《圓錐的側面積和全面積》同步練習題

第 2 課時 圓錐的側面積和全面積 一、課前預習 (5 分鐘訓練 ) 1.圓錐的底面積為 25π，母線長為 13 cm，這個圓錐的底面圓的半徑為 ________ cm，高為 2 ________ cm ，側面積為 ________ cm . 2.圓錐的軸截面是一個邊長為 10 cm 的正三角形，則這個圓錐的側面積為 ________ cm2，錐 角為 _________，高為 ________ cm. 3.已知 Rt△ABC 的兩直角邊 AC=5 cm ， BC=12 cm ，則以 BC 為軸旋轉所得的圓錐的側面積 為 _________ cm2，這個圓錐的側面展開圖的弧長為 _________ cm ，面積為 _________ cm 2. 4.如圖 24-4-2-1 ，已知圓錐的底面直徑為 4，母線長為 6，則它的全面積為 __________. 圖 24-4-2-1 圖 24-4-2-2 二、課中強化 (10 分鐘訓練 ) 1.糧倉的頂部是圓錐形，這個圓錐的底面直徑是 4 m ，母線長為 3 m，為防雨需在糧倉的頂 部鋪上油氈，那么這塊油氈的面積至少為( ) A.6 m 2 B.6 πm2 C.12 m 2 D .12 πm2 2.若圓錐的側面展開圖是一個半徑為 a 的半圓，則圓錐的高為 ( ) A.a B. 3 C.3a D. 3 a a 3 2 3.用一張半徑為 9 cm、圓心角為 120 °的扇形紙片， 做成一個圓錐形冰淇淋的側面 (不計接縫 )， 那么這個圓錐形冰淇淋的底面半徑是 _________ cm. 4.如圖 24-4-2-2 ，已知圓錐的母線長 OA=8 ，地面圓的半徑 r=2. 若一只小蟲從 A 點出發(fā)，繞 圓錐的側面爬行一周 后又回到 A 點，則小蟲爬行的最短路線的長是 ______(結果保留根式 ). 5.一個圓錐的高為 3 3 cm，側面展開圖是半圓， 求： (1) 圓錐母線與底面半徑的比； (2)錐角的大??； (3)圓錐的全面積 . 三、課后鞏固 (30 分鐘訓練 ) 1.已知圓錐的母線與高的夾角為 30°，母線長為 4 cm，則它的側面積為 _________ cm2(結果 保留 π). 2.如圖 24-4-2-3 ，有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長為 6 m 的正三角形 ABC ，母線 AC 的中 點 P 處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從 B 處沿圓錐表面去偷襲老鼠，則小貓經(jīng)過的最短路程是 ___________ m.( 結果不取近似數(shù) ) 圖 24-4-2-3 圖 24-4-2-4 3.若圓錐的底面直徑為 6 cm，母線長為 5 cm，則它的側面積為 ___________.( 結果保留 π) 4.在 Rt△ ABC 中，已知 AB=6 ，AC=8 ，∠ A=90°.如果把 Rt△ ABC 繞直線 AC 旋轉一周得到 一個圓錐，其全面積為 S1；把 Rt△ ABC 繞直線 AB 旋轉一周得到另一個圓錐，其全面積 為 S2.那么 S1∶ S2 等于 ( ) A.2∶3 B.3∶ 4 C.4∶ 9 D.5 ∶12 5.如圖 24-4-2-4 是小芳學習時使用的圓錐形臺燈燈罩的示意圖， 則圍成這個燈罩的鐵皮的面 積為 ____________ cm 2 (不考慮接縫等因素，計算結果用 π表示 ). 6.制作一個底面直徑為 30 cm、高為 40 cm 的圓柱形無蓋鐵桶 ,所需鐵皮至少為 ( ) A .1 425 πcm 2 B.1 650 πcm 2 C.2 100 πcm 2 D.2 625 πcm 2 7.在半徑為 27 m 的廣場中央，點 O 的上空安裝了一 個照明光源 S， S 射向地面的光束呈圓 錐形，其軸截面 SAB 的頂角為 120°(如圖 24-4-2-5) ，求光源離地面的垂直高度 SO.(精確 到 0.1 m； 2 =1.414 ， 3 =1.732 ， 5 =2.236 ，以上數(shù)據(jù)供參考 ) 參考答案 一、課前預習 (5 分鐘訓練 ) 1.圓錐的底面積為 25π，母線長為 13 cm，這個圓錐的底面圓的半徑為 ________ cm，高為 ________ cm ，側面積為 2 ________ cm . 