西北工業(yè)大學彈性力學課件第二章.pps

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第二章應力狀態(tài) 研究對象 三維彈性體微分單元體入手超靜定問題靜力平衡 幾何變形和本構(gòu)關系等三方面的條件本章從靜力學觀點出發(fā) 討論一點的應力狀態(tài) 建立平衡微分方程和邊界條件 目錄 2 1體力和面力 2 2應力與應力張量 2 3二維應力狀態(tài)與平衡微分方程 2 4應力狀態(tài)的描述 2 5邊界條件 2 6主應力與應力主方向 2 7應力球張量和球應力偏張量 2 1體力和面力 物體外力 分為兩類體力面力體力和面力分別為物體單位體積或者單位面積的載荷 2 2應力與應力張量 內(nèi)力 外界因素作用下 物體內(nèi)部各個部分之間的相互作用力 附加內(nèi)力應力應力矢量pn隨截面的法線方向n的方向改變而變化 應力狀態(tài) 一點所有截面應力矢量的集合 顯然 彈性體內(nèi)某確定點各個截面的應力 應力狀態(tài)必然存在一定的關系 應力狀態(tài)分析 討論一點截面方位改變引起的應力變化趨勢 應力狀態(tài)對于結(jié)構(gòu)強度是十分重要的 準確描述應力狀態(tài) 合理的應力參數(shù) 為了探討各個截面應力的變化趨勢 確定可以描述應力狀態(tài)的參數(shù) 通常將應力矢量分解 2 2應力2 應力矢量沿坐標分解 沒有工程意義正應力和切應力正應力sn與切應力tn與結(jié)構(gòu)強度關系密切根據(jù)截面方位不能完全確定切應力應力分量 應力張量應力張量可以描述一點應力狀態(tài) 2 2應力3 應力張量 應該注意 應力分量是標量箭頭僅是說明方向 2 2應力4 2 3平衡微分方程 平衡物體整體平衡 內(nèi)部任何部分也是平衡的 對于彈性體 必須討論一點的平衡 微分平行六面體單元 平衡微分方程 切應力互等定理 2 5平衡方程2 2 4應力狀態(tài) 如果應力張量能夠描述一點的應力狀態(tài) 則應力張量可以描述其它應力參數(shù) 坐標變換與應力張量關系 最大應力及其方位的確定 公式表明 已知應力張量 可以確定任意方位微分面的應力矢量 當然可以確定正應力sn與切應力tn 應力矢量與應力分量的關系 2 4應力狀態(tài)2 應力不僅隨位置改變而變化 而且隨截面方位改變而變化 同一點由于截面的法線方向不同 截面上的應力也不同 討論應力分量在坐標變換時的變化規(guī)律 2 4應力狀態(tài)3 任意斜截面的應力轉(zhuǎn)軸公式 應力分量滿足張量變化規(guī)則應力張量為二階對稱張量轉(zhuǎn)軸公式表明 新坐標系下的六個應力分量可通過原坐標系的應力分量確定 應力張量可以確定一點的應力狀態(tài) 坐標軸轉(zhuǎn)軸后 應力分量發(fā)生改變 但是作為整體所描述的應力狀態(tài)沒有變化 2 4應力狀態(tài)4 平面應力狀態(tài)轉(zhuǎn)軸公式 彈性力學以坐標系定義應力分量 材料力學以變形效應定義應力分量 正應力二者定義沒有差異而切應力定義方向不同 2 4應力狀態(tài)5 2 5邊界條件 彈性體的表面 應力分量必須與表面力滿足面力邊界條件 維持彈性體表面的平衡 邊界面力已知 面力邊界Ss 面力邊界條件 確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應力分量的關系 2 5邊界條件2 面力邊界條件描述彈性體表面的平衡 平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部的平衡 這種平衡只是靜力學可能的平衡 真正處于平衡狀態(tài)的彈性體 還必須滿足變形連續(xù)條件 2 5邊界條件3 位移邊界條件邊界位移已知 