（課標(biāo)通用）2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 8.3 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)案 理

§8.3　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 考綱展示?　1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義． 2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理． 3．能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題． 考點1　平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 平面的基本性質(zhì) (1)公理1：如果一條直線上的________在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)． (2)公理2：過________的三點，有且只有一個平面． (3)公理3：如果兩個不重合的平面有________公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． (4)公理2的三個推論 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面； 推論2：經(jīng)過兩條________直線有且只有一個平面； 推論3：經(jīng)過兩條________直線有且只有一個平面． 答案：(1)兩點　(2)不在一條直線上　(3)一個 (4)相交　平行 (1)[教材習(xí)題改編]直線a，b，c兩兩平行，但不共面，經(jīng)過其中兩條直線的平面的個數(shù)為(　　) A．1 B．3 C．6 D．0 答案：B (2)[教材習(xí)題改編]兩兩相交的三條直線最多可確定________個平面． 答案：3 判斷點共線、線共點問題：直接法(直接運用公理或定理)． (1)如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC＝AD，BE＝FA，G，H 分別為FA，F(xiàn)D的中點． ①四邊形BCHG的形狀是________； ②點C，D，E，F(xiàn)，G中，能共面的四點是________． 答案：①平行四邊形?、贑，D，E，F(xiàn) 解析：①∵G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點， ∴GH綊AD.又BC綊AD，所以GH綊BC， 所以四邊形BCHG為平行四邊形． ②由BE＝FA，G為FA的中點知，BE＝FG， 所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF與CH共面． 又D∈FH，所以C，D，E，F(xiàn)四點共面． (2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC與BD交于點M，則點O與直線C1M的關(guān)系是________． 答案：點O在直線C1M上 解析：如圖所示，因為A1C?平面A1ACC1，O∈A1C，所以O(shè)∈平面A1ACC1，而O是平面BDC1與直線A1C的交點，所以O(shè)∈平面BDC1，所以點O在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上．因為AC∩BD＝M，所以M∈平面BDC1.又M∈平面A1ACC1，所以平面BDC1∩平面A1ACC1＝C1M，所以O(shè)∈C1M. [典題1]　(1)以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是(　　) ①不共面的四點中，其中任意三點不共線； ②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面； ③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　B [解析]　 ①顯然是正確的，可用反證法證明；②中若A，B，C三點共線，則A，B，C，D，E五點不一定共面；③構(gòu)造長方體如圖，顯然b，c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面．故只有①正確． (2)已知空間四邊形ABCD(如圖所示)， E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CG＝BC，CH＝DC. 求證：①E，F(xiàn)，G，H四點共面； ②三直線FH，EG，AC共點． [證明]?、龠B接EF，GH， ∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點， ∴EF∥BD. 又∵CG＝BC，CH＝DC， ∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E，F(xiàn)，G，H四點共面． ②易知FH與直線AC不平行，但共面， ∴設(shè)FH∩AC＝M， ∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC. 又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG， ∴FH，EG，AC共點． [點石成金]　共面、共線、共點問題的證明 (1)證明點或線共面問題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合． (2)證明點共線問題的兩種方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上． (3)證明線共點問題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點． 考點2　空間兩直線的位置關(guān)系 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 (1)[教材習(xí)題改編]已知直線a與b平行，直線c與b相交，則直線a與c的位置關(guān)系是________． 答案：相交或異面 解析：當(dāng)直線c在直線a與b確定的平面內(nèi)時，a與c相交；當(dāng)直線c與直線a，b確定的平面相交時，a與c異面． (2)[教材習(xí)題改編]如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，PQ是異面直線A1D與AQ的公垂線，則直線PQ與BD1的位置關(guān)系為________．(填序號) ①平行；②異面；③相交但不垂直；④垂直． 答案：① 解析：∵A1D∥B1C，PQ⊥A1D，∴PQ⊥B1C. 又∵PQ⊥AC，∴PQ⊥平面AB1C. ∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥BD1， 同理B1C⊥BD1，∴BD1⊥平面AB1C， ∴PQ∥BD1. 