《數(shù)值分析》第五章答案.doc

習(xí)題5 1． 導(dǎo)出如下3個(gè)求積公式，并給出截?cái)嗾`差的表達(dá)式。 (1) 左矩形公式： (2) 右矩形公式： (3) 中矩形公式： 解：(1) ， (2) ， ， (3) 法1 ， 法2 可以驗(yàn)證所給公式具有1次代數(shù)精度。作一次多項(xiàng)式 滿足 ，，則有 ， 于是 2． 考察下列求積公式具有幾次代數(shù)精度： （1） ； （2） 。 解： （1）當(dāng)時(shí)，左=1，右=1+0=1，左=右； 當(dāng)時(shí)，左，右=，左=右； 當(dāng)時(shí)，左=，右=1，左右，代數(shù)精度為1。 （2）當(dāng)時(shí)，左=2，右=2，左=右； 當(dāng)時(shí)，左=0，右=，左=右； 當(dāng)時(shí)，左，右，左=右； 當(dāng)時(shí)，左，右，左=右； 當(dāng)時(shí)，左，右，左右。代數(shù)精度為3。 3． 確定下列公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出其代數(shù)精度的次數(shù)。 （1） ； （2） ； （3） 。 解： 當(dāng)時(shí)，左，右，左=右； 當(dāng)時(shí)，左，右， 當(dāng)時(shí)，左，右； 要使所給求積公式至少具有2次代數(shù)精度當(dāng)且僅當(dāng)、滿足 ， 求積公式（1）： （A） 求積公式（2）： （B） 當(dāng)時(shí)，（A）的左端為1。 （A） 的右端 （B） 的右端 （A）和（B）的代數(shù)精度均為2。 （2） 當(dāng)時(shí)，左，右 當(dāng)時(shí)，左，右 當(dāng)時(shí)，左， 右 要使求積公式具有2次代數(shù)精度，當(dāng)且僅當(dāng) 當(dāng)時(shí)，左 右 當(dāng)時(shí)，左，的系數(shù)。 右， 其中的系數(shù)。因而 代數(shù)精度為3。 5．設(shè)函數(shù)由下表給出： 1.6 1.8 2.0 2..2 2.4 2.6 4.953 6.050 7.389 9.025 11.023 13.464 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 16.445 20.086 24.533 29.964 36.598 44.701 解： 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 6.050 7.389 9.025 11.023 13.464 16.445 20.086 24.533 29.964 (1) 復(fù)化梯形公式 ， ， （2） （3） Romberg 算法 7．試用復(fù)化梯開公式計(jì)算曲線在區(qū)間[]上這一段的弧長(zhǎng)，取。 解： ， 0 [ 所求弧長(zhǎng)為 9．利用積分計(jì)算時(shí)，若采用復(fù)化梯形公式，問(wèn)應(yīng)取多少節(jié)點(diǎn)才能使其誤差絕對(duì)值不超過(guò)。 解： ， ， ， ， ， 要使 只要 取 答：取950個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，則有 方法2 10．用Romberg方法求，要求誤差不超過(guò)。從所取節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與上題結(jié)果比較中體會(huì)這2種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。 解： 將區(qū)間[2，8]作16等分， 2， 2+， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， , , , , , , , , 實(shí)際上 12．用3點(diǎn)Gauss-Legendre公式求。 解： 三點(diǎn)Gauss公式 21．根據(jù)下列的數(shù)值表： 1.20 1.24 1.28 1.32 1.36 2.572 15 2.911 93 3.341 35 3.903 35 4.673 44 解： ， ， 實(shí)際誤差 實(shí)際誤差