位移邊界Su位移邊界條件就是彈性體表面的變形協(xié)調(diào)彈性體臨近表面的位移與已知邊界位移相等 2 5邊界條件4 混合邊界條件彈性體邊界S Ss Su部分邊界位移已知 位移邊界Su部分邊界面力已知 面力邊界Ss不論是面力邊界條件 位移邊界條件 還是混合邊界條件 任意邊界的邊界條件數(shù)必須等于3個 2 6主應力與應力主方向 轉(zhuǎn)軸公式描述了應力隨坐標轉(zhuǎn)動的變化規(guī)律結(jié)構(gòu)強度分析需要簡化和有效的參數(shù) 最大正應力 最大切應力以及方位主應力和主平面 應力狀態(tài)分析重要參數(shù)應力不變量 進一步探討應力狀態(tài) 主應力和主平面主應力分析 關于l m n的齊次線性方程組 非零解的條件為方程組的系數(shù)行列式等于零 即 2 6主應力2 展開 其中 主元之和 代數(shù)主子式之和 應力張量元素構(gòu)成的行列式 主應力特征方程 2 6主應力3 應力狀態(tài)特征方程 確定彈性體內(nèi)部任意一點主應力和應力主軸方向 主應力和應力主軸方向取決于載荷 形狀和邊界條件等 與坐標軸的選取無關 因此 特征方程的根是確定的 即I1 I2 I3的值是不隨坐標軸的改變而變化的 I1 I2 I3分別稱為應力張量的第一 第二和第三不變量 2 6主應力4 特征方程有三個實數(shù)根s1 s2 s3分別表示這三個根 代表某點三個主應力 對于應力主方向 將s1 s2 s3分別代入 和l2 m2 n2 1則可求應力主方向 2 6主應力5 主應力和應力主方向取決于結(jié)構(gòu)外力和約束條件 與坐標系無關 因此特征方程的三個根是確定的 特征方程的三個根 即一點的三個主應力均為實數(shù) 根據(jù)三次方程性質(zhì)可以證明 任意一點三個應力主方向是相互垂直的 三個應力主軸正交的 應力不變量性質(zhì) 坐標系的改變導致應力張量各分量變化 但應力狀態(tài)不變 應力不變量正是對應力狀態(tài)性質(zhì)的描述 2 6主應力6 不變性實數(shù)性正交性 主應力正交性證明 下面證明下述結(jié)論 1 若s1 s2 s3 特征方程無重根 應力主軸必然相互垂直 2 若s1 s2 s3 特征方程有兩重根 s1和s2的方向必然垂直于s3的方向 而s1和s2的方向可以是垂直的 也可以不垂直 3 若s1 s2 s3 特征方程有三重根 三個應力主軸可以垂直 也可以不垂直 任何方向都是應力主軸 2 6主應力7 設s1 s2 s3的方向分別為 l1 m1 n1 l2 m2 n2 和 l3 m3 n3 則 分別乘以l2 m2 n2 分別乘以 l1 m1 n1 六式相加 可得 2 6主應力8 如果s1 s2 s3 3個應力主方向相互垂直 如果s1 s2 s3 可以等于零 也可以不等于零 s3與s1和s2的方向垂直 而s1和s2的方向可以垂直或不垂直 s3的垂直方向都是s1和s2的應力主向 2 6主應力9 如果s1 s2 s3 則l1l2 m1m2 n1n2l2l3 m2m3 n2n3l1l3 m1m3 n1n3均可為零或者不為零 任何方向都是應力主方向 因此問題可證 1 若s1 s2 s3 應力主軸必然相互垂直 2 若s1 s2 s3 s1和s2必然垂直于s3 而s1和s2可以是垂直的 也可以不垂直 3 若s1 s2 s3 任何方向都是應力主軸 2 6主應力10 主應力是一點所有微分面上最大或最小的正應力 主應力和主平面分析確定最大正應力及其作用方位 最大切應力的確定 討論任意截面正應力和切應力的變化趨勢 應力圓 最大切應力以及方位的確定 2 6主應力11 正應力和切應力分析123應力圓最大切應力方位 2 6主應力12 2 7應力球張量和應力偏張量 應力張量的分解應力球量改變單元體體積 應力偏量改變單元體形狀 八面體單元 2 7應力分解2