兩條直線關(guān)系判斷誤區(qū)：異面直線概念、理解不透． 下列關(guān)于異面直線的說法正確的是________． ①若a?α，b?β，則a與b是異面直線； ②若a與b異面，b與c異面，則a與c異面； ③若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面； ④若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面． 答案：④ 解析：①②③中的兩直線可能平行、相交或異面，由異面直線的定義可知④正確． [考情聚焦]　空間兩條直線位置關(guān)系的判斷是每年高考?？純?nèi)容，并且常作為某一選項來考查，其中異面直線及平行關(guān)系是考查的重點． 主要有以下幾個命題角度： 角度一 兩直線位置關(guān)系的判定 [典題2]　(1)已知a，b，c為三條不重合的直線，已知下列結(jié)論： ①若a⊥b，a⊥c，則b∥c； ②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c； ③若a∥b，b⊥c，則a⊥c. 其中正確的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　B [解析]　解法一：在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯誤，③顯然成立． 解法二：構(gòu)造長方體或正方體模型可快速判斷，①②錯誤，③正確． (2) [2017·浙江余姚模擬]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列說法錯誤的是(　　) A．MN與CC1垂直 B．MN與AC垂直 C．MN與BD平行 D．MN與A1B1平行 [答案]　D [解析]　如圖，連接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正確； ∵CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴CC1⊥BD， ∴MN與CC1垂直，故A正確； ∵AC⊥BD，MN∥BD， ∴MN與AC垂直，故B正確； ∵A1B1與BD異面，MN∥BD， ∴MN與A1B1不可能平行，故D錯誤．故選D. [點石成金]　點、線、面之間的位置關(guān)系可借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關(guān)系，準確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直． 角度二 異面直線的判定 [典題3]　(1)在下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號) ①　 　　?、? 　　 ③　　 　?、? [答案]?、冖? [解析]　圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面． (2)如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為________對． [答案]　3 [解析]　平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對． [點石成金]　異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到． 考點3　異面直線所成角 [典題4]　如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　連接BC1，易證BC1∥AD1， 則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角． 連接A1C1，由AB＝1知， AA1＝2，A1C1＝，A1B＝BC1＝， 故cos∠A1BC1＝＝. 則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為. [題點發(fā)散1]　將題干條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，若平面ABCD內(nèi)有且僅有一點到頂點A1的距離為1”，問題不變． 解：因平面ABCD內(nèi)有且僅有一點到A1的距離為1，則AA1＝1. 此時正四棱柱變?yōu)檎襟wABCD－A1B1C1D1， 由圖知A1B與AD1所成角為∠A1BC1，連接A1C1. 則△A1BC1為等邊三邊形， ∴∠A1BC1＝60°， ∴cos∠A1BC1＝， 故異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為. [題點發(fā)散2]　將題干條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，若異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為”，試求的值． 解：設(shè)＝t，則AA1＝tAB. ∵AB＝1，∴AA1＝t. ∵A1C1＝，A1B＝＝BC1， ∴cos∠A1BC1＝＝， ∴t＝3，即＝3. [題點發(fā)散3]　將題干條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，且平面ABCD內(nèi)有且僅有一點到頂點A1的距離為1”，則是否存在過頂點A的直線 l，使l與棱AB，AD，AA1所成角都相等．若存在，存在幾條？若不存在，請說明理由． 解：由條件知，此時正四棱柱為正方體． 如圖，連接對角線AC1， 顯然AC1與棱AB，AD，AA1所成角都相等，聯(lián)想正方體的其他體對角線． 如連接BD1，則BD1與棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因為BB1∥AA1，BC∥AD， 所以體對角線BD1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等． 同理體對角線A1C，DB1也與棱AB，AD，AA1所成角都相等，故過A作BD1，A1C，DB1的平行線都滿足，故這樣的直線可以作4條． [點石成金]　用平移法求異面直線所成的角的三個步驟 (1)一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角； (2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角. 已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD所成的角為60°，點M，N分別是BC，AD的中點，求直線AB和MN所成的角的大小． 解：解法一：如圖，取AC的中點P，連接PM，PN， 則PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD， 所以∠MPN(或其補角)為AB與CD所成的角． 