全國各地中考數(shù)學(xué)解析匯編39 閱讀理解型問題
全國各地中考數(shù)學(xué)解析匯編39 閱讀理解型問題
21.(2012四川達州,21,8分)(8分)問題背景
若矩形的周長為1,則可求出該矩形面積的最大值.我們可以設(shè)矩形的一邊長為,面積為,則與的函數(shù)關(guān)系式為: ﹥0),利用函數(shù)的圖象或通過配方均可求得該函數(shù)的最大值.
提出新問題
若矩形的面積為1,則該矩形的周長有無最大值或最小值?若有,最大(小)值是多少?
分析問題
若設(shè)該矩形的一邊長為,周長為,則與的函數(shù)關(guān)系式為:
(﹥0),問題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大(小)值了.
解決問題
借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗,探索函數(shù)(﹥0)的最大(?。┲?
(1)實踐操作:填寫下表,并用描點法畫出函數(shù)(﹥0)的圖象:
(2)觀察猜想:觀察該函數(shù)的圖象,猜想當
= 時,函數(shù)(﹥0)
有最 值(填“大”或“小”),是 .
(3)推理論證:問題背景中提到,通過配方可求二次函數(shù)﹥0)的最
大值,請你嘗試通過配方求函數(shù)(﹥0)的最大(小)值,以證明你的
猜想. 〔提示:當>0時,〕
解析:對于(1)按照畫函數(shù)圖象的列表、描點、連線三步驟進行即可;對于(2),由結(jié)合圖表可知有最小值為4;對于(3),可按照提示,用配方法來求出。
答案:(1)
…………………………………………..(1分)
………………………………………….(3分)
(2)1、小、4………………………………………………………………………..(5分)
(3)證明:
………………………………………………(7分)
當時,的最小值是4
即=1時,的最小值是4………………………………………………………..(8分)
點評:本題以閱讀理解型的形式,考查學(xué)生畫函數(shù)圖象的基本步驟及結(jié)合圖表求函數(shù)最值的觀察力,考察了學(xué)生的模仿能力、配方思想和類比的能力。
28.(2012江蘇省淮安市,28,12分)閱讀理解
如題28-1圖,△ABC中,沿∠BAC的平分線AB1折疊,剪掉重疊部分;將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊,剪掉重疊部分;將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊,點Bn與點C重合.無論折疊多少次,只要最后一次恰好重合,我們就稱∠BAC是△ABC的好角.
小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形.
情形一:如題28-2圖,沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊,點B與點C重合;
情形二:如題28-3圖,沿 △ABC的∠BAC的平分線AB1折疊,剪掉重疊部分;將余下的部分沿∠B1A1C的平分線 A1B2折疊,此時點B1與點C重合.
探究發(fā)現(xiàn)
(1)△ABC中,∠B=2∠C,經(jīng)過兩次折疊,∠BAC是不是△ABC的好角? .(填:“是”或“不是”).
(2)小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角,請?zhí)骄俊螧與∠C(不妨設(shè)∠B>∠C)之間的等量關(guān)系.
根據(jù)以上內(nèi)容猜想:若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角,則∠B與∠C(不妨設(shè)∠B>∠C)之問的等量
關(guān)系為 .
應(yīng)用提升
(3)小麗找到一個三角形,三個角分別為15º,60º,l05º,發(fā)現(xiàn)60º和l05º的兩個角都是此三角形的好角.
請你完成,如果一個三角形的最小角是4º,試求出三角形另外兩個角的度數(shù),使該三角形的三個角均是此三角形的好角.
【解析】(1)利用三角形外角的性質(zhì)和折疊對稱性即可解決;(2)根據(jù)第(1)問的結(jié)論繼續(xù)探索;(3)利用“好角”的定義和三角形內(nèi)角和列出方程解之.具體過程見以下解答.
【答案】解: (1) 由折疊的性質(zhì)知,∠B=∠AA1B1.因為∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,而∠B=2∠C,所以∠A1B1C=∠C,就是說第二次折疊后∠A1B1C與∠C重合,因此∠BAC是△ABC的好角.
