（課標(biāo)通用）2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 11.6 幾何概型學(xué)案 理

§11.6　幾何概型 考綱展示?　 1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計概率． 2．了解幾何概型的意義． 考點(diǎn)1　與長度(角度)有關(guān)的幾何概型 1.幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型． 2．幾何概型的兩個基本特點(diǎn) (1)無限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果________； (2)等可能性：每個試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有________． 答案：(1)有無限多個　(2)等可能性 3．幾何概型的概率計算公式 P(A)＝. [提醒]　求解幾何概型問題注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． [教材習(xí)題改編]在區(qū)間[－3,5]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則x∈[1,3]的概率為__________． 答案： 解析：記“x∈[1,3]”為事件A，則由幾何概型的概率計算公式可得P(A)＝＝. 幾何概型的特點(diǎn)：等可能性；無限性． 給出下列概率模型： ①在區(qū)間[－5,5]上任取一個數(shù)，求取到1的概率； ②在區(qū)間[－5,5]上任取一個數(shù)，求取到絕對值不大于1的數(shù)的概率； ③在區(qū)間[－5,5]上任取一個整數(shù)，求取到大于1的數(shù)的概率； ④向一個邊長為5 cm的正方形ABCD內(nèi)投一點(diǎn)P，求點(diǎn)P與正方形ABCD的中心的距離不超過1 cm的概率． 其中，是幾何概型的有__________．(填序號) 答案：①②④ 解析：①在區(qū)間[－5,5]內(nèi)有無限多個數(shù)，取到1這個數(shù)的概率為0，故是幾何概型； ②在區(qū)間[－5,5]和[－1,1]內(nèi)有無限多個數(shù)(無限性)，且在這兩個區(qū)間內(nèi)每個數(shù)被取到的可能性都相同(等可能性)，故是幾何概型； ③在區(qū)間[－5,5]內(nèi)的整數(shù)只有11個，不滿足無限性，故不是幾何概型； ④在邊長為5 cm的正方形和半徑為1 cm的圓內(nèi)均有無數(shù)多個點(diǎn)(無限性)，且點(diǎn)P落在這兩個區(qū)域內(nèi)的任何位置的可能性都相同(等可能性)，故是幾何概型． [典題1]　(1)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個數(shù)x，則事件“－1≤log ≤1”發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　不等式－1≤logx＋≤1可化為log2≤log≤log ，即≤x＋≤2，解得0≤x≤， 故由幾何概型的概率公式，得P＝＝. (2)[2017·河北衡水一模]在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形的面積大于20 cm2的概率為(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　設(shè)|AC|＝x，則|BC|＝12－x， 所以x(12－x)>20，解得2<x<10， 故所求概率P＝＝. (3)如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________． [答案]　 [解析]　如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的， 所以O(shè)A落在∠yOT內(nèi)的概率為＝. [點(diǎn)石成金]　1.與長度有關(guān)的幾何概型 如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，可直接用概率的計算公式求解． 2．與角度有關(guān)的幾何概型 當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段． 考點(diǎn)2　與體積有關(guān)的幾何概型 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [典題2]　[2017·山東濟(jì)南一模]如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，有一動點(diǎn)在此長方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動，則此動點(diǎn)在三棱錐A－A1BD內(nèi)的概率為________． [答案]　 [解析]　設(shè)事件M＝“動點(diǎn)在三棱錐A－A1BD內(nèi)”， P(M)＝＝ ＝＝＝. [點(diǎn)石成金]　與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點(diǎn) 對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求. 1.在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________． 答案：1－ 解析：正方體的體積為2×2×2＝8， 以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為 ×πr3＝×π×13＝π， 則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為1－＝1－. 2．[2017·黑龍江五校聯(lián)考]在體積為V的三棱錐S－ABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，則三棱錐S－APC的體積大于的概率是________． 答案： 解析：由題意可知，>， 三棱錐S－ABC的高與三棱錐S－APC的高相同． 作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N， 則PM，BN分別為△APC與△ABC的高， 所以＝＝>， 又＝，所以>， 故所求的概率為(即為長度之比)． 考點(diǎn)3　與面積有關(guān)的幾何概型 　(1)[教材習(xí)題改編] 如圖所示，圓中陰影部分的圓心角為45°，某人向圓內(nèi)投鏢，假設(shè)他每次都投入圓內(nèi)，那么他投中陰影部分的概率為________． 答案： 解析：所求概率為＝. (2)[教材習(xí)題改編]如圖所示，在邊長為a的正方形內(nèi)有不規(guī)則圖形Ω，向正方形內(nèi)隨機(jī)撒豆子，若撒在圖形Ω內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為m，n，則圖形Ω面積的估計值為__________． 答案： 解析：由題意知，不規(guī)則圖形Ω的面積∶正方形的面積＝m∶n，所以不規(guī)則圖形Ω的面積＝×正方形的面積＝×a2＝. 幾何概型：構(gòu)成事件區(qū)域的長度(面積或體積)；幾何概型的概率公式． 設(shè)一直角三角形的兩條直角邊長均是區(qū)間(0,1)上的任意實(shí)數(shù)，則斜邊長小于的概率為__________． 答案： 解析： 設(shè)兩條直角邊長分別為a，b，由已知可知a2＋b2< 2，如圖所示， 所以所求概率 P＝＝. [考情聚焦]　與面積有關(guān)的幾何概型是近幾年高考的熱點(diǎn)之一． 