則∠MPN＝60°或∠MPN＝120°. 若∠MPN＝60°， 因為PM∥AB， 所以∠PMN(或其補角)是AB與MN所成的角． 又因為AB＝CD，所以PM＝PN， 則△PMN是等邊三角形， 所以∠PMN＝60°， 即AB與MN所成的角為60°. 若∠MPN＝120°， 則易知△PMN是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°， 即AB與MN所成的角為30°. 綜上知，直線AB和MN所成的角為60°或30°. 解法二：由AB＝CD，可以把該三棱錐放在長方體AA1BB1－C1CD1D中進行考慮，如圖， 由M，N分別是BC，AD的中點，所以MN∥AA1， 即∠BAA1(或其補角)為AB與MN所成的角． 連接A1B1交AB于O，所以A1B1∥CD， 即∠AOA1(或其補角)為AB與CD所成的角． 所以∠AOA1＝60°或120°. 由矩形AA1BB1的性質(zhì)可得∠BAA1＝60°或30°. 所以直線AB和MN所成的角為60°或30°. [方法技巧]　1.要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面，再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)(即“納入法”)． 2．要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知這些點在交線上，因此共線． 3．判定空間兩條直線是異面直線的方法 (1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線． (2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面． 4．求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決．根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點位置無關(guān)． [易錯防范]　1.異面直線是“不同在任何一個平面內(nèi)”的直線，不要理解成“不在同一個平面內(nèi)”． 2．不共線的三點確定一個平面，一定不能丟掉“不共線”條件． 3．兩條異面直線所成角的范圍是. 4．兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角． 真題演練集訓(xùn) 1．[2016·新課標(biāo)全國卷Ⅰ]平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因為過點A的平面α與平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，則BD與A1B所成的角為所求角，所以m，n所成角的正弦值為，故選A. 2．[2015·安徽卷]已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 答案：D 解析：可以結(jié)合圖形逐項判斷． A項，α，β可能相交，故錯誤； B項，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤； C項，若m?α，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯誤； D項，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以原命題正確，故選D. 3．[2014·遼寧卷]已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面．下列說法正確的是(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，n?α，則m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α 答案：B 解析：解法一：若m∥α，n∥α，則m，n可能平行、相交或異面，A錯；若m⊥α，n?α，則m⊥n，因為直線與平面垂直時，它垂直于平面內(nèi)任一直線，B正確；若m⊥α，m⊥n，則n∥a或n?α，C錯；若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，可能平行，也可能n?α，D錯． 解法二：如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α. A項中，若m為A′B′，n為B′C′，滿足m∥α，n∥α，但m與n是相交直線，故A錯．B項中，m⊥α，n?α，∴m⊥n，這是線面垂直的性質(zhì)，故B正確．C項中，若m為AA′，n為AB，滿足m⊥α，m⊥n，但n?α，故C錯．D項中，若m為A′B′，n為B′C′，滿足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D錯． 4. [2015·浙江卷]如圖，在三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________． 答案： 解析：如圖所示，連接DN，取線段DN的中點K，連接MK，CK. ∵ M為AD的中點， ∴ MK∥AN， ∴ ∠KMC即為異面直線AN，CM所成的角． ∵ AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點， 由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2， ∴ MK＝. 在Rt△CKN中，CK＝ ＝. 在△CKM中，由余弦定理，得 cos∠KMC＝＝. 課外拓展閱讀 構(gòu)造平面研究直線相交問題 [典例1]　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條． [思路分析]　 [解析]　解法一：如圖所示，在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有一個交點N，當(dāng)M取不同的位置時就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這三條異面直線都有交點，所以在空間中與這三條直線都相交的直線有無數(shù)條． 解法二：在A1D1上任取一點P，過點P與直線EF作一個平面α，因為CD與平面α不平行，所以它們相交， 設(shè)它們交于點Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線． 由點P的任意性知，有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交． [答案]　無數(shù) 溫馨提示 1．本題難度不大，但比較靈活．對平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系的考查難度一般都不會太大． 2．注意本題解法較多，但關(guān)鍵在于構(gòu)造平面，但不少學(xué)生不會構(gòu)造平面，因此失分較多． - 16 -