高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 算法初步、復(fù)數(shù)與選考內(nèi)容 第4講 幾何證明選講課件 文

第 4 講 幾何證明選講考綱要求考情風(fēng)向標(biāo)1.了解平行線截割定理，會(huì)證直角三角形射影定理.2.會(huì)證圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.3.會(huì)證相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理.4.了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系了解平行投影；會(huì)證平面與圓柱面的截線是橢圓(特殊情形是圓).5.幾何證明選講考綱要求(5)(8)略.從近幾年的高考試題來看，幾何證明選講作為選考內(nèi)容基本沒有變化，都是二選一，主要考查平行線截割定理、射影定理、圓周角定理、弦切角定理、相交弦定理、切割線定理，內(nèi)容很多，但考試還是側(cè)重圓內(nèi)的邊角運(yùn)算，因此在備考時(shí)也應(yīng)該有所側(cè)重！1平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得對(duì)應(yīng)線段成比例推論 1：平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例推論 2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例2射影定理的結(jié)論直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上射影與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上射影的乘積BDDC在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于點(diǎn) D，則 AB2BDBC；AC2CDCB；AD2_.3相似三角形的判定與性質(zhì)(1)相似三角形的判定定理：預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似判定定理 1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理 2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似判定定理 3：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似判定定理 4：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似(2)相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；周長(zhǎng)的比等于相似比；面積的比等于相似比的_平方4圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定(1)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)(2)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角(3)如果四邊形的對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.5直線與圓一半(1)圓周角定理、圓心角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的_圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)(2)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角(3)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等(4)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)10圖 10-4-1圖 10-4-22如圖 10-4-2，DB，DC 是O 的兩條切線，點(diǎn) A 是圓上一點(diǎn)已知D46，則BAC_.673(2014 年廣東肇慶二模)如圖 10-4-3，ABC 的外角平分線 AD 交外接圓于點(diǎn) D，BD4，則 CD_.4圖 10-4-498a考點(diǎn) 1 相似三角形例 1：(1)(2014 年廣東)如圖 10-4-5，在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn) E 在 AB 上，且 EB2AE，AC 與 DE 交于點(diǎn) F，則CDF 的周長(zhǎng)AEF 的周長(zhǎng)_.圖 10-4-5解析：3(2)如圖 10-4-6，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，CD2，E，F(xiàn) 分別為 AD，BC 上的點(diǎn)，且 EF3，EFAB，則梯形 ABFE 與梯形 EFCD 的面積比為_圖 10-4-6答案：75【規(guī)律方法】解本題第(2)小題的關(guān)鍵在于延長(zhǎng) AD，BC，交點(diǎn)為 P，從而將我們不太熟悉的梯形轉(zhuǎn)化為三角形來解決，反復(fù)運(yùn)用相似三角形的面積之比等于相似比的平方.證明三角形相似的主要方法：兩角相等；兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等；三邊對(duì)應(yīng)成比例.【互動(dòng)探究】1(2013 年陜西)如圖 10-4-7，AB 與 CD 相交于點(diǎn) E，過 E作 BC 的平行線與 AD 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P.已知AC，PD2DA2，則 PE_.圖 10-4-76考點(diǎn)2與圓有關(guān)的角例2：如圖 10-4-8，已知點(diǎn) C 在圓 O 直徑 BE 的延長(zhǎng)線上，CA 切圓 O 于 A 點(diǎn)，DC 是ACB 的平分線并交 AE 于點(diǎn) F、交AB 于 D 點(diǎn)，求ADF 的大小圖 10-4-8思維點(diǎn)撥：根據(jù)直徑上的圓周角是直角、弦切角定理以及三角形內(nèi)角和定理等通過角的關(guān)系求解解：設(shè)EAC，根據(jù)弦切角定理，ABE.根據(jù)三角形外角定理，AEC90.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，ACE902.由于CD是ACB的內(nèi)角平分線，所以FCE45.再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，CFE180(90)(45)45.根據(jù)對(duì)頂角定理，AFD45.由于DAF90，所以ADF45.【規(guī)律方法】借用等弦或等弧所對(duì)的圓周角相等，所對(duì)的圓心角相等，可進(jìn)行角的等量代換；同時(shí)也可借在同圓或等圓中，相等的圓周角(或圓心角)所對(duì)的弧相等，可進(jìn)行弧(或弦)的等量代換.【互動(dòng)探究】2如圖 10-4-9，EB，EC 是O 的兩條切線，B，C 是切點(diǎn)，A，D 是O上兩點(diǎn)，如果E46，DCF32，則A的度數(shù)是_.圖 10-4-9答案：99圖 D433(2012 年廣東廣州二模)如圖10-4-10，O 的直徑 AB6，點(diǎn) P 是 AB 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作O 的切線，切點(diǎn)為C，連接 AC.若 PC3，則CPA_.30圖 10-4-10解析：PC2PBPA 27PB(PB6)PB26PB270，得PB3.連接OC，在RtOPC 中，OC3，OP6，則CPA30.3考點(diǎn)3與圓有關(guān)的比例線段例3：(2014 年新課標(biāo))如圖 10-4-11，P 是O 外一點(diǎn)，PA 是切線，A 為切點(diǎn)，割線 PBC 與O 相交于點(diǎn) B，C，PC2PA ，D 為 PC 的中點(diǎn)，AD 的延長(zhǎng)線交O 于點(diǎn) E，證明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.圖 10-4-11證明：(1)如圖10-4-12，連接AB，AC.由題設(shè)知PA PD，故PAD PDA.因?yàn)镻DADACDCA，PAD BADPAB，DCAPAB，所以DACBAD.圖10-4-12因此BEEC.(2)由切割線定理，得PA2PBPC.因?yàn)镻C2PA，所以PA2BP.所以PD2PB，所以BDPB.所以BDDCPB2PB.由相交弦定理，得ADDEBDDC.所以ADDE2PB2.【規(guī)律方法】相交弦定理為圓中證明等積式和有關(guān)計(jì)算提供了有力的方法和工具，應(yīng)用時(shí)一方面要熟記定理的等積式的結(jié)構(gòu)特征，另一方面在與定理相關(guān)的圖形不完整時(shí)，要用輔助線補(bǔ)齊相應(yīng)部分.在實(shí)際應(yīng)用中，見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理；見到圓的兩條割線就要想到割線定理；見到圓的切線和割線就要想到切割線定理.AB2ACADmnAB .【互動(dòng)探究】4(2012 年廣東)如圖 10-4-113，直線PB 與圓O 相切于點(diǎn)B，D 是弦 AC 上的點(diǎn)，PBADBA.若 ADm，ACn，則AB_ .圖 10-4-13CAB，得ABACADABmnmn解析：PBADBAACB，BADCAB BAD易錯(cuò)、易混、易漏 審題不清造成漏解例題：過不在O 上的一點(diǎn) A 作直線交O 于 B，C，且ABAC64，OA10，則O 的半徑等于_【失誤與防范】點(diǎn)A 不在O 上，則點(diǎn)A 有可能在圓外，也有可能在圓內(nèi)，對(duì)于沒有給出圖形的問題要認(rèn)真審題，并想清楚各種可能，本題很容易思維定勢(shì)地認(rèn)為點(diǎn)A 在圓外而出錯(cuò).