全國(guó)百?gòu)?qiáng)校上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)實(shí)驗(yàn)班用高三數(shù)學(xué)習(xí)題詳解第十九章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第十九章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 19.1 函數(shù)的極限 基礎(chǔ)練習(xí) 1．判斷下列函數(shù)的極限是否存在，并說(shuō)明理由： （1）． （2）．（3）． 解：（1） （3）（理由說(shuō)明略）． 2．根據(jù)函數(shù)極限的定義，求下列函數(shù)的極限： （1）． （2）． 解：（1）．（2）． 3．求下列函數(shù)的極限： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． （7）． （8）． 解：． （2）不存在． （3）． （4）． （5）． （6）． （7）． （8）． 能力提高 4．設(shè)正數(shù)滿(mǎn)足，求． 解： ． 5．把展開(kāi)成關(guān)于的多項(xiàng)式，其各項(xiàng)系數(shù)和為，求． 解：令，得到各項(xiàng)系數(shù)和：． 則． 6．若，求的值． 解：， ． 則，，得出，． 7．設(shè)為多項(xiàng)式，且，求的表達(dá)式． 解：，， ，則的表達(dá)式為． 8．已知函數(shù)，試確定常數(shù)，使存在． 解：，則． 9．設(shè)函數(shù)，當(dāng)取什么值時(shí)，存在？ 解：，當(dāng)時(shí)，存在． 19.2 兩個(gè)重要極限 1．求下列函數(shù)的極限： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1）． （2）． （3） ． （4）． 2．證明． 證明：， 3．證明． 證明：令，則，當(dāng)時(shí)，，． 19.3 函數(shù)的連續(xù)性 1．試判斷下列函數(shù)在給定點(diǎn)處是連續(xù)？并說(shuō)明理由． （1），在處． （2），在處； （3），點(diǎn)． 解：（1）左、右極限都存在，，，但不相等，在處不連續(xù)． （2）左極限都存在，右極限不存在，在處不連續(xù)． （3），，所以函數(shù)在處不連續(xù)． 2．求下列函數(shù)的極限： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1）． （2）． （3）， ，則． （4）， 則． 3．求函數(shù)在處的極限： （1）． （2）． （3）， （4）． （5）． （6）． 解：（1），則極限為． （2）極限為． （3）極限為． （4）極限為． （5）極限為． （6）不存在，則極限不存在． 4．求下列函數(shù)的極限： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． （5）， 則． （6） ． 能力提高 5．求的值． 解：， ， ． 6．研究函數(shù)的連續(xù)性． 解：當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，，則， 由于，，則不存在； 又，則不存在． 則在處不連續(xù)，在定義域內(nèi)的其余點(diǎn)都連續(xù)，即在區(qū)間、（-1，1）和（1，）上分別連續(xù)． 7．討論上黎曼函數(shù)的連續(xù)性． 證明：設(shè)為無(wú)理數(shù)，任給（不妨設(shè)）， 滿(mǎn)足正數(shù)顯然只有有限個(gè)（但至少有一個(gè)，如）， 從而使的有理數(shù)只有有限個(gè)（至少有一個(gè)，如），設(shè)為，取 ，（顯然） 則對(duì)任何，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)有，當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)． 于是，對(duì)任何，總有， 這就證明了在無(wú)理點(diǎn)處連續(xù)． 現(xiàn)設(shè)為（0，1）內(nèi)任一有理數(shù)，取，對(duì)任何正數(shù)（無(wú)論多少?。?， 在內(nèi)總可取無(wú)理數(shù)，使得， 所以在任何有理點(diǎn)處都不連續(xù)． 19.4 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算 1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1）．（2）．（3）．（4）． 2．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1），（2）． （3），（4）． 3．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． 能力提高 4．如圖19-5，函數(shù)的圖像是折線段，其中的坐標(biāo)分別為（0，4），（2，0），（6，4），則__________；函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)__________． 解：，． 5．若，求． 解：． 6．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 7．已知函數(shù)是可導(dǎo)的周期函數(shù)，試救證其導(dǎo)函數(shù)也為周期函數(shù)． 證明：． 8．若可導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，求證：其導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)． 證明：函數(shù)是奇函數(shù)，所以， 所以導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，顯然得證． 19.5 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 基礎(chǔ)練習(xí) 1．（1）曲線在點(diǎn)（1，-1）處的切線方程為_(kāi)_________． （2）過(guò)曲線上點(diǎn)且與過(guò)點(diǎn)的切線夾角最大的直線的方程為_(kāi)_________． （3）曲線在點(diǎn)處切線的斜率為_(kāi)_________． （4）函數(shù)的曲線上點(diǎn)處的切線與直線的夾角為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________． （5）曲線與在交點(diǎn)處的切線夾角是__________． 解：（1），則切線方程為． （2），則夾角最大為，所以過(guò)曲線上點(diǎn)且與過(guò)點(diǎn)的切線夾角最大的直線的斜率為，則直線方程為：． （3）． （4）設(shè)切線的斜率為，，，， 因?yàn)?，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或． （5）． ，． 則夾角是． 2．（1）設(shè)函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)為點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．若函數(shù)在處取得極值0，試確定函數(shù)的解析式． （2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則求函數(shù)的上的最小值． （3）求曲線的極值點(diǎn)． 解：（1）令，則， 則， ， 解得：， 則函數(shù)的解析式為． （2）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上的最小值為． （3），因此在時(shí)有極小值． 3．