【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪復(fù)習(xí)配套文檔：第10章 第4節(jié) 隨機(jī)事件的概率

第四節(jié)　隨機(jī)事件的概率 【考綱下載】 1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率意義以及頻率與概率的區(qū)別． 2．了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式． 1．事件的分類 2．頻率和概率 (1)在相同的條件S下重復(fù)n次實(shí)驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率． 3．事件的關(guān)系與運(yùn)算 定義 符號表示 包含 關(guān)系 如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A(或A?B) 相等 關(guān)系 若B?A且A?B，那么稱事件A與事件B相等 A＝B 并事件 (和事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 (積事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件，那么事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對立 事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 A∩B＝?且A∪B＝U 4.概率的幾個(gè)基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：[0,1]． (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)概率的加法公式 如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 若事件A與B互為對立事件，則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)． 1．概率和頻率有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 提示：頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率卻是一個(gè)常數(shù)，它是頻率的科學(xué)抽象．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越大時(shí)，頻率也越來越向概率接近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地看作隨機(jī)事件的概率． 2．互斥事件和對立事件有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 提示：互斥事件和對立事件都是針對兩個(gè)事件而言的．在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生；而對立事件則是必有一個(gè)發(fā)生，但不能同時(shí)發(fā)生．所以兩個(gè)事件互斥但未必對立；反之兩個(gè)事件對立則它們一定互斥． 1．下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為(　　) ①物體在只受重力的作用下會自由下落； ②方程x2＋2x＋8＝0有兩個(gè)實(shí)根； ③某信息臺每天的某段時(shí)間收到信息咨詢的請求次數(shù)超過10次； ④下周六會下雨． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B?、贋楸厝皇录?，②為不可能事件，③④為隨機(jī)事件． 2．(教材習(xí)題改編)從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么互斥而不對立的事件是(　　) A．至少有一個(gè)紅球與都是紅球 B．至少有一個(gè)紅球與都是白球 C．至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球 D．恰有一個(gè)紅球與恰有兩個(gè)紅球 解析：選D　對于A中的兩個(gè)事件不互斥，對于B中的兩個(gè)事件互斥且對立，對于C中的兩個(gè)事件不互斥，對于D中的兩個(gè)事件互斥而不對立． 3．從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160 cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175]的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175 cm的概率為(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 解析：選B　由對立事件的概率可求該同學(xué)的身高超過175 cm的概率為 1－0.2－0.5＝0.3. 4．甲、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适莀_______． 解析：乙不輸?shù)氖录閮扇撕推寤蛞耀@勝，因此乙不輸?shù)母怕蕿椋? 答案： 5．給出下列三個(gè)命題： ①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品； ②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是； ③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率． 其中錯(cuò)誤的命題有________個(gè)． 解析：①錯(cuò)，不一定是10件次品；②錯(cuò)，是頻率而非概率；③錯(cuò)，頻率不等于概率，這是兩個(gè)不同的概念． 答案：3 考點(diǎn)一 隨機(jī)事件的關(guān)系 　 [例1]　(1)一個(gè)均勻的正方體玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個(gè)玩具向上拋擲1次，設(shè)事件A表示“向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B表示“向上的一面出現(xiàn)的數(shù)不超過3”，事件C表示“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4”，則(　　) A．A與B是互斥而非對立事件 B．A與B是對立事件 C．B與C是互斥而非對立事件 D．B與C是對立事件 (2)判斷下列給出的每對事件是互斥事件還是對立事件，并說明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，且點(diǎn)數(shù)都為1～10)中，任取一張． ①“抽出紅桃”與“抽出黑桃”； ②“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”； ③“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”． [自主解答]　(1)A∩B＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3}，事件A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω為所有基本事件的全集)，故事件B、C是對立事件． (2)①是互斥事件，不是對立事件． 原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還有可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件． ②既是互斥事件，又是對立事件． 原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”是不可能同時(shí)發(fā)生的，且其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件． ③不是互斥事件，也不是對立事件． 原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件． [答案]　(1)D 【方法規(guī)律】 1．