高考數學復習 17-18版 第2章 第6課 函數的奇偶性與周期性
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1、 第6課 函數的奇偶性與周期性 [最新考綱] 內容 要求 A B C 函數的奇偶性 √ 函數的周期性 √ 1.函數的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫作偶函數 關于y軸對稱 奇函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫作奇函數 關于原點對稱 2.函數的周期性 (1)周期函數:對于函數f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那
2、么就稱函數f(x)為周期函數,稱T為這個函數的周期. (2)最小正周期:如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫作f(x)的最小正周期. 1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)偶函數圖象不一定過原點,奇函數的圖象一定過原點.( ) (2)若函數y=f(x+a)是偶函數,則函數y=f(x)關于直線x=a對稱.( ) (3)若函數y=f(x+b)是奇函數,則函數y=f(x)關于點(b,0)中心對稱.( ) (4)函數f(x)在定義域上滿足f(x+a)=-f(x),則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函
3、數.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數,那么a+b的值是________. [依題意b=0,且2a=-(a-1), ∴b=0且a=,則a+b=.] 3.(教材改編)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=x(1+x),則x<0時,f(x)=________. x(1-x) [當x<0時,則-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x). 又f(x)為奇函數,∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x), ∴f(x)=x(1-x).] 4.下列函數中,①y=;②y=|si
4、n x|;③y=cos x;④y=ex-e-x為奇函數的是________.(填函數序號) ④ [①中函數的定義域為[0,+∞),其不關于原點對稱,故①不是奇函數,②③是偶函數,④是奇函數.] 5.(2016·江蘇高考)設f(x)是定義在R上且周期為2的函數,在區(qū)間[-1,1)上,f(x)=其中a∈R.若f=f,則f(5a)的值是________. - [因為函數f(x)的周期為2,結合在[-1,1)上f(x)的解析式,得f=f=f=-+a, f=f=f==. 由f=f,得-+a=,解得a=. 所以f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+=-.] 函數奇偶性
5、的判斷 判斷下列函數的奇偶性: (1)f(x)=x3-2x; (2)f(x)=(x+1); (3)f(x)= [解] (1)定義域為R,關于原點對稱, 又f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x). ∴該函數為奇函數. (2)由≥0可得函數的定義域為(-1,1]. ∵函數定義域不關于原點對稱, ∴函數為非奇非偶函數. (3)易知函數的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關于原點對稱,又當x>0時,f(x)=x2+x, 則當x<0時,-x>0, 故f(-x)=x2-x=f(x); 當x<0時,f(x)=x2-x,則當x>0時,-x
6、<0, 故f(-x)=x2+x=f(x),故原函數是偶函數. [規(guī)律方法] 1.利用定義判斷函數奇偶性的步驟: 2.判斷分段函數的奇偶性應分段分別證明f(-x)與f(x)的關系,只有對各段上的x都滿足相同的關系時,才能判斷其奇偶性;也可以利用函數的圖象進行判斷. [變式訓練1] (1)設函數f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,則下列結論中正確的是________.(填序號) ①f(x)g(x)是偶函數; ②|f(x)|g(x)是奇函數; ③f(x)|g(x)|是奇函數; ④|f(x)g(x)|是奇函數. (2)判斷函數f(x)=+的奇偶
7、性. (1)③ [①:令h(x)=f(x)·g(x),則h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(huán)(x), ∴h(x)是奇函數,①錯. ②:令h(x)=|f(x)|g(x),則h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h(x), ∴h(x)是偶函數,②錯. ③:令h(x)=f(x)|g(x)|,則h(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h(huán)(x),∴h(x)是奇函數,③正確. ④:令h(x)=|f(x)·g(x)|,則h(-x)=|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)·g(x)|=|f(x)·g(
8、x)|=h(x), ∴h(x)是偶函數,④錯.] (2)由得x2=3,∴x=±, 即函數f(x)的定義域為{-,}, 從而f(x)=+=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x), ∴函數f(x)既是奇函數又是偶函數. 函數奇偶性的應用 (1)若函數f(x)=xln(x+)為偶函數,則a=________. 【導學號:62172030】 (2)已知f(x)是定義在R上的奇函數,當x>0時,f(x)=x2-4x,則f(x)=________. (1)1 (2) [(1)∵f(x)為偶函數,∴f(-x)-f(x)=0恒成立, ∴-xln(-x+)-xln
9、(x+)=0恒成立,∴xln a=0恒成立,∴l(xiāng)n a=0,即a=1. (2)∵f(x)是定義在R上的奇函數,∴f(0)=0. 又當x<0時,-x>0,∴f(-x)=x2+4x.又f(x)為奇函數, ∴f(-x)=-f(x), 即f(x)=-x2-4x(x<0), ∴f(x)=] [規(guī)律方法] 1.已知函數的奇偶性求參數,一般采用待定系數法求解,根據f(x)±f(-x)=0得到關于待求參數的恒等式,由系數的對等性得參數的值或方程(組),進而得出參數的值; 2.已知函數的奇偶性求函數值或解析式,將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性得出關于f(x)
