高中數(shù)學(xué)必修4教案：4_備課資料（2_2_3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義）

備課資料 一、向量的數(shù)乘運(yùn)算律的證明 設(shè)a、b為任意向量,λ、μ為任意實(shí)數(shù),則有 (1)λ(μa)=(λμ)a; ① (2)(λ+μ)a=λa+μa; ② (3)λ(a+b)=λa+λb. ③ 證明：(1)如果λ=0或μ=0或a=0,則①式顯然成立. 如果λ≠0,μ≠0,且a≠0,則根據(jù)向量數(shù)乘的定義,有 |λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|, |(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|. 所以|λ(μa)|=|(λμ)a|. 如果λ、μ同號(hào),則①式兩邊向量的方向都與a同向;如果λ、μ異號(hào),則①式兩邊向量的方向都與a反向. 因此,向量λ(μa)與(λμ)a有相等的模和相同的方向,所以這兩個(gè)向量相等. (2)如果λ=0或μ=0或a=0,則②顯然成立. 如果λ≠0,μ≠0且a≠0,可分如下兩種情況: 當(dāng)λ、μ同號(hào)時(shí),則λa和μa同向,所以 |(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|, |λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|, 即有|(λ+μ)a|=|λa+μa|. 由λ、μ同號(hào),知②式兩邊向量的方向或都與a同向,或都與a反向,即②式兩邊向量的方向相同. 綜上所述,②式成立. 如果λ、μ異號(hào),當(dāng)λ>μ時(shí),②式兩邊向量的方向都與λa的方向相同;當(dāng)λ<μ時(shí),②式兩邊向量的方向都與μa的方向相同. 還可證|(λ+μ)a|=|λa+μa|.因此②式也成立. (3)當(dāng)a=0,b=0中至少有一個(gè)成立,或λ=0,λ=1時(shí),③式顯然成立. 圖13 當(dāng)a≠0,b≠0且λ≠0,λ≠1時(shí), 可分如下兩種情況: 當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí)如圖13,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O作=a,=b,=λa,=λb,則=a+b,=λa+λb. 由作法知∥,有∠OAB=∠OA1B1,||=λ||. 所以|==λ.所以△AOB∽△A1OB1. 所以=λ,∠AOB=∠A1OB1. 圖14 因此O、B、B1在同一條直線上,||=|λ|,與λ的方向也相同. 所以λ(a+b)=λa+λb. 當(dāng)λ<0時(shí),由圖14可類似證明λ(a+b)=λa+λb. 所以③式也成立. 二、備用習(xí)題 1.[(2a+8b)-(4a-2b)]等于（ ） A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b 2.設(shè)兩非零向量e1、e2不共線,且ke1+e2與e1+ke2共線,則k的值為（ ） A.1 B.-1 C.±1 D.0 3.若向量方2x-3(x-2a)=0,則向量x等于（ ） A.a B.-6a C.6a D.a 4.在△ABC=,EF∥BC,EF交AC于F,設(shè)=a,=b,則用a、b表示的形式是=_________. 5.在△ABC,M、N、P分別是AB、BC、CA邊上的靠近A、B、C的三等分點(diǎn),O是△ABC平面上的任意一點(diǎn),若+=e1-e2,則=________. 6.已知△ABC的重心為G,O為坐標(biāo)原點(diǎn),=a,=b,=c, 求證:=(a+b+c). 7.對(duì)判斷向量a=-2e與b=2e是否共線?有如下解法: 解:∵a=-2e,b=-2e,∴b=-a.∴a與b共線.請(qǐng)根據(jù)本節(jié)所學(xué)的共線知識(shí)給以評(píng)析.如果解法有誤,請(qǐng)給出正確解法. 參考答案: 1.B 2.C 3.C 4.-a+b 5. e1-e2. 6.連接AG并延長(zhǎng),設(shè)AG交于M. ∵=b-a,=c-a,=c-b, ∴=+=(b-a)+(c-b)=(c+b-2a). ∴==(c+b-2a). ∴=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c). 7.評(píng)析:乍看上述解答,真是簡(jiǎn)單明快.然而,仔細(xì)研究題目已知,卻發(fā)現(xiàn)其解答存在問(wèn)題,這是因?yàn)?原題已知中,對(duì)向量e并無(wú)任何限制,那么就應(yīng)允許e=0,而當(dāng)e=0時(shí),顯然,a=0,b=0,此時(shí),a不符合定理中的條件,且使b=λa成立的λ值也不唯一(如λ=-1,λ=1,λ=2等均可使b=λa成立),故不能應(yīng)用定理來(lái)判斷它們是否共線.可見(jiàn),對(duì)e=0的情況應(yīng)另法判斷才妥. 綜上分析,此題應(yīng)解答如下: 解:(1)當(dāng)e=0時(shí),則a=-2e=0. 由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”,所以此時(shí)a與b共線. (2)當(dāng)e≠0時(shí),則a=-2e≠0,b=2e≠0, ∴b=-a〔這時(shí)滿足定理中的a≠0,及有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ(λ=-1),使得b=λa成立〕. ∴a與b共線. 綜合(1)(2),可知a與b共線. (設(shè)計(jì)者：沈獻(xiàn)宏)