互斥事件的理解 (1)互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系． (2)所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中所涉及的． (3)兩個(gè)事件互斥是從“試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)”來確定的． 2．從集合的角度理解互斥事件和對立事件 (1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集． (2)事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集. 從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，判斷下列每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件： (1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”； (2)“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”； (3)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”； (4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”． 解：任取3只球，共有以下4種可能結(jié)果：“3只紅球”，“2只紅球1只白球”，“1只紅球2只白球”，“3只白球”． (1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，但有可能兩個(gè)都不發(fā)生，故不是對立事件． (2)“取出2只紅球1只白球”，與“取出3只紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，可能同時(shí)不發(fā)生，故不是對立事件． (3)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有一只白球”不可能同時(shí)發(fā)生，故互斥．其中必有一個(gè)發(fā)生，故對立． (4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”可能同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件，也不可能是對立事件． 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)二 隨機(jī)事件的頻率與概率　　 1．隨機(jī)事件的頻率與概率有著一定的聯(lián)系，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，可通過計(jì)算事件發(fā)生的頻率去估算事件的概率，因此，它們也成為近幾年高考的命題熱點(diǎn)．多以解答題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．多為容易題或中檔題． 2．高考對該部分內(nèi)容的考查主要有以下幾個(gè)命題角度： (1)列出頻率分布表； (2)由頻率估計(jì)概率； (3)由頻率計(jì)算某部分的數(shù)量． [例2]　(20xx·湖南高考)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量 Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米． (1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量； Y 51 48 45 42 頻數(shù) 4 (2)在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量至少為48 kg的概率． [自主解答]　(1)所種作物的總株數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株．列表如下： Y 51 48 45 42 頻數(shù) 2 4 6 3 所種作物的平均年收獲量為 ＝＝46. (2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝. 故在所種作物中隨機(jī)選取一株，它的年收獲量至少為48 kg的概率為P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝. 【互動探究】 若本例中的條件不變，試估計(jì)年收獲量介于[42,48]之間的可能性． 解：依題意知： 法一：P(42≤x≤48)＝P(x＝42)＋P(x＝45)＋P(x＝48) ＝＋＋＝. 法二：P(42≤x≤48)＝1－P(x＝51)＝1－＝.　　　　　 隨機(jī)事件的頻率與概率的常見類型及解題策略 (1)補(bǔ)全或?qū)懗鲱l率分布表．可直接依據(jù)已知條件，逐一計(jì)數(shù)，寫出頻率． (2)由頻率估計(jì)概率．可以根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，由頻率直接估計(jì)概率． (3)由頻率估計(jì)某部分的數(shù)值．可由頻率估計(jì)概率，再由概率估算某部分的數(shù)值． 某射擊運(yùn)動員進(jìn)行雙向飛碟射擊訓(xùn)練，各次訓(xùn)練的成績?nèi)缦卤恚? 射擊次數(shù) 100 120 150 100 150 160 150 擊中飛碟數(shù) 81 95 123 82 119 127 121 擊中飛碟的頻率 (1)將各次擊中飛碟的頻率填入表中； (2)這個(gè)運(yùn)動員擊中飛碟的概率約為多少？ 解：利用頻率公式依次計(jì)算出擊中飛碟的頻率． (1)射擊次數(shù)100，擊中飛碟數(shù)是81，故擊中飛碟的頻率是＝0.81，同理可求得下面的頻率依次是0.792,0.82，0.82，0.793,0.794,0.807； (2)擊中飛碟的頻率穩(wěn)定在0.81，故這個(gè)運(yùn)動員擊中飛碟的概率約為0.81. 考點(diǎn)三 互斥事件、對立事件的概率 　 [例3]　(20xx·洛陽模擬)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲蓄所一個(gè)營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下： 排隊(duì)人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少？ (2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少？ [自主解答]　記“無人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A、B、C、D、E、F互斥． (1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A∪B∪C， 所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則 H＝D∪E∪F， 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 法二：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44. 【方法規(guī)律】 求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法 (1)直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算． (2)間接求法：先求此事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就會較簡便． 提醒：應(yīng)用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先確定各個(gè)事件是否彼此互斥，然后求出各事件發(fā)生的概率，再求和(或差)． 某商場有獎銷售活動中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個(gè)開獎單位，設(shè)特等獎1個(gè)，一等獎10個(gè)，二等獎50個(gè)．