10、的方程(組),從而可得f(x)的值或解析式. [變式訓練2] (2017·南通一模)若函數f(x)=(a>0,b>0)為奇函數,則f(a+b)的值為________. -1 [∵f(x)為奇函數, ∴即解得a=-1,b=2. ∴f(a+b)=f(1)=1-b=-1.] 函數的周期性及其應用 設定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當x∈[0,2)時,f(x)=2x-x2,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 017)=________. 【導學號:62172031】 1 009 [∵f(x+2)=f(x),∴函數f(x)的周期T=2. 又當x∈[
11、0,2)時,f(x)=2x-x2,∴f(0)=0,f(1)=1,f(0)+f(1)=1. ∴f(0)+f(1)=f(2)+f(3)=f(4)+f(5)=…=f(2 016)+f(2 017)=1, ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 017)=1 009.] [遷移探究1] 若將本例中“f(x+2)=f(x)”改為“f(x+1)=-f(x)”,則結論如何? [解] ∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x). 故函數f(x)的周期為2. 由本例可知,f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 017)=1 009. [遷移
12、探究2] 若將本例中“f(x+2)=f(x)”改為“f(x+1)=”,則結論如何? [解] ∵f(x+1)=, ∴f(x+2)=f[(x+1)+1]==f(x). 故函數f(x)的周期為2. 由本例可知,f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 017)=1 009. [規(guī)律方法] 1.判斷函數的周期只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數,且周期為T,根據函數的周期性,可以由函數局部的性質得到函數的整體性質. 2.函數周期性的三個常用結論: (1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a, (2)若f(x+a)=,則T=2a, (3)若f(x+a)=-,
13、則T=2a(a>0). [變式訓練3] (2017·南通第一次學情檢測)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+4)=f(x),且x∈(0,2)時f(x)=x2+1,則f(7)的值為________. -2 [∵由f(x+4)=f(x)可知f(x)的周期T=4, ∴f(7)=f(7-4×2)=f(-1). 又f(x)為奇函數,故f(-1)=-f(1). 又f(x)=x2+1,x∈(0,2),故f(1)=2. ∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2.] [思想與方法] 1.函數奇偶性的三個常用性質 (1)若奇函數f(x)在x=0處有定義,則f(0)=0. (2)若f(
14、x)為偶函數,則f(|x|)=f(x). (3)設f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么在它們的公共定義域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.利用函數奇偶性可以解決以下問題 (1)求函數值;(2)求解析式;(3)求函數解析式中參數的值;(4)畫函數圖象,確定函數單調性. 3.在解決具體問題時,要注意結論“若T是函數的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期”的應用. [易錯與防范] 1.判斷函數的奇偶性,應首先判斷函數定義域是否關于原點對稱.定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件. 2.f(0)=0既不是f(x)是奇函數的
15、充分條件,也不是必要條件.應用時要注意函數的定義域并進行檢驗. 3.判斷分段函數的奇偶性時,要以整體的觀點進行判斷,不能用函數在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數而否定函數在整個定義域上的奇偶性. 課時分層訓練(六) A組 基礎達標 (建議用時:30分鐘) 一、填空題 1.在函數y=xcos x,y=ex+x2,y=lg,y=xsin x中,偶函數的個數是________. 2 [y=xcos x是奇函數,y=lg和y=xsin x是偶函數,y=ex+x2是非奇非偶函數.] 2.函數y=log2的圖象關于________對稱.(填序號) ①原點;②y軸;③y=-x;④y=x. ①
16、 [由>0得-1<x<1, 即函數定義域為(-1,1), 又f(-x)=log2=-log2=-f(x), ∴函數y=log2為奇函數.] 3.(2016·蘇州期中)定義在R上的奇函數f(x),當x>0時,f(x)=2x-x2,則f(-1)+f(0)+f(3)=________. -2 [∵f(x)為奇函數,∴f(-1)=-f(1),f(0)=0. 又x>0時,f(x)=2x-x2, ∴f(-1)+f(0)+f(3)=-f(1)+0+f(3)=-2+1+0+8-9=-2.] 4.已知f(x)在R上是奇函數,且滿足f(x+4)=f(x),當x∈(0,2)時,f(x)=2x2,則f
17、(2 019)=________. -2 [∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)是以4為周期的周期函數, ∴f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1). 又f(x)為奇函數,∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2, 即f(2 019)=-2.] 5.函數f(x)在R上為奇函數,且x>0時,f(x)=+1,則當x<0時,f(x)=________. 【導學號:62172032】 --1 [∵f(x)為奇函數,x>0時,f(x)=+1, ∴當x<0時,-x>0, f(x)=-f(-x)=-(+1), 即x<0時,f(x)=-(+1)=--1.] 6.(
18、2017·安徽蚌埠二模)函數f(x)=是奇函數,則實數a=________. 【導學號:62172033】 -2 [由題意知,g(x)=(x+2)(x+a)為偶函數, ∴a=-2.] 7.(2016·山東高考改編)已知函數f(x)的定義域為R.當x<0時,f(x)=x3-1;當-1≤x≤1時,f(-x)=-f(x);當x>時,f=f,則f(6)=________. 2 [由題意知當x>時,f=f, 則當x>0時,f(x+1)=f(x). 又當-1≤x≤1時,f(-x)=-f(x), ∴f(6)=f(1)=-f(-1). 又當x<0時,f(x)=x3-1, ∴f(-1)=-2,
19、∴f(6)=2.]