主要有以下幾個命題角度： 角度一 與平面圖形面積有關(guān)的問題 [典題3]　(1)[2017·廣東七校聯(lián)考]如圖，已知圓的半徑為10，其內(nèi)接三角形ABC的內(nèi)角A，B分別為60°和45°，現(xiàn)向圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒豆子，則豆子落在三角形ABC內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　由正弦定理＝＝2R(R為圓的半徑)?? 那么S△ABC＝×10×10×sin 75° ＝×10×10×＝25(3＋)． 于是，豆子落在三角形ABC內(nèi)的概率為 ＝＝. (2)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　由圖形知C(1,2)，D(－2,2)， ∴S矩形ABCD＝6. 又S陰＝×3×1＝， ∴P＝＝. 角度二 與線性規(guī)劃交匯命題的問題 [典題4]　(1)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則(　　) A．p1＜p2＜ B．p2＜＜p1 C.＜p2＜p1 D．p1＜＜p2 [答案]　D [解析]　如圖， 滿足條件的x，y構(gòu)成的點(diǎn)(x，y)在正方形OBCA內(nèi)，其面積為1. 事件“x＋y≤”對應(yīng)的圖形為陰影△ODE， 其面積為××＝，故p1＝＜； 事件“xy≤”對應(yīng)的圖形為斜線表示部分，其面積顯然大于，故p2＞，則p1＜＜p2，故選D. (2)[2017·山東棗莊八中模擬]在區(qū)間[1,5]和[2,6]內(nèi)分別取一個數(shù)，記為a和b，則方程－＝1(a<b)表示離心率小于的雙曲線的概率為(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　∵e2＝1＋2<5， ∴2<4，∴<2，即a<b<2a. 作出表示的區(qū)域如圖，并作出直線b＝2a與b＝a. ∴S陰＝4×4－×3×3－×4×2＝， ∴所求概率P＝＝＝. 角度三 與定積分交匯命題的問題 [典題5]　[2015·福建卷]如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)＝x2，若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于________． [答案]　 [解析]　∵S＝(4－x2)dx＝＝，∴ 所求概率P＝＝＝. [點(diǎn)石成金]　求解與面積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點(diǎn) 求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解. [方法技巧]　判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 (1)當(dāng)題干是雙重變量問題，一般與面積有關(guān)系． (2)當(dāng)題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動，則幾何度量是面積(體積)，即一個幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域． [易錯防范]　1.準(zhǔn)確把握幾何概型的“測度”是解題的關(guān)鍵 幾何概型的概率公式中的“測度”只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法． 2．幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果． 真題演練集訓(xùn) 1．[2016·新課標(biāo)全國卷Ⅰ]某公司的班車在7：30,8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由題意畫圖， 由圖得等車時間不超過10分鐘的概率為. 2．[2016·新課標(biāo)全國卷Ⅱ]從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：設(shè)由構(gòu)成的正方形的面積為S，x＋y<1構(gòu)成的圖形的面積為S′，所以＝＝，所以π＝，故選C. 3．[2015·陜西卷]設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋ B.＋ C.－ D.－ 答案：D 解析：|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圓及其內(nèi)部，如圖所示． 當(dāng)|z|≤1時，y≥x表示的是圖中陰影部分，其面積為S＝π×12－×1×1＝. 又圓的面積為π，根據(jù)幾何概型公式，得 概率P＝＝－. 4．[2016·山東卷]在[－1,1]上隨機(jī)地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________． 答案： 解析：圓(x－5)2＋y2＝9的圓心為C(5,0)，半徑r＝3，故由直線與圓相交可得<r，即<3，整理得k2<，得－<k<. 故所求事件的概率P＝＝. 課外拓展閱讀 轉(zhuǎn)化與化歸思想在幾何概型中的應(yīng)用 [典例]　甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時即可離去．兩人能會面的概率為________． [審題視角]　(1)考慮甲、乙兩人分別到達(dá)某處的時間．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)用x軸表示甲到達(dá)約會地點(diǎn)的時間，y軸表示乙到達(dá)約會地點(diǎn)的時間，用0分到60分表示6時到7時的時間段，則橫軸0到60與縱軸0到60的正方形中任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)就表示甲、乙兩人分別在6時到7時時間段內(nèi)到達(dá)的時間．(2)兩人能會面的時間必須滿足：|x－y|≤15.這就將問題化歸為幾何概型問題． [解析]　 以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時間，則兩人能夠會面的充要條件是|x－y|≤15. 在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，(x，y)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形區(qū)域，而事件A“兩人能夠會面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示． 由幾何概型的概率公式，得 P(A)＝＝ ＝＝. 所以兩人能會面的概率是. [答案]　 方法點(diǎn)睛 本題通過設(shè)置甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時間這兩個變量x，y，將已知轉(zhuǎn)化為x，y所滿足的不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的相關(guān)約束條件，從而把時間這個長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成面積型的幾何概型問題求解．若題中涉及到三個相互獨(dú)立的變量，則需將其轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積問題加以求解． - 14 -