(2)因為經(jīng)過三次折疊∠BAC是△ABC的好角,所以第三次折疊的∠A2B2C=∠C.如圖12-4所示.
圖12-4
因為∠ABB1=∠AA1B1,∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,又∠A1B1C=∠A1A2B2,∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C,所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C.
由上面的探索發(fā)現(xiàn),若∠BAC是△ABC的好角,折疊一次重合,有∠B=∠C;折疊二次重合,有∠B=2∠C;折疊三次重合,有∠B=3∠C;…;由此可猜想若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角,則∠B=n∠C.
(3)因為最小角是4º是△ABC的好角,根據(jù)好角定義,則可設(shè)另兩角分別為4mº,4mnº(其中m、n都是正整數(shù)).
由題意,得4m+4mn+4=180,所以m(n+1)=44.
因為m、n都是正整數(shù),所以m與n+1是44的整數(shù)因子,因此有:m=1,n+1=44;m=2,n+1=22;m=4,n+1=11;m=11,n+1=4;m=22,n+1=2.所以m=1,n=43;m=2,n=21;m=4,n=10;m=11,n=3;m=22,n=1.
所以4m=4,4mn=172;4m=8,4mn=168;4m=16,4mn=160;4m=44,4mn=132;4m=88,4mn=88.
所以該三角形的另外兩個角的度數(shù)分別為:4º,172º;8º,168º;16º,160º;44º,132º;88º,88º.
【點評】本題主要考查軸對稱圖形、等腰三角形、三角形形的內(nèi)角和定理及因式分解等知識點的理解和掌握,本題是閱讀理解題,解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意,理清題目中數(shù)字和字母的對應(yīng)關(guān)系和運算規(guī)則,然后套用題目提供的對應(yīng)關(guān)系解決問題,具有一定的區(qū)分度.
23.(2012湖北咸寧,23,10分)如圖1,矩形MNPQ中,點E,F(xiàn),G,H分別在NP,PQ,QM,MN上,若,則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形.圖2,圖3,圖4中,四邊形ABCD為矩形,且,.
圖2
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
G
H
E
F
1
2
3
4
M
A
B
C
D
E
F
M
N
P
Q
G
H
E
F
1
2
3
4
圖1
圖3
(第23題)
圖4
理解與作圖:
(1)在圖2、圖3中,點E,F(xiàn)分別在BC,CD邊上,試利用正方形網(wǎng)格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH.
計算與猜想:
(2)求圖2,圖3中反射四邊形EFGH的周長,并猜想矩形ABCD的反射四邊形的周長是否為定值?
啟發(fā)與證明:
(3)如圖4,為了證明上述猜想,小華同學(xué)嘗試延長GF交BC的延長線于M,試利用小華同學(xué)給我們的啟發(fā)證明(2)中的猜想.
【解析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu),作出相等的角得到反射四邊形;
(2)圖2中,利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的長度,然后可得周長;圖3中利用勾股定理求出EF=GH,F(xiàn)G=HE的長度,然后求出周長,得知四邊形EFGH的周長是定值;
(3)證法一:延長GH交CB的延長線于點N,再利用“角邊角”證明Rt△FCE≌Rt△FCM,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=MF,EC=MC,同理求出NH=EH,NB=EB,從而得到MN=2BC,再證明GM=GN,過點G作GK⊥BC于K,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出MK=MN=8,再利用勾股定理求出GM的長度,然后可求出四邊形EFGH的周長;
證法二:利用“角邊角”證明Rt△FCE≌Rt△FCM,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=MF,EC=MC,再根據(jù)角的關(guān)系推出∠M=∠HEB,根據(jù)同位角相等,兩直線平行可得HE∥GF,同理可證GH∥EF,所以四邊形EFGH是平行四邊形,過點G作GK⊥BC于K,根據(jù)邊的關(guān)系推出MK=BC,再利用勾股定理列式求出GM的長度,然后可求出四邊形EFGH的周長.
【答案】(1)作圖如下: 2分
(2)解:在圖2中,,
∴四邊形EFGH的周長為. 3分
在圖3中,,.
