高中數(shù)學 導數(shù)的概念與運算

第八節(jié)　導數(shù)的概念與運算 【熱點聚焦】 導數(shù)是高中數(shù)學的一個重要內容，導數(shù)的本身已經成為解決數(shù)學問題的重要工具，不論是研究函數(shù)的性質，還是解決不等式的證明問題和方程根的判斷問題，還是解決曲線的切線問題，導數(shù)都發(fā)揮著非常重要的作用，所以在最近幾年的高考試題中，對導數(shù)的考查逐步加強，從題量和題目的難度上都有了很大的提高，在全國各地的高考試卷中都有關于導數(shù)的試題。對導數(shù)的考查形式是多種多樣，難易均有，可以在選擇題與填空題中出現(xiàn)，主要考查導數(shù)的運算、導數(shù)的幾何意義，導數(shù)的應用(主要研究函數(shù)的單調性、極值與最值等)；也可以在解答題中出現(xiàn)，有時候作為壓軸題，這時主要考查導數(shù)的綜合應用，往往與函數(shù)、方程、數(shù)列、解析幾何等聯(lián)系在一起。 【基礎知識】 1.用定義求函數(shù)的導數(shù)的步驟. （1）求函數(shù)的改變量Δy；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數(shù)（x0）=. 2.導數(shù)的幾何意義和物理意義 幾何意義：曲線f（x）在某一點（x0，y0）處的導數(shù)是過點（x0，y0）的切線斜率. 物理意義：若物體運動方程是s=s（t），在點P（i0，s（t0））處導數(shù)的意義是t=t0處的瞬時速度. 3．常見基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和常用導數(shù)運算公式： (C為常數(shù))；, n∈N+；；; ; ; ; . 法則1 ?。?和與差的導數(shù)等于導數(shù)的和與差) 法則2 .(前導后不導，后導前不導，中間是加號) 法則3 (分母平方要記牢，上導下不導，下導上不導，中間是減號) 4．在對導數(shù)的概念進行理解時，特別要注意與是不一樣的，代表函數(shù)在處的導數(shù)值，不一定為0 ；而是函數(shù)值的導數(shù)，而函數(shù)值是一個常量，其導數(shù)一定為0，即=0。 【課前訓練】 1．（2006年四川卷）曲線在點處的切線方程是（　?。? （A） （B） （C） （D） 2．曲線y=x3的切線中斜率等于1的直線 A．不存在 B．存在，有且僅有一條 C．存在，有且恰有兩條 D．存在，但條數(shù)不確定 3．曲線y=x3+x－2在點P0處的切線平行于直線y=4x－1,則P0的坐標是（　　） A.(1,0) B.(1,0) 或(－1,－4) C.(－1,0)或(－1,－4) D.(－1,－4) 4．某物體的運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），則它在t＝2s時的速度為 　 ． 5．兩曲線y=x2+1與y=3－x2在交點處的兩切線的夾角的正切值是 . 【試題精析】 【例1】曲線y=－x2+4x上有兩點A（4，0）、B（2，4）.求： （1）割線AB的斜率kAB及AB所在直線的方程； （2）在曲線AB上是否存在點C，使過C點的切線與AB所在直線平行?若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由. 【例2】已知函數(shù)在處的導數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，求的值。 ［剖析］可先求出函數(shù)的導函數(shù)，然后根據(jù)條件建立關于的方程進行求解. ［評注］ 導數(shù)的運算是導數(shù)應用的前提，因步應熟練掌握導數(shù)的運算法則以及常見函數(shù)的求導公式，近幾年的高考試題中，對于等函數(shù)導數(shù)的考查較為頻繁，因此應掌握與這兩個函數(shù)有關的導數(shù)運算. 【例3】已知曲線. (1) 求曲線在點處的切線方程；(2)求曲線過點的切線方程。 ［剖析］“該曲線過點的切線”與“該曲線在點處的切線方程”是有區(qū)別的：過點的切線中，點不一定是切點；在點處的切線中，點是切點。 ［評注］(1)求函數(shù)圖象上點處的切線方程的關鍵在于確定該點切線處的斜率，由導數(shù)的幾何意義知，故當存在時，切線方程為求曲線的切線要注意“過點的切線”與“點處的切線”的差異.過點的切線中，點不一定是切點，點也不一定在已知曲線上；點處的切線，點是切點。 (2)要準確理解曲線切線的概念，①如直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質特征，一方面，直線與曲線只有一個公共點 直線是曲線的切線，例如：拋物線的對稱軸與其拋物線有且僅有一個交點，但對稱軸不是拋物線的切線；另一方面，直線是曲線的切線 直線與曲線有且僅有一個公共點，例如本題中曲線與其切線有兩個公共點，又如曲線與其切線有無數(shù)個公共點!②曲線未必在其切線的“同側”，例如直線雖然“穿過”曲線，但它卻是曲線在點(0,0)處的切線。 (3)要深入體會切線定義中的運動變化思想：①兩個不同的公共點兩公共點無限接近兩公共點重合(切點)；②割線切線。 【例4】在曲線y=x3－x上有兩個點O(0，0)、A(2，6)，求弧OA上點P的坐標，使△AOP的面積最大. ［剖析］本題主要考查數(shù)形結合的數(shù)學思想及導數(shù)的幾何意義.由于|OA|是定值,所以若將點P的位置轉化到與曲線y=x3－x相切且與OA平行的位置，此時點P到|OA|的距離最大;也可設點，構造目標函數(shù)求最值. ［評注］利用導數(shù)求曲線的切線方程，幾乎是新課程高考每年必考的內容，既有可能出現(xiàn)在選擇、填空題中，也有可能出現(xiàn)在解答題中. 在這類問題中，導數(shù)所擔負的任務是求出其切線的斜率，這類問題的核心部分是考查函數(shù)的思想方法與解析幾何的基本思想。 【例5】若直線y=3x+1是曲線y=x3－a的一條切線，求實數(shù)a的值. 【例6】已知拋物線或，如果直線同時是和的切線，則稱是和的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段。 (1)取什么值時和有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程； (2)若和有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分。 ［剖析］分別求曲線和的切線方程，由于和有且僅有一條公切線，從而列出方程組，求解的取值，進行得到公切線方程；而對于證明相應的兩條公切線段互相平分的問題，只需要證明這兩條切線的中點是同一點即可. ［評注］可以利用導數(shù)求曲線的切線方程，由于函數(shù)在處的導數(shù)表示曲線在點處切線的斜率，因此，曲線在點處的切線方程，可按如下方式求得： 第一，求出函數(shù)在處的導數(shù)，即曲線在點處切線的斜率； 第二，在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程； 如果曲線在點的切線平行于軸(此時導數(shù)不存在)時，由切線的定義可知，切線的方程為. 【針對練習】 1．y=ln, 則y’ 等于（　） ?。? B.-x C. D. － 2．已知f(x)=·sinx，則f’(1)=( ) A .+cos1 B. sin1+cos1 C. sin1-cos1 D.sin1+cos1 3．（2006年安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為 A． B．　　　C． 　D． 4．曲線y=x3+3x2+6x－10的切線中，斜率最小的切線方程是（　　?。? A.3x+y－10=0 B.3x－y－11=0 C.x=－1 D.不存在 5．（2006年全國II）過點（－1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線為 （A） （B） （C） （D） 6．（2006年福建卷）已知直線與拋物線相切，則 7．（2006年湖南卷）曲線和在它們交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積 是 　　 . 8．（2006年湖北卷）半徑為r的圓的面積S(r)＝r2,周長C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r2)`＝2r （1）　　（1）式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于（1）的式子： （2）（2）式可以用語言敘述為： 　　　　　 。 9．（2004年高考重慶卷）已知曲線，求過點P（2，4）的切線方程. 10．曲線y=x2+1上過點P的切線與曲線y=－2x2－1相切，求點P的坐標. 第八節(jié)參考答案 【課前訓練】 1．答案：D　　解析：曲線，導數(shù)，在點處的切線的斜率為，所以切線方程是，選D. 2．