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1張獎券的中獎概率； (3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率． 解：(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分別為，，. (2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎”這個(gè)事件為M，則M＝A∪B∪C. ∵A、B、C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝. 故1張獎券的中獎概率為. (3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝. 故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為. ———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個(gè)難點(diǎn)——對頻率和概率的理解 (1)依據(jù)定義求一個(gè)隨機(jī)事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率，但是，某一事件的概率是一個(gè)常數(shù)，而頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化． (2)概率意義下的“可能性”是大量隨機(jī)事件現(xiàn)象的客觀規(guī)律，與我們?nèi)粘Ｋf的“可能”“估計(jì)”是不同的．也就是說，單獨(dú)一次結(jié)果的不確定性與積累結(jié)果的有規(guī)律性，才是概率意義下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本質(zhì)屬性． 1個(gè)重點(diǎn)——對互斥事件與對立事件的理解 　(1)對于互斥事件要抓住如下特征進(jìn)行理解： ①互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系； ②所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中涉及的； ③兩個(gè)事件互斥是從試驗(yàn)的結(jié)果中不能同時(shí)出現(xiàn)來確定的． (2)對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，集合A的對立事件記作.從集合的角度來看，事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集，即A∪＝U，A∩＝?.對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件． 易誤警示(十三) 忽視概率加法公式的應(yīng)用條件致誤 [典例]　拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)的概率都是，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B為“向上的點(diǎn)數(shù)不超過3”，求P(A∪B)． [解題指導(dǎo)]　由于A∪B中會有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，5點(diǎn)四個(gè)互斥事件．因此，可用概率加法公式． [解]　記事件“出現(xiàn)1點(diǎn)”“出現(xiàn)2點(diǎn)”“出現(xiàn)3點(diǎn)”“出現(xiàn)5點(diǎn)”分別為A1，A2，A3，A4，由題意知這四個(gè)事件彼此互斥． 故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝. [名師點(diǎn)評]　1.如果審題不仔細(xì)，未對A∪B事件作出正確判斷，誤認(rèn)為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，則易出現(xiàn)P(A∪B)＝1的錯(cuò)誤． 2．解決互斥事件的有關(guān)問題時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)注意以下兩點(diǎn)： (1)應(yīng)用加法公式時(shí)，一定要注意其前提條件是涉及的事件是互斥事件． (2)對于事件P(A∪B)≤P(A)＋P(B)，只有當(dāng)A、B互斥時(shí)，等號成立． [全盤鞏固] 1．給出以下結(jié)論： ①互斥事件一定對立； ②對立事件一定互斥； ③互斥事件不一定對立； ④事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率； ⑤事件A與B互斥，則有P(A)＝1－P(B)． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選C　對立必互斥，互斥不一定對立，所以②③正確，①錯(cuò)；又當(dāng)A∪B＝A時(shí)，P(A∪B)＝P(A)，所以④錯(cuò)；只有A與B為對立事件時(shí)，才有P(A)＝1－P(B)，所以⑤錯(cuò)． 2．從存放號碼分別為1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下： 卡片號碼 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次數(shù) 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 則取到號碼為奇數(shù)的卡片的頻率是(　　) A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37 解析：選A　取到號碼為奇數(shù)的卡片的次數(shù)為：13＋5＋6＋18＋11＝53，則所求的頻率為＝0.53. 3．某種產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件產(chǎn)品是正品(甲級品)的概率為(　　) A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.08 解析：選C　記“抽檢一件產(chǎn)品是甲級品”為事件A，“抽檢一件產(chǎn)品是乙級品”為事件B，“抽檢一件產(chǎn)品是丙級品”為事件C，這三個(gè)事件彼此互斥，因而抽檢一件產(chǎn)品是正品(甲級品)的概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92. 4．從16個(gè)同類產(chǎn)品(其中有14個(gè)正品，2個(gè)次品)中任意抽取3個(gè)，下列事件中概率為1的是(　　) A．三個(gè)都是正品 B．三個(gè)都是次品 C．三個(gè)中至少有一個(gè)是正品 D．三個(gè)中至少有一個(gè)是次品 解析：選C　16個(gè)同類產(chǎn)品中，只有2件次品，抽取三件產(chǎn)品，A是隨機(jī)事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是隨機(jī)事件，又必然事件的概率為1，故C正確． 5．從某校高二年級的所有學(xué)生中，隨機(jī)抽取20人，測得他們的身高(單位：cm)分別為： 162　153　148　154　165　168　172　171　173　150 151　152　160　165　164　179　149　158　159　175 根據(jù)樣本頻率分布估計(jì)總體分布的原理，在該校高二年級的所有學(xué)生中任抽一人，估計(jì)該生的身高在155.5 cm～170.5 cm之間的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　從已知數(shù)據(jù)可以看出，在隨機(jī)抽取的這20位學(xué)生中，身高在155.5 cm～170.5 cm之間的學(xué)生有8人，頻率為，故可估計(jì)在該校高二年級的所有學(xué)生中任抽一人，其身高在155.5 cm～170.5 cm之間的概率為. 6．(20xx·舟山模擬)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分別為0.2、0.2、0.3、0.3，則下列說法正確的是(　　) A．A＋B與C是互斥事件，也是對立事件 B．B＋C與D是互斥事件，也是對立事件 C．A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對立事件 D．