思路解析：圓的面積為 2 25 2 2 S=πr，所以 r= =5(cm) ；圓錐的高為 13 5 =12(cm) ； 側面積為 1 2 × 10π· 13=65 π (cm 2 ). 答案： 5 12 65π 2.圓錐的軸截面是一個邊長為 10 cm 的正三角形，則這個圓錐的側面積為 ________ cm2，錐 角為 _________，高為 ________ cm. 思路解析： S 1 2 ；(cm錐角為正三角形的內角，高為正三角形的高. 側面積 = × 10π× 10=50 π) 2 答案： 50π 60° 5 3 3.已知 Rt△ABC 的兩直角邊 AC=5 cm ， BC=12 cm ，則以 BC 為軸旋轉所得的圓錐的側面積 為 __________ cm2，這個圓錐的側面展開圖的弧長為  __________ cm ，面積為 ___________ cm2. 思路解析：以  BC  為軸旋轉所得圓錐的底面半徑為  5 cm，高為  12 cm ，母線長為  13 cm. 利用公式計算  . 答案：  65π  10π  65π 4.如圖  24-4-2-1 ，已知圓錐的底面直徑為  4，母線長為  6，則它的全面積為  __________. 圖 24-4-2-1 思路解析：圓錐的全面積為側面積加底面積 . 答案： 16π 二、課中強化 (10 分鐘訓練 ) 1.糧倉的頂部是圓錐形，這個圓錐的底面直徑是 4 m ，母線長為 3 m，為防雨需在糧倉的頂 部鋪上油氈，那么這塊油氈的面積至少為( ) A.6 m 2 B.6 πm 2 C.12 m 2 D .12 πm 2 思路解析：側面積 = 1 底面直徑 ·π·母線長 = 1 2 π (m × 4×π× 3=6 2 2 ). 答案： B 2.若圓錐的側面展開圖是一個半徑為 a 的半圓，則圓錐的高為 ( ) A.a B. 3 C.3a D. 3 a a 3 2 思路解析： 展開圖的弧長是 aπ，故底面半徑是 a ，這時母線長、 底面半徑和高構成直角 2 三角形 . 答案： D 3.用一張半徑為 9 cm、圓心角為 120 °的扇形紙片， 做成一個圓錐形冰淇淋的側面 (不計接縫 )， 那么這個圓錐形冰淇淋的底面半徑是 _________ cm. 思路解析：扇形的弧長為 答案： 3  120 9 6 180 =6π (cm)，所以圓錐底面圓的半徑為 =3(cm). 2 4.如圖 24-4-2-2 ，已知圓錐的母線長 OA=8 ，地面圓的半徑 r=2. 若一只小蟲從 A 點出發(fā)，繞 圓錐的側面爬行一周 后又回到 A 點，則小蟲爬行的最短路線的長是 _________(結果保留 根式 ). 圖 24-4-2-2 思路解析：如圖，圓錐的側面展開圖是扇形，它的圓心角是 2 2 180 =90 °，連結 8 AB ，則△ AOB 是等腰直角三角形， OA=OB=8 ，所以 AB= 82 82=8 2. 答案：8 2 5.一個圓錐的高為 3 3 cm，側面展開圖是半圓， 求： (1) 圓錐母線與底面半徑的比； (2) 錐角的大??； (3) 圓錐的全面積 . 思路分析： 圓錐的母線在側面展開圖中是扇形的半徑， 底面周長是展開扇形的弧長 .錐角 是軸截面的等腰三角形的頂角 .知道圓錐母線和底面半徑，就可由扇形面積公式求側面 積，底面積加側面積就得圓錐全面積. 解：如圖， AO 為圓錐的高，經(jīng)過 AO 的截面是等腰△ ABC ，則 AB 為圓錐母線 l， BO 為底面半徑 r. (1) 因圓錐的側面展開圖是半圓，所以 l 2π r= πl(wèi)，則 =2. l r (2) 因 =2，則有 AB=2OB ，∠ BAO=30°，所以∠ BAC=60°，即錐角為 60°. r (3) 因圓錐的母線 l，高 h 和底面半徑 r 構成直角三角形， 所以 l2=h2＋r2；又 l=2r ，h=3 3 cm，則 r=3 cm ， l=6 cm. 所以 S 表=S 2 2 2 側 ＋ S 底 =πrl＋ πr ·6π＋ 3 π =27 π (cm). =3 三、課后鞏固 (30 分鐘訓練 ) 1.已知圓錐的母線與高的夾角為 30°，母線長為 4 cm，則它的側面積為 _________ cm2(結果 保留 π). 