高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第2章 第6課 函數(shù)的奇偶性與周期性

第6課 函數(shù)的奇偶性與周期性 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 函數(shù)的奇偶性 √ 函數(shù)的周期性 √ 1．函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點(diǎn) 偶函數(shù) 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫作偶函數(shù) 關(guān)于y軸對(duì)稱 奇函數(shù) 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫作奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 2.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)．(　　) (2)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(　　) (3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱．(　　) (4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是________． 　[依題意b＝0，且2a＝－(a－1)， ∴b＝0且a＝，則a＋b＝.] 3．(教材改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x(1＋x)，則x＜0時(shí)，f(x)＝________. x(1－x)　[當(dāng)x＜0時(shí)，則－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)．] 4．下列函數(shù)中，①y＝；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝ex－e－x為奇函數(shù)的是________．(填函數(shù)序號(hào)) ④　[①中函數(shù)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，其不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①不是奇函數(shù)，②③是偶函數(shù)，④是奇函數(shù)．] 5．(2016·江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，則f(5a)的值是________． －　[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為2，結(jié)合在[－1,1)上f(x)的解析式，得f＝f＝f＝－＋a， f＝f＝f＝＝. 由f＝f，得－＋a＝，解得a＝. 所以f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋＝－.] 函數(shù)奇偶性的判斷 　判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝x3－2x； (2)f(x)＝(x＋1)； (3)f(x)＝ [解]　(1)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 又f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)． ∴該函數(shù)為奇函數(shù)． (2)由≥0可得函數(shù)的定義域?yàn)?－1,1]． ∵函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∴函數(shù)為非奇非偶函數(shù)． (3)易知函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2＋x， 則當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0， 故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0， 故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)． [規(guī)律方法]　1.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟： 2．判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(－x)與f(x)的關(guān)系，只有對(duì)各段上的x都滿足相同的關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性；也可以利用函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷． [變式訓(xùn)練1]　(1)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是________．(填序號(hào)) ①f(x)g(x)是偶函數(shù)； ②|f(x)|g(x)是奇函數(shù)； ③f(x)|g(x)|是奇函數(shù)； ④|f(x)g(x)|是奇函數(shù)． (2)判斷函數(shù)f(x)＝＋的奇偶性． (1)③　[①：令h(x)＝f(x)·g(x)，則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(huán)(x)， ∴h(x)是奇函數(shù)，①錯(cuò)． ②：令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)， ∴h(x)是偶函數(shù)，②錯(cuò)． ③：令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，③正確． ④：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，則h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)， ∴h(x)是偶函數(shù)，④錯(cuò)．] (2)由得x2＝3，∴x＝±， 即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－，}， 從而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 　(1)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172030】 (2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則f(x)＝________. (1)1　(2)　[(1)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立， ∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴l(xiāng)n a＝0，即a＝1. (2)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0. 又當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)， 即f(x)＝－x2－4x(x＜0)， ∴f(x)＝] [規(guī)律方法]　1.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，一般采用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值； 2．已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出關(guān)于f(x)的方程(組)，從而可得f(x)的值或解析式． [變式訓(xùn)練2]　(2017·南通一模)若函數(shù)f(x)＝(a>0，b>0)為奇函數(shù)，則f(a＋b)的值為________． －1　[∵f(x)為奇函數(shù)， ∴即解得a＝－1，b＝2. ∴f(a＋b)＝f(1)＝1－b＝－1.] 函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 　設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172031】 1 009　[∵f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期T＝2. 又當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1. ∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＝1， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.] [遷移探究1]　若將本例中“f(x＋2)＝f(x)”改為“f(x＋1)＝－f(x)”，則結(jié)論如何？ [解]　∵f(x＋1)＝－f(x)， ∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)． 故函數(shù)f(x)的周期為2. 由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009. [遷移探究2]　若將本例中“f(x＋2)＝f(x)”改為“f(x＋1)＝”，則結(jié)論如何？ [解]　∵f(x＋1)＝， ∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝f(x)． 故函數(shù)f(x)的周期為2. 由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009. [規(guī)律方法]　1.判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)． 2．函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a， (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a， (3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a＞0)． [變式訓(xùn)練3]　(2017·南通第一次學(xué)情檢測(cè))已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，且x∈(0,2)時(shí)f(x)＝x2＋1，則f(7)的值為________． －2　[∵由f(x＋4)＝f(x)可知f(x)的周期T＝4， ∴f(7)＝f(7－4×2)＝f(－1)． 又f(x)為奇函數(shù)，故f(－1)＝－f(1)． 又f(x)＝x2＋1，x∈(0,2)，故f(1)＝2. ∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.] [思想與方法] 1．函數(shù)奇偶性的三個(gè)常用性質(zhì) (1)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0. (2)若f(x)為偶函數(shù)，則f(|x|)＝f(x)． (3)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題 (1)求函數(shù)值；(2)求解析式；(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；(4)畫函數(shù)圖象，確定函數(shù)單調(diào)性． 