高中數(shù)學(xué)人教B版必修5同步練習(xí)：第1章 解三角形1.1 第3課時(shí) Word版含解析

第一章　1.1　第3課時(shí) 一、選擇題 1．三角形的兩邊長為3cm、5cm，其夾角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，則此三角形的面積是(　　) A．6cm2　 B．cm2 C．8cm2　 D．10cm2 [答案]　A [解析]　解方程5x2－7x－6＝0，得x1＝－或x2＝2. 由題意，得三角形的兩邊長為3cm、5cm，其夾角的余弦為－， ∴夾角的正弦為， 故三角形的面積S＝×3×5×＝6cm2. 2．△ABC中，若∠A＝60°，b＝16，此三角形面積S＝220，則a的值為(　　) A．7　 B．25 C．55　 D．49 [答案]　D [解析]　由題意，得S＝220＝bcsinA＝×16×c×， ∴c＝55. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA ＝162＋552－2×16×55×＝2401， ∴a＝49. 3．在△ABC中，若sinA>sinB，則有(　　) A．a(chǎn)<b　 B．a(chǎn)≥b C．a(chǎn)>b　 D．a(chǎn)、b的大小無法確定 [答案]　C [解析]　利用正弦定理將角的關(guān)系化為邊的關(guān)系，由＝可得＝，因?yàn)椤鰽BC中sinA>0，sinB>0，所以結(jié)合已知有sinA>sinB>0，從而>1，即a>b. 4．若△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，那么cosC＝(　　) A．－　 B． C．－　 D． [答案]　A [解析]　由正弦定理，得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝2∶3∶4， 令a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)， ∴cosC＝ ＝＝－. 5．在△ABC中，若△ABC的面積S＝(a2＋b2－c2)，則∠C為(　　) A．　 B． C．　 D． [答案]　A [解析]　由S＝(a2＋b2－c2)，得absinC＝×2abcosC，∴tanC＝1，∴C＝. 6．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為(　　) A．　 B． C．　 D． [答案]　D [解析]　設(shè)三角形的底邊長為a，則周長為5a，∴等腰三角形腰的長為2a.設(shè)頂角為α，由余弦定理，得cosα＝＝. 二、填空題 7．在△ABC中，a＝2，b＝，A＝45°，則邊c＝________. [答案]　3＋ [解析]　由余弦定理，得a2＝c2＋b2－2cbcosA， ∴12＝c2＋6－2c×， ∴c2－2c－6＝0， 解得c＝3＋. 8．(2014·天津理，12)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，則cosA的值為________． [答案]　－ [解析]　本題考查解三角形中正弦定理、余弦定理． ∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c. 又∵b－c＝a，∴b＝a，c＝a. ∴cosA＝＝＝－. 三、解答題 9．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且c＝2，C＝. (1)若△ABC的面積為，求a、b的值； (2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面積． [解析]　(1)由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC， 又c＝2，C＝， ∴a2＋b2－ab＝4. 由已知得S△ABC＝＝absinC＝ab，∴ab＝4. 由，解得. (2)∵sinB＝2sinA，∴b＝2a. 又c＝2，C＝，∴a2＋b2－ab＝4. 由，解得. ∴S△ABC＝absinC＝. 10.(2015·天津文，16)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.已知△ABC的面積為3，b－c＝2，cos A＝－. (1)求a和sin C的值； (2)求cos的值． [解析]　(1)在△ABC中，由cos A＝－， 得sin A＝， 由S△ABC＝bcsin A＝3，得bc＝24， 又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4. 由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8. 由＝，得sin C＝. (2)cos＝cos 2Acos －sin 2Asin ＝(2cos2A－1)－×2sin Acos A ＝. 一、選擇題 1．在△ABC中，lga－lgb＝lgsinB＝－lg，∠B為銳角，則∠A的值是(　　) A．30°　 B．45° C．60°　 D．90° [答案]　A [解析]　由題意得＝sinB＝，又∵∠B為銳角， ∴B＝45°，又＝＝，sinA＝sinB×＝， ∴∠A＝30°. 2．在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，且2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面積為，那么b等于(　　) A．　 B．1＋ C．　 D．2＋ [答案]　B [解析]　∵2b＝a＋c，又由于∠B＝30°， ∴S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝，解得ac＝6. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB ＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos30°＝4b2－12－6， 即b2＝4＋2，由b>0，解得b＝1＋. 3．△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是(　　) A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70° B．a(chǎn)＝30，b＝25，∠A＝150° C．a(chǎn)＝7，b＝8，∠A＝98° D．a(chǎn)＝14，b＝16，∠A＝45° [答案]　D [解析]　A中已知兩角與一邊，有唯一解，B中，a>b，且∠A＝150°，也有唯一解，C中b>a，且∠A＝98°為鈍角，故解不存在，D中由于b·sin45°<a<b，故有兩解． 4．若＝＝，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰三角形　 B．等邊三角形 C．直角三角形　 D．等腰直角三角形 [答案]　B [解析]　解法一：由正弦定理，得 ＝＝ 即tanA＝tanB＝tanC， ∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C， ∴△ABC為等邊三角形． 解法二：由余弦定理，得cosA＝， cosB＝，cosC＝， 又∵＝＝， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2， ∴a＝b＝c，故選B． 二、填空題 5．(2015·北京理，12)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則＝________. [答案]　1 [解析]　由正弦定理，得＝，由余弦定理，得cosA＝，∵a＝4，b＝5，c＝6， ∴＝＝2··cosA＝2××＝1. 6．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，則△ABC的面積為________． [答案]　 [解析]　由余弦定理，得72＝52＋BC2＋5BC， 即BC2＋5BC－24＝0， 解之得BC＝3，所以S＝×5×3×sin120°＝. 三、解答題 7．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知＝. (1)求的值； (2)若cosB＝，△ABC的周長為5，求b的長． [解析]　(1)由正弦定理＝＝＝2R知 ＝， 即cosAsinB－2cosCsinB＝2cosBsinC－cosBsinA， 即sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又由A＋B＋C＝π知，sinC＝2sinA，所以＝2. (2)由(1)知＝2，∴c＝2a， 則由余弦定理，得b2＝a2＋(2a)2－2·a·2acosB＝4a2 ∴b＝2a，∴a＋2a＋2a＝5，∴a＝1，∴b＝2. 8．(2015·浙江文，16)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.已知tan＝2. (1)求的值； (2)若B＝，a＝3，求△ABC的面積． [解析]　(1)由tan＝2，得tan A＝，所以＝＝＝. (2)由tan A＝及A∈(0，π)可得sin A＝，cos A＝.又a＝3，B＝，由正弦定理知b＝3. 又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝， 所以S△ABC＝absin C＝×3×3×＝9. 9.(2014·北京理，15)如圖，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2，cos∠ADC＝. (1)求sin∠BAD； (2)求BD、AC的長． [解析]　(1)在△ADC中，因?yàn)閏os∠ADC＝， 所以sin∠ADC＝. 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B) ＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB ＝×－×＝. (2)在△ABD中，由正弦定理得 BD＝＝＝3. 在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB ＝82＋52－2×8×5×＝49. 所以AC＝7. 最新精品資料