思路解析： S 1 1 圓錐側 = × 2×π×× 4× 4=8 π. 2 2 答案： 8π 2.如圖 24-4-2-3 ，有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長為 6 m 的正三角形 ABC ，母線 AC 的中 點 P 處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從 B 處沿圓錐表面去偷襲老鼠，則小貓經(jīng)過的最短路程是 ___________ m.( 結果不取近似數(shù) ) 圖 24-4-2-3 思路解析：小貓經(jīng)過的最短路程是圓錐側面展開圖中的 PB(如圖 ). 則扇形的圓心角為 180 6 =180 °,因為 P 在 AC 的中點上， 6 所以∠ PAB=90° .在 Rt△ PAB 中， PA=3 ，AB=6 ， 則PB= 62 32 =3 5. 答案：3 5 3.若圓錐的底面直徑為 6 cm，母線長為 5 cm，則它的側面積為 ___________.( 結果保留 π) 思路解析：已知底面直徑和 母線長直接代入圓錐側面積公式即可 . 2 設圓錐底面半徑為 r，母線為 l，則 r=3 cm ， l=5 cm ，∴ S 側=πr ·l= π× 3×5=15π). (cm 2 答案： 15π cm 4.在 Rt△ ABC 中，已知 AB=6 ，AC=8 ，∠ A=90°.如果把 Rt△ ABC 繞直線 AC 旋轉一周得到 一個圓錐，其全面積為 S1；把 Rt△ ABC 繞直線 AB 旋轉一周得到另一個圓錐，其全面積 為 S2.那么 S1∶ S2 等于 () A.2∶3 B.3∶ 4 C.4∶ 9 D.5 ∶12 思路解析：根據(jù)題意分別計算出 S1 和 S2 即得答案 .在求 S1 和 S2 時，應分清圓錐側面展 開圖 (扇形 )的半徑是斜邊 BC，弧長是以 AB( 或 AC) 為半徑的圓的周長 . ∵∠ A=90°， AC=8 ， AB=6 ，∴ BC= AC 2 AB 2 = 82 62 =10. 當以 AC 為軸時， AB 為底面半徑， S1 側 ＋ S 底 2=π× 6×＋10π× 36=96 π. =S =π AB· BC＋ π AB 當以 AB 為軸時， AC 為底面半徑， S2 側 ＋ S 底 =80 2=144 π. =S π＋ π×8 ∴S1∶ S2=96 π∶ 144 π =2∶ 3，故選 A. 答案 :A 5.如圖 24-4-2-4 是小芳學習時使用的圓錐形臺燈燈罩的示意圖， 則圍成這個燈罩的鐵皮的面 積為 ____________ cm 2(不考慮接縫等因素，計算結果用 π表示 ). 圖 24-4-2-4 思路解析：由題意知： S 側面積= 1 2 2 × 30π× 20=300 π).(cm 答案： 300π 6.制作一個底面直徑為 30 cm、高為 40 cm 的圓柱形無蓋鐵桶 ,所需鐵皮至少為 ( ) A .1 425 πcm2 B.1 650 πcm2 C.2 100 πcm2 D.2 625 πcm2 思路解析 :由題意知 S =底面積 2 +側面積 =π× 15 × 95π =1 425 π. 鐵皮 +40 × 2π× 15=15 答案 :A 7.在半徑為 27 m 的廣場中央，點 O 的上空安裝了一 個照明光源 S， S 射向地面的光束呈圓 錐形，其軸截面 SAB 的頂角為 120°(如圖 24-4-2-5) ，求光源離地面的垂直高度 SO.(精確 到 0.1 m； 2 =1.414 ， 3 =1.732 ， 5 =2.236 ，以上數(shù)據(jù)供參考 ) 圖 24-4-2-5 思路分析：利用勾股定理和 30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半解題 . 解：在△ SAB 中， SA=SB ，∠ ASB=120° . ∵SO⊥AB ，∴ O 為 AB 的中點，且∠ ASO= ∠ BSO=60° ，∠ SAO=30° . 在 Rt△ ASO 中， OA=27 m ，設 SO=x ，則 AS=2x ，∴ 272+x 2=(2x) 2.∴ x=9 3 ≈ 15.6(m). 答：光源離地面的垂直高度 SO 為 15.6 m.