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1），單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為． （2），單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞減區(qū)間為． （3），單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． （4），單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． 4．求下列函數(shù)的極值或最值： （1）． （2），． （3）． （4）． 解：（1），單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，3）， 當(dāng)時(shí)取到極大值，當(dāng)時(shí)取到極小值． （2），單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為， 當(dāng)時(shí)取到極大值，當(dāng)時(shí)取到極小值． 當(dāng)時(shí)取到最小值，當(dāng)時(shí)取到最大值； （3），單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為， 當(dāng)時(shí)取到極小值． （4），單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為， 當(dāng)時(shí)取到極小值． 5．當(dāng)時(shí)，證明下列不等式成立： （1）． （2）． 證明：（1）令，， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則， 則，顯然得證． （2）令，， ,,， 則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以， 則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以， 則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以， 則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以， 即得證． 6．設(shè)（為自然對(duì)數(shù)的底，為常數(shù)且，），則何時(shí)取得極小值？ 解：， 當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得極小值；當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得極小值． 7．求拋物線上與點(diǎn)距離最近的點(diǎn)． 解：任取拋物線上一點(diǎn)，則． ，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增， 則拋物線上與點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是（2，2）． 能力提高 8．已知函數(shù)在處取得極值． （1）討論和是函數(shù)的極大值還是極小值． （2）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程． 解：（1）函數(shù)在處取得極值的解為，則， 則是極大值，是極小值． （2）設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為． 過(guò)點(diǎn)，則， 則切點(diǎn)為，則切線方程為． 9．設(shè)函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線．（1）求的值．（2）若函數(shù)，討論的單調(diào)性． 解：（1）因，故； 又在處取得極限值，故，從而． 由曲線在處的切線與直線相互垂直可知： 該切線斜率為2，即，有，從而． （2）由（1）知，，． 令，有． ①當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故函數(shù)在上為增函數(shù)． ②當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，， 時(shí)，在上為增函數(shù)． ③，即當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)根， ，． 當(dāng)是，故在上為增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)， 10．已知函數(shù)，且．（1）試用含的代數(shù)式表示．（2）求的單調(diào)區(qū)間．（3）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，，證明：線段與曲線存在異于的公共點(diǎn)． 解：（1）依題意，得，由得． （2）由（1）得， 故， 令，則或． ①當(dāng)時(shí)， 當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表： + - + 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為． ②由時(shí)，，此時(shí)，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為． ③當(dāng)時(shí)，，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為． 綜上： 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為． （3）當(dāng)時(shí)，得，由，得，． 由（2）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為（-1，3）， 所以函數(shù)在，處取得極值． 故，．所以直線的方程為． 由，得． 令， 易得，，而的圖像在（0，2）內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線， 故在（0，2）內(nèi)存在零點(diǎn)，這表明線段與曲線有異于，的公共點(diǎn)． 11．設(shè)定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極大值，并且函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)． （1）求的表達(dá)式． （2）試在函數(shù)的圖像上求兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間[-1，1]上． （3）求證：． 解：（1）由于為偶函數(shù)，則， 則， 則對(duì)一切恒成立， 則，則， 又當(dāng)時(shí)，取得極大值， 則，解得，則，． （2）設(shè)所求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，則， 又由于，，則，， 則，中有一個(gè)為，一個(gè)為-1， 則或，則所求的兩點(diǎn)為（0，0）與或（0，0）與． （3）證明：易知，． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 則在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， 又，，，而在上為奇函數(shù)， 則在上最大值為，最小值為，即， 則，， 則． 12．已知函數(shù)， （1）若，試求函數(shù)的值域． （2）若，，求證：． （3）若，，，猜想與的大小關(guān)系（不必寫(xiě)出比較過(guò)程）． 解：（1）當(dāng)時(shí)，，則為增函數(shù)． 又在區(qū)間上連續(xù)，所以，求得，即的值域?yàn)椋? （2）設(shè)． 即，， 由于，，則，由，得， 則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)． 由于在區(qū)間上連續(xù)，則為的最小值 對(duì)有，因而． （3）在題設(shè)條件下，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，， 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．