a≥12e時, 設(shè)h(x)=f(x)-g(x)(x≥2). 則h′(x)=2x-a(x+2)ex≤2x-(x+2)ex2e. 設(shè)φ(x)=2x-(x+2)ex2e(x≥2), 則φ′(x)=2-(x+3)ex2e≤φ′(1)=0, 所以φ(x)在[2,+∞)上為減函數(shù), 所以φ(x)≤φ(2)=2(2-e)<0, 所以當(dāng)x≥2時,h′(x)<0, 所以h(x)在[2,+∞)上為減函數(shù). 所以h(x)≤h(2)=4-3ae2≤4-3e2<0. 所以當(dāng)x≥2時,不等式f(x)<g(x)恒成立, 所以原不等式的解集中沒有正整數(shù). 所以要使原不等式的解集中有且僅有兩個正整數(shù), 則f(1)>g(1),f(2)>g(2),f(3)≤g(3),所以1>2ae,4>3ae2,9≤4ae3, 解得94e3≤a<43e2. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上) 13.在三棱錐D-ABC中,AB=BC=DB=DC=1,當(dāng)三棱錐體積最大時,其外接球的表面積為________. 【解析】在三棱錐D-ABC中, 當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥平面BCD時,三棱錐體積達到最大, 此時,設(shè)外接球的半徑為R,球心為O,球心O在平面BDC內(nèi)的投影為點F,則有R2=OB2=OF2+BF2=122+332=712, 表面積為S=4πR2=7π3. 答案:73π 14.已知數(shù)列{an}滿足當(dāng)2k-1-1<n≤2k-1(k∈N*,n∈N*)時an=k2k,若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則滿足Sn>10的n的最小值為________. 【解析】由題意可知數(shù)列{an}中an=k2k的有2k-1項,這2k-1項記作第k組, 第k組中所有項的和為k2, 所以前5組所有項的和為1+2+3+4+52=152,且前5組的項數(shù)為1+21+22+23+24=31. 第6組有32項,各項均為626,即332. 由33226<52,33227>52可得滿足Sn>10的n的最小值為31+27=58. 答案:58 15.若實數(shù)x,y,z滿足x+2y+3z=1,x2+4y2+9z2=1,則z的最小值是________. 【解析】x+2y+3z=1,則x=1-2y-3z,據(jù)此可得: (1-2y-3z)2+4y2+9z2=1, 整理可得4y2+(6z-2)y+(9z2-3z)=0, 滿足題意時上述關(guān)于y的一元二次方程有實數(shù)根, 則Δ=(6z-2)2-16(9z2-3z)≥0, 整理可得(3z-1)(9z+1)≤0, 則-19≤z≤13. 則z的最小值是-19. 答案:-19 16.點F1,F2分別是橢圓C:x22+y2=1的左、右兩焦點,點N為橢圓C的上頂點,若動點M滿足:||2=2,則|+2|的最大值為__________. 【解析】設(shè)M(x0,y0),由x22+y2=1, 得N(0,1),F1(-1,0),F2(1,0), 則由||2=2, 可得x02+(y0-1)2=2x02-2+2y02, 化為x02+(y0+1)2=4,可設(shè)x0=2cosα,y0=2sinα-1, =(-1-2cos α,1-2sin α), 2=(2-4cos α,2-4sin α), +2=(1-6cos α,3-6sin α), |+2|=(1-6cosα)2+(3-6sinα)2 =46-12cosα-36sinα =46-1210cos(α+φ) ≤46+1210=6+10, 其中cos φ=1010, 即|+2|的最大值為6+10. 答案:6+10