高中數(shù)學(xué) 橢圓的幾何性質(zhì)課件 蘇教版選修21

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1、1橢圓的定義:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和(2A)大于定長(2C)的點(diǎn)的軌跡.(2A2C)2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程)0(1)1 (2222babyax)0(1)2(2222baaybxn)m0,n0,(m122nymx通過研究 曲線的方程,可以知道曲線的性質(zhì).下面我們就以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例研究橢圓的幾何性質(zhì).)0( 12222babyax問題1: 你能找出上述方程中x、y的取值范圍嗎?由上式知122ax122by所以 22ax 22by 探索新知一、橢圓的范圍一、橢圓的范圍 oxy由由12222byax即即byax和說明：橢圓位于直線說明：橢圓位于直線X=a和和y=b所圍成所圍成的矩形之中。的矩形之中。1

2、12222byax和 問題2 以-x代換x,以-y代換y,方程改變嗎?同時(shí)以-x代換x,以-y代換y,方程改變嗎?問題3 若點(diǎn)P(x,y)在橢圓上,點(diǎn)(-x,y)與橢圓有什么關(guān)系? 點(diǎn)(x,-y)與橢圓有什么關(guān)系?點(diǎn)(-x,-y)與橢圓又有什么關(guān)系?問題4 這說明橢圓具備什么性質(zhì)呢? ?想一想? ?二、對(duì)稱性二、對(duì)稱性橢圓是軸對(duì)稱圖象，也是中心對(duì)稱圖形。X軸和Y軸是它的對(duì)稱軸，坐標(biāo)原點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。結(jié)論結(jié)論 通過上面的分析,我們得到判斷曲線是否對(duì)稱的方法:以-x代換x,若方程不變,則曲線關(guān)于y軸對(duì)稱;若以-y代換y,方程不變,曲線關(guān)于x軸對(duì)稱;同時(shí)以-x代換x,以-y代換y,方程不變,則方程

3、關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱. 在下列方程所表示的曲線中,關(guān)于X軸和Y軸都對(duì)稱的是( ) A.x2=4y B.x2+2xy+y=0 C.x2-4y2=5x D.9x2+y2=4看一看D三、頂點(diǎn)三、頂點(diǎn)如圖,設(shè)橢圓的方程為 同學(xué)們計(jì)算一下橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).答案:A1(-a,0) A2(a,0) B1(0,-b)B2(0,b)線段A1A2叫做橢圓的長軸線段B1B2叫做橢圓的短軸22221(0)xyabab在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)叫橢圓的頂點(diǎn)A1A2B2B1XyOA1A2B2B1F2F1OXyB2F2 =aOF2 =COB2 =b 直角三角形OB2F2,它反應(yīng)了橢圓三個(gè)基本量之間的關(guān)系,所以

4、叫做橢圓的特征三角形. 同學(xué)們看下面這些橢圓,它們的 扁圓程度不同,我們能否找一個(gè)量來描述它們呢? 問題四、橢圓的離心率 oxyace 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。1離心率的取值范圍：因?yàn)?a c 0，所以1 e 02離心率對(duì)橢圓形狀的影響：1）e 越接近 1，c 就越接近 a，從而 b就越小，橢圓就越扁2）e 越接近 0，c 就越接近 0，從而 b就越大，橢圓就越圓3）特例：e =0，則 a = b，則 c=0，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓 方程變?yōu)閳Aace 叫做橢圓的離心率.所以：e的取值范圍: 0e c 0，ca橢圓更扁ca橢圓更圓橢圓方程橢圓

5、方程范圍范圍對(duì)稱性對(duì)稱性頂點(diǎn)頂點(diǎn)離心率離心率)(012222 babyax)(012222 baaybx -aax-bby-aaxb-by對(duì)稱軸對(duì)稱軸 x 軸軸 y軸軸對(duì)稱中心對(duì)稱中心 坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱軸 x 軸軸 y軸軸對(duì)稱中心對(duì)稱中心 坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)(a,0) (0,b)(0,a) (b,0)ace 0e1 ()橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)小結(jié)：基本元素小結(jié)：基本元素 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A21基本量：a、b、c、e、（共四個(gè)量）2基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心（共七個(gè)點(diǎn)）3基本線：對(duì)稱軸（共兩條線）請(qǐng)考慮：基本量之間、基本點(diǎn)之間、基本線之間以及它們相互之間的關(guān)系

6、（位置、數(shù)量之間的關(guān)系）例題1求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo),并畫出它的圖形.解:把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程1162522 yx所以a=5 ,b=4c=31625 所以,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(3,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,0)(5,0)(0,4)(0,-4)2a=10,2b=8注意注意:強(qiáng)調(diào)長軸=2a短軸=2bXYO例2 求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)經(jīng)過點(diǎn)(-3,0)、(0,-2); (2)長軸的長等于20,離心率等于0.6解: (1)由橢圓的幾何性質(zhì)可知,以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn),所以這兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn),a=3,b=2

7、14922yx又因?yàn)殚L軸在x軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)由已知,2a=20,e=0.6 a=10,c=6b=8因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)可能在x軸上,也可能在y軸上,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:16410022yx11006422yx或練:求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）長軸是短軸的3倍，經(jīng)過點(diǎn)P（3，0）（2）過點(diǎn)（2，0）、（1， ）（3）與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離心率為23355例3 如圖,我國發(fā)射的第一顆人造衛(wèi)星的軌道,是以地心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.已知它的近地點(diǎn)A距地面439km,遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面2384km,并且F2,A,B在同一條直線上,地球半徑為6371km,求人造衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程(精確到1km).解:如圖,建立直角坐標(biāo)系,使A,B,F2在x軸上,F2為橢圓的右焦點(diǎn)(F1為左焦點(diǎn)). F F1 1A AB B.F F2 2我們來總結(jié)一下橢橢圓圓的的幾幾何何性性質(zhì)質(zhì)1 范圍范圍2 對(duì)稱性對(duì)稱性3 頂點(diǎn)頂點(diǎn)4 離心率離心率一、一、二、二、 性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用三、曲線對(duì)稱性的判定方法三、曲線對(duì)稱性的判定方法歸納小結(jié) 祖沖之 華羅庚 蘇步青