A與B＋C＋D是互斥事件，也是對立事件 解析：選D　因?yàn)镻(A)＝0.2，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，P(D)＝0.3，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，所以A與B＋C＋D是互斥，也是對立事件． 7．一個(gè)袋子中有紅球5個(gè)，黑球4個(gè)，現(xiàn)從中任取5個(gè)球，則至少有1個(gè)紅球的概率為________． 解析：“從中任取5個(gè)球，至少有1個(gè)紅球”是必然事件，必然事件發(fā)生的概率為1. 答案：1 8．拋擲一粒骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B為“出現(xiàn)2點(diǎn)”，已知P(A)＝，P(B)＝，則出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率為________． 解析：由題意知“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”的概率是事件A的概率，“出現(xiàn)2點(diǎn)”的概率是事件B的概率，事件A，B互斥，則“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)”的概率為P(A)＋P(B)＝＋＝. 答案： 9．甲、乙兩顆衛(wèi)星同時(shí)監(jiān)測臺風(fēng)，在同一時(shí)刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星準(zhǔn)確預(yù)報(bào)臺風(fēng)的概率分別為0.8和0.75，則在同一時(shí)刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為________． 解析：P＝1－0.2×0.25＝0.95. 答案：0.95 10．假設(shè)甲、乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場上銷售量相等，為了解他們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行測試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： (1)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率； (2)這兩種品牌產(chǎn)品中，某個(gè)產(chǎn)品已使用了200小時(shí)，試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率． 解：(1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的頻率為＝，用頻率估計(jì)概率，可得甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率為. (2)根據(jù)頻數(shù)分布圖可得壽命大于200小時(shí)的兩種品牌產(chǎn)品共有75＋70＝145(個(gè))，其中甲品牌產(chǎn)品有75個(gè)，所以在樣本中，壽命大于200小時(shí)的產(chǎn)品是甲品牌的頻率是＝，用頻率估計(jì)概率，所以已使用了200小時(shí)的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為. 11. (20xx·通化模擬)有A、B、C、D、E五位工人參加技能競賽培訓(xùn)．現(xiàn)分別從A、B二人在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次．用如圖所示莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)． (1)A、B二人預(yù)賽成績的中位數(shù)分別是多少？ (2)現(xiàn)要從A、B中選派一人參加技能競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認(rèn)為派哪位工人參加合適？請說明理由； (3)若從參加培訓(xùn)的5位工人中選2人參加技能競賽，求A、B二人中至少有一人參加技能競賽的概率． 解：(1)A的中位數(shù)是＝84，B的中位數(shù)是＝83. (2)派A參加比較合適．理由如下： A＝(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85， B＝(73＋79＋81＋82＋84＋88＋95＋98)＝85， s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41， s＝[(73－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(95－85)2＋(98－85)2]＝60.5. ∵A＝B，s<s∴A的成績較穩(wěn)定，派A參加比較合適． (3)任派兩個(gè)(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10種情況；A、B兩人都不參加有(C，D)，(C，E)，(D，E)3種． 至少有一個(gè)參加的對立事件是兩個(gè)都不參加，所以P＝1－＝. 12．(20xx·北京高考)近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1 000噸的生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：噸). “廚余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 廚余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率； (2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率； (3)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a＞0，a＋b＋c＝600.當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最大時(shí)，寫出a，b，c的值(結(jié)論不要求證明)，并求此時(shí)s2的值． 注：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù) 解：(1)廚余垃圾投放正確的概率約為 ＝＝. (2)設(shè)生活垃圾投放錯(cuò)誤為事件A，則事件表示生活垃圾投放正確． 事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即P()≈＝0.7，所以P(A)≈1－0.7＝0.3. (3)當(dāng)a＝600，b＝c＝0時(shí)，s2取得最大值． 因?yàn)椋?a＋b＋c)＝200，所以s2＝[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2] ＝80 000. [沖擊名校] 袋中有紅球、黑球、黃球、綠球若干，從中任取一球，得到紅球的概率為，得到黑球或黃球的概率為，得到黃球或綠球的概率為，求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是多少？ 解：記“得到紅球”為事件A，“得到黑球”為事件B，“得到黃球”為事件C，“得到綠球”為事件D，事件A，B，C，D顯然彼此互斥，則由題意可知， P(A)＝，① P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，② P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，③ 由事件A和事件B∪C∪D是對立事件可得 P(A)＝1－P(B∪C∪D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]， 即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，④ ②③④聯(lián)立可得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝. 即得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是，，.