3．在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用． [易錯(cuò)與防范] 1．判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)首先判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件． 2．f(0)＝0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件．應(yīng)用時(shí)要注意函數(shù)的定義域并進(jìn)行檢驗(yàn)． 3．判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，要以整體的觀點(diǎn)進(jìn)行判斷，不能用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性． 課時(shí)分層訓(xùn)練(六) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、填空題 1．在函數(shù)y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是________． 2　[y＝xcos x是奇函數(shù)，y＝lg和y＝xsin x是偶函數(shù)，y＝ex＋x2是非奇非偶函數(shù)．] 2．函數(shù)y＝log2的圖象關(guān)于________對(duì)稱．(填序號(hào)) ①原點(diǎn)；②y軸；③y＝－x；④y＝x. ①　[由＞0得－1＜x＜1， 即函數(shù)定義域?yàn)?－1,1)， 又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)， ∴函數(shù)y＝log2為奇函數(shù)．] 3．(2016·蘇州期中)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x－x2，則f(－1)＋f(0)＋f(3)＝________. －2　[∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0. 又x>0時(shí)，f(x)＝2x－x2， ∴f(－1)＋f(0)＋f(3)＝－f(1)＋0＋f(3)＝－2＋1＋0＋8－9＝－2.] 4．已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝2x2，則f(2 019)＝________. －2　[∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， ∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2， 即f(2 019)＝－2.] 5．函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f(x)＝＋1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172032】 －－1　[∵f(x)為奇函數(shù)，x＞0時(shí)，f(x)＝＋1， ∴當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0， f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)， 即x＜0時(shí)，f(x)＝－(＋1)＝－－1.] 6．(2017·安徽蚌埠二模)函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172033】 －2　[由題意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)為偶函數(shù)， ∴a＝－2.] 7．(2016·山東高考改編)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x>時(shí)，f＝f，則f(6)＝________. 2　[由題意知當(dāng)x>時(shí)，f＝f， 則當(dāng)x>0時(shí)，f(x＋1)＝f(x)． 又當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)， ∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)． 又當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x3－1， ∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.] 8．(2016·四川高考)若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)＝4x，則f＋f(2)＝________. －2　[∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)，∴f＝f＝－f＝－4＝－2，f(2)＝f(0)＝0，∴f＋f(2)＝－2＋0＝－2.] 9．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172034】 (－2,1)　[∵f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(x)為R上的奇函數(shù)，故f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增． ∴f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)． 又f(2－a2)>f(a)可知2－a2>a，解得－2<a<1.] 10．(2017·泰州中學(xué)高三摸底考試)函數(shù)y＝1－(x∈R)的最大值與最小值之和為________． 2　[因?yàn)閥＝為奇函數(shù)，其最大值與最小值之和為0，因此函數(shù)y＝1－(x∈R)的最大值與最小值之和為2.] 二、解答題 11．若f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝，求f(x)的表達(dá)式． [解]　在f(x)＋g(x)＝中用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝， 又f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)， 所以－f(x)＋g(x)＝， 聯(lián)立方程 兩式相減得f(x)＝＝. 12．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＝. (1)求f(1)和f(－1)的值； (2)求f(x)在[－1,1]上的解析式. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172035】 [解]　(1)∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)， ∴f(1)＝f(2－1)＝f(－1)＝－f(1)， ∴f(1)＝0，f(－1)＝0. (2)由題意知，f(0)＝0.當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，－x∈(0,1)． 由f(x)是奇函數(shù)， ∴f(x)＝－f(－x)＝－＝－， 綜上，在[－1,1]上，f(x)＝ B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．(2017·啟東中學(xué)高三第一次月考)已知函數(shù)f(x)在定義域[2－a,3]上是偶函數(shù)，在[0,3]上單調(diào)遞減，并且f>f(－m2＋2m－2)，則m的取值范圍是________． 　[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在定義域[2－a,3]上是偶函數(shù)，所以2－a＋3＝0，所以a＝5.所以f>f，即f(－m2－1)>f(－m2＋2m－2)，所以偶函數(shù)f(x)在[－3,0]上單調(diào)遞增，而－m2－1<0，－m2＋2m－2＝－(m－1)2－1<0，所以由f(－m2－1)>f(－m2＋2m－2)得，解得1－≤m≤.] 2．設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，則a＋3b的值為________． －10　[因?yàn)閒(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)， 所以f＝f， 且f(－1)＝f(1)，故f＝f， 從而＝－a＋1， 即3a＋2b＝－2. ① 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝， 即b＝－2a. ② 由①②得a＝2，b＝－4，從而a＋3b＝－10.] 3．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)， (1)求實(shí)數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)設(shè)x＜0，則－x＞0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數(shù)， 所以f(－x)＝－f(x)， 于是x＜0時(shí)， f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函數(shù)， 要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增． 結(jié)合f(x)的圖象(略)知 所以1＜a≤3， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3]． 4．(2017·南京模擬)已知f(x)是偶函數(shù)，定義x≥0時(shí)，f(x)＝ (1)求f(－2)； (2)當(dāng)x<－3時(shí)，求f(x)的解析式； (3)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5,5]上的最大值為g(a)，試求g(a)的表達(dá)式． [解]　(1)由題意，得f(－2)＝f(2)＝2×(3－2)＝2. (2)當(dāng)x<－3時(shí)，－x>3，所以f(x)＝f(－x)＝(－x－3)(a＋x)＝－(x＋3)(a＋x)，所以當(dāng)x<－3時(shí)，f(x)的解析式為f(x)＝－(x＋3)(a＋x)． (3)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以它在區(qū)間[－5,5]上的最大值即為它在區(qū)間[0,5]上的最大值． 當(dāng)x≥0時(shí)， f(x)＝ ①當(dāng)a≤3時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以g(a)＝f＝. ②當(dāng)3<a<7時(shí) ，f(x)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以此時(shí)只需比較f＝與f＝的大小． (ⅰ)當(dāng)3<a≤6時(shí)，≥，所以g(a)＝f＝； (ⅱ)當(dāng)6<a<7時(shí)，<， 所以g(a)＝f＝. ③當(dāng)a≥7時(shí)，f(x)在，[3,5]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且f＝<f(5)＝2(a－5)，所以g(a)＝f(5)＝2(a－5)． 綜上所述，g(a)＝