高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第6章 第1節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示法 Word版含解析

全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 本章在高考中一般考查2道小題或1道解答題，分值占10～12分. 2.考查內(nèi)容 高考對(duì)小題的考查一般以等差、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算、性質(zhì)及數(shù)列的遞推公式等為主．解答題一般考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差、等比數(shù)列的判定及計(jì)算、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、公式法求和. 3.備考策略 (1)熟練掌握以下內(nèi)容及方法 ①根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法； ②等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式； ③等差、等比數(shù)列的性質(zhì)； ④等差、等比數(shù)列的判定方法； ⑤數(shù)列求和方法：分組轉(zhuǎn)化法求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和. (2)重視分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)列中的應(yīng)用. 第一節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示法 [最新考綱]　1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第93頁) 1．?dāng)?shù)列的概念 (1)數(shù)列的定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)． (2)數(shù)列的表示法 數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖像法和通項(xiàng)公式法． 2．?dāng)?shù)列的分類 分類 標(biāo)準(zhǔn) 類型 滿足條件 項(xiàng)數(shù) 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限 無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限 單調(diào)性 遞增數(shù)列 an＋1>an 其中n∈N* 遞減數(shù)列 an＋1<an 常數(shù)列 an＋1＝an＝c(常數(shù)) 擺動(dòng)數(shù)列 從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 3.數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式． 4．?dāng)?shù)列的遞推公式 如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第2項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法． 5．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an， 則an＝ 1．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列?an＋1＞an恒成立． 2．?dāng)?shù)列{an}是遞減數(shù)列?an＋1＜an恒成立． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)． (　　) (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)． (　　) (3)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn. (　　) (4)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an＋1＝，且a2＝1，則可以寫出數(shù)列{an}的任何一項(xiàng)． (　　) [答案](1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．?dāng)?shù)列－1，，－，，－，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝±　　　　 B．a(chǎn)n＝(－1)n· C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1 D．a(chǎn)n＝ B　[由a1＝－1，代入檢驗(yàn)可知選B.] 2．在數(shù)列{an}中，已知a1＝－，an＋1＝1－，則a3＝(　　) A．－3　　　　B.　　　　C．5　　　　D. D　[a2＝1－＝5，a3＝1－＝1－＝.] 3．把3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示)． 則第6個(gè)三角形數(shù)是(　　) A．27　　　 B．28　　　 C．29　　　 D．30 B　[由題圖可知，第6個(gè)三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 4．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各項(xiàng)由an＝an－1＋an－2(n＞2)給出，則a5＝________. 8　[a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，a5＝a4＋a3＝8.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第94頁) ⊙考點(diǎn)1　由數(shù)列的前n項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 　解答具體策略：①相鄰項(xiàng)的變化規(guī)律；②各項(xiàng)的符號(hào)規(guī)律和其絕對(duì)值的變化規(guī)律；③分式中分子、分母的變化規(guī)律，分子與分母之間的關(guān)系；④合理拆項(xiàng)；⑤結(jié)構(gòu)不同的項(xiàng)，化異為同． 　根據(jù)下面各數(shù)列前n項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式． (1)，－，，－，，…； (2)，2，，8，，…； (3)5,55,555,5555，…； (4)1,3,1,3，…； (5)，，，，，…； (6)－1,1，－2,2，－3,3，…. [解](1)數(shù)列中各項(xiàng)的符號(hào)可通過(－1)n＋1表示．每一項(xiàng)絕對(duì)值的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…， 所以an＝(－1)n＋1. (2)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察．即，，，，，…，分子為項(xiàng)數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝. (3)將原數(shù)列改寫為×9，×99，×999，…，易知數(shù)列9,99,999，…的通項(xiàng)為10n－1，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(10n－1)． (4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是1，偶數(shù)項(xiàng)是3，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2＋(－1)n. (5)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積，分子依次為2,4,6，…，相鄰的偶數(shù)．故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝. (6)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為－1，－2，－3，…可用－表示， 數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為1,2,3，…可用表示． 因此an＝ (1)記住常見數(shù)列的通項(xiàng)公式，有些數(shù)列可用常見數(shù)列表示，如T(3)． (2)對(duì)于奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)不能用同一表達(dá)式表示的數(shù)列，可用分段函數(shù)表示，如T(6)． ⊙考點(diǎn)2　由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式 　已知Sn求an的三個(gè)步驟 (1)先利用a1＝S1，求出a1； (2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式； (3)注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并． (1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. (2)(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________. (3)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝________. (1)　(2)－63　(3)　[(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式． 