答案：C　　3．答案：B　　4．答案：20m/s　　5．答案： 【試題精析】 【例1】解：（1）kAB==－2，∴y=－2（x－4）∴所求割線AB所在直線方程為2x+y－8=0. （2）=－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－32+3×4=3. ∴C點坐標為（3，3），所求切線方程為2x+y－9=0. 【例2】解：由于 ，所以，又， 依題意得，即，，得。 【例3】解：(1)所求切線的斜率為，故所求的曲線的切線方程為即 (2)設曲線與過點的切線相切于點，則切線的斜率為，切線方程為，因為點在切線上，所以，解得或，故所求的切線的方程為：或 【例4】解：〖解法一〗因為kOA=3，所以過弧OA上點P的直線的斜率k′=kOA=3. 所以k′=y′=3x2－1=3.所以3x2=4. 所以x=或x=－ (舍去). 所以x=,y=，即P(，). 〖解法二〗設P(a,a3－a),∵O(0,0)、A(2,6),∴直線OA的方程為3x－y=0. 點P到它的距離為d==|a3－4a|, ∵0＜a＜2,∴4a＞a3.∴d= (4a－a3). ∵(d)′= (4－3a2),令4－3a2=0,得a=或a=－. ∵0＜a＜2,∴x=a=時取最大值，此時y=()3－=. ∴P(，). 【例5】解：設切點為P（x0，y0），對y=x3－a求導數(shù)是=3x2，∴3x02=3.∴x0=±1. （1）當x=1時，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×1+1=4，即P（1，4）. 又P（1，4）也在y=x3－a上，∴4=13－a.∴a=－3. （2）當x=－1時，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×（－1）+1=－2，即P（－1，－2）. 又P（－1，－2）也在y=x3－a上，∴－2=（－1）3－a.∴a=1. 綜上可知，實數(shù)a的值為－3或1. 【例6】解：(1)函數(shù)的導數(shù)是，曲線在點處的切線方程為：，即 ① 函數(shù)的導數(shù)是，曲線在點處的切線方程為： ，即 ② 如果直線是過點和的公切線，則①②都是直線的方程，從而有 消去得方程，由，得. 此時，即點和重合.故當時，和有且僅有一條公切線，此公切線方程為. (2)由(1)知，當時，和有兩條公切線.設其中的一條公切線在和上的切點分別為， 則 即公切線段的中點是 同理可證，另一條公切線段的中點也是，所以公切線段和相互平分。 【針對練習】 1．答案：D　　2．答案：B 3．解：與直線垂直的直線為，即在某一點的導數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為，故選A 4．分析:本題考查導數(shù)的幾何意義及常見函數(shù)的導數(shù). 答案:B　解析:y′=3x2+6x+6=3(x+1)2+3.當x=－1時,y′min=3,y=－1+3－6－10=－14. ∴斜率為3，經過點(－1，－14)的直線方程是y+14=3(x+1),即3x－y－11=0. 5．解：，設切點坐標為，則切線的斜率為2，且 于是切線方程為，因為點（－1，0）在切線上，可解得 ＝0或－4，代入可驗正D正確。選D 6．解析：直線與拋物線相切，將y=x－1代入拋物線方程得，∴ ，a= 7．解析：曲線和在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與軸所圍成的三角形的面積是. 8．解：V球＝，又 故（2）式可填，用語言敘述為“球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)?！? 9．解:∵ P（2，4）在曲線上,當切點為P（2，4）時, , ∴過點P（2，4）的切線方程為; 當切點不是P（2，4）時,設切點為, 則,又(), ∴,即, 又,∴, 即,, ,,又 ∴∴切點為,∴過點P（2，4）的切線方程為. 綜合得過點P（2，4）的切線方程為或. 10．解：(方法一)設P（x0，y0），由題意知曲線y=x2+1在P點的切線斜率為k=2x0， 切線方程為y=2x0x+1－x02，而此直線與曲線y=－2x2－1相切， ∴切線與曲線只有一個交點，即方程2x2+2x0x+2－x02=0的判別式 Δ=4x02－2×4×（2－x02）=0. 解得x0=±，y0=. ∴P點的坐標為（，）或（－，） (方法二)設,分別為切線與曲線和的切點. 則,,,消去得 ,,∴P點的坐標為（，）或（－，）.