8.(2016·四川高考)若函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數,當0
20、調遞增.
∴f(x)在R上是單調遞增函數.
又f(2-a2)>f(a)可知2-a2>a,解得-2
21、f(x)+g(x)=,
聯立方程
兩式相減得f(x)==.
12.已知定義在R上的奇函數f(x)有最小正周期2,且當x∈(0,1)時,f(x)=.
(1)求f(1)和f(-1)的值;
(2)求f(x)在[-1,1]上的解析式. 【導學號:62172035】
[解] (1)∵f(x)是周期為2的奇函數,
∴f(1)=f(2-1)=f(-1)=-f(1),
∴f(1)=0,f(-1)=0.
(2)由題意知,f(0)=0.當x∈(-1,0)時,-x∈(0,1).
由f(x)是奇函數,
∴f(x)=-f(-x)=-=-,
綜上,在[-1,1]上,f(x)=
B組 能力提升
22、(建議用時:15分鐘)
1.(2017·啟東中學高三第一次月考)已知函數f(x)在定義域[2-a,3]上是偶函數,在[0,3]上單調遞減,并且f>f(-m2+2m-2),則m的取值范圍是________.
[因為函數f(x)在定義域[2-a,3]上是偶函數,所以2-a+3=0,所以a=5.所以f>f,即f(-m2-1)>f(-m2+2m-2),所以偶函數f(x)在[-3,0]上單調遞增,而-m2-1<0,-m2+2m-2=-(m-1)2-1<0,所以由f(-m2-1)>f(-m2+2m-2)得,解得1-≤m≤.]
2.設f(x)是定義在R上且周期為2的函數,在區(qū)間[-1,1]上,f(x 23、)=其中a,b∈R.若f=f,則a+3b的值為________.
-10 [因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數,
所以f=f,
且f(-1)=f(1),故f=f,
從而=-a+1,
即3a+2b=-2. ①
由f(-1)=f(1),得-a+1=,
即b=-2a. ②
由①②得a=2,b=-4,從而a+3b=-10.]
3.已知函數f(x)=是奇函數,
(1)求實數m的值;
(2)若函數f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調遞增,求實數a的取值范圍.
[解] (1)設x<0,則-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x 24、)=-x2-2x.
又f(x)為奇函數,
所以f(-x)=-f(x),
于是x<0時,
f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以m=2.
(2)由(1)知f(x)在[-1,1]上是增函數,
要使f(x)在[-1,a-2]上單調遞增.
結合f(x)的圖象(略)知
所以1<a≤3,
故實數a的取值范圍是(1,3].
4.(2017·南京模擬)已知f(x)是偶函數,定義x≥0時,f(x)=
(1)求f(-2);
(2)當x<-3時,求f(x)的解析式;
(3)設函數f(x)在區(qū)間[-5,5]上的最大值為g(a),試求g(a)的表達式.
[解] (1)由題意,得f(-2) 25、=f(2)=2×(3-2)=2.
(2)當x<-3時,-x>3,所以f(x)=f(-x)=(-x-3)(a+x)=-(x+3)(a+x),所以當x<-3時,f(x)的解析式為f(x)=-(x+3)(a+x).
(3)因為f(x)是偶函數,所以它在區(qū)間[-5,5]上的最大值即為它在區(qū)間[0,5]上的最大值.
當x≥0時,
f(x)=
①當a≤3時,f(x)在上單調遞增,在上單調遞減,所以g(a)=f=.
②當3
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