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝ (2)由Sn＝2an＋1得S1＝2a1＋1，即a1＝2a1＋1，解得a1＝－1. 又Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)，所以an＝2an－2an－1，即an＝2an－1. 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－1，公比為2的等比數(shù)列，所以S6＝＝1－26＝－63. (3)當(dāng)n＝1時(shí)，由已知， 可得a1＝21＝2， ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n， ① 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)， ② 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1， ∴an＝(n≥2)． 顯然當(dāng)n＝1時(shí)不滿足上式， ∴an＝] 　an＝Sn－Sn－1只適用于n≥2的情形，易忽略求a1，造成錯(cuò)解，如T(1)，T(3)． 　1.(2019·鄭州模擬)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． an＝　[由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，即Sn＝2n＋1－1. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝21＋1－1＝3. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n， 顯然a1＝3不滿足上式， 所以an＝] 2．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，且對(duì)任意n∈N*，均有2Sn＝a＋an，則an＝________. n　[由2Sn＝a＋an得 2Sn－1＝a＋an－1， ∴2an＝a－a＋an－an－1， 即a－a＝an＋an－1，又an＞0， ∴an－an－1＝1， 又2S1＝a＋a1，解得a1＝1， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列． ∴an＝1＋(n－1)×1＝n.] ⊙考點(diǎn)3　由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式 　由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法 (1)形如an＋1＝an＋f(n)，可用累加法求an. (2)形如an＋1＝anf(n)，可用累乘法求an. (3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，可構(gòu)造等比數(shù)列求an. (4)形如an＋1＝，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列求解． 　形如an＋1＝an＋f(n)，求an 　在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋8＋5＋2 ＝， ∴an＝n2＋. 　求解時(shí)，易錯(cuò)誤地認(rèn)為an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)造成錯(cuò)解． 　形如an＋1＝anf(n)，求an 　已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＋1＝an，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　由an＋1＝an得＝， ∴＝(n≥2)， ∴an＝···…···a1＝···…···4 ＝××2×1×4＝， 即an＝. 　求解時(shí)易錯(cuò)誤地認(rèn)為an＝···…··，造成錯(cuò)解． 　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an 　已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2， 故數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列， ∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1. 　an＋1＝Aan＋B可轉(zhuǎn)化為an＋1＋k＝A(an＋k)的形式，其中k可用待定系數(shù)法求出． 　1.(2019·泰安模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，則an＝________. 2n－1＋n　[由an＋1＝an＋2n－1＋1得an＋1－an＝2n－1＋1， ∴an－an－1＝2n－2＋1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋(n－1)＋2 ＝＋n＋1＝2n－1＋n， 即an＝2n－1＋n.] 2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2nan，則an＝________. 2　[∵an＋1＝2nan，∴＝2n，∴＝2n－1(n≥2)， ∴an＝··…··a1 ＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2， 即an＝2.] 3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋3，則an＝________. 2n＋1－3　[由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)． 又a1＝1，∴a1＋3＝4. 故數(shù)列{an＋3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列， ∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.] ⊙考點(diǎn)4　數(shù)列的周期性 　先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求值． (1)數(shù)列{an}滿足an＋1＝a1＝，則數(shù)列的第2 020項(xiàng)為________． (2)在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝，則S2 020＝________. (1)　(2)0　[(1)因?yàn)閍1＝，故a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，a7＝2a6＝，…，故數(shù)列{an}是周期數(shù)列且周期為4，故a2 020＝a505×4＝a4＝. (2)∵a1＝0，an＋1＝， ∴a2＝＝，a3＝＝＝－， a4＝＝0， 即數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列， 且a1＋a2＋a3＝0， 則S2 020＝S3×673＋1＝a1＝0.] 　求解時(shí)，易算錯(cuò)數(shù)列的周期，可計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，直至找到和a1相同的項(xiàng)ak，則數(shù)列的周期為k－1. [教師備選例題] 已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，若a1＝，則a2 020＝(　　) A．－1　　　　B.　　　　C．1　　　　D．2 B　[由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，于是可知數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2 020＝a3×673＋1＝a1＝.] 　1.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，則a2 020＝________. 0　[∵a1＝1，an＋1＝a－2an＋1＝(an－1)2， ∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知數(shù)列{an}是以2為周期的周期數(shù)列，∴a2 020＝a2＝0.] 2．(2019·青島模擬)已知數(shù)列2 008,2 009,1，－2 008，…，若這個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2 020項(xiàng)之和S2 020＝________. 2 010　[由題意知a1＝2 008，a2＝2 009，a3＝1，a4＝－2 008，a5＝－2 009，a6＝－1，a7＝2 008，a8＝2 009，…，因此數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且a1＋a2＋…＋a6＝0，∴S2 020＝S6×336＋4＝336×0＋a1＋a2＋a3＋a4＝2 010.]