∴四邊形EFGH的周長為. 4分
猜想:矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值. 5分
(3)如圖4,證法一:延長GH交CB的延長線于點N.
A
B
C
D
G
H
E
F
1
2
3
4
M
圖4
N
K
5
∵,,
∴.
而,
∴Rt△FCE≌Rt△FCM.
∴,. 6分
同理:,.
∴. 7分
∵,,
∴. ∴. 8分
過點G作GK⊥BC于K,則. 9分
∴.
∴四邊形EFGH的周長為. 10分
證法二:∵,, ∴.
而, ∴Rt△FCE≌Rt△FCM.
∴,. 6分
∵,,
而, ∴.
∴HE∥GF. 同理:GH∥EF.
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
∴. 而,
∴Rt△FDG≌Rt△HBE. ∴.
過點G作GK⊥BC于K,則
∴.
∴四邊形EFGH的周長為.
【點評】本題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,矩形的性質(zhì),讀懂題意理解“反射四邊形EFGH”特征是解題的關(guān)鍵.
25.(2012貴州黔西南州,25,14分)問題:
已知方程x2+x-1=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍.
解:設(shè)所求方程的根為y,則y=2x,所以x=.
把x=代入已知方程,得()2+-1=0.
化簡,得:y2+2y-4=0.
故所求方程為y2+2y-4=0.
這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱為“換根法”.請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程(要求:把所求方程化成一般形式):
(1)已知方程x2+x-2=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的相反數(shù).
(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不等于零的實數(shù)根,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的倒數(shù).
【解析】按照題目給出的范例,對于(1)的“根相反”,用“y=-x”作替換;對于(2)的“根是倒數(shù)”,用“y=”作替換,并且注意有“不等于零的實數(shù)根”的限制,要進行討論.
【答案】(1)設(shè)所求方程的根為y,則y=-x,所以x=-y.………………(2分)
把x=-y代入已知方程x2+x-2=0,
得(-y)2+(-y)-2=0.………………(4分)
化簡,得:y2-y-2=0.………………(6分)
(2)設(shè)所求方程的根為y,則y=,所以x=.………………(8分)
把x=代如方程ax2+bx+c=0得.
a()2+b·+c=0,………………(10分)
去分母,得,a+by+cy2=0.……………………(12分)
若c=0,有ax2+bx=0,于是方程ax2+bx+c=0有一個根為0,不符合題意.
∴c≠0,故所求方程為cy2+by+a=0(c≠0).……………………(14分)
【點評】本題屬于閱讀理解題,讀懂題意,理解題目講述的方法的基礎(chǔ);在實際解題時,還要靈活運用題目提供的方法進行解題,實際上是數(shù)學(xué)中“轉(zhuǎn)化”思想的運用.
八、(本大題16分)
26.(2012貴州黔西南州,26,16分)如圖11,在平面直角坐標系xoy中,已知拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0)拋物線的對稱軸l與x軸相交于點M.
(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式和對稱軸.
(2)設(shè)點P為拋物線(x>5)上的一點,若以A、O、M、P為頂點的四邊形的四條邊的長度為四個連續(xù)的正整數(shù).請你直接寫出點P的坐標.
(3)連接AC,探索:在直線AC下方的拋物線上是否存在一點N,使△NAC的面積最大?若存在,請你求出N的坐標;若不存在,請說明理由.
【解析】(1)已知拋物線上三點,用“待定系數(shù)法”確定解析式;(2)四邊形AOMP中,AO=4,OM=3,過A作x軸的平行線交拋物線于P點,這個P點符合要求“四條邊的長度為四個連續(xù)的正整數(shù)”;(3)使△NAC的面積最大,AC確定,需要N點離AC的距離最大,一種方法可以作平行于AC的直線,計算這條直線與拋物線只有一個交點時,這個交點即為N;另一種方法,過AC上任意一點作y軸的平行線交拋物線于N點,這樣△NAC被分成兩個三角形,建立函數(shù)解析式求最大值.
【答案】(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=a(x―1)·(x―5),………………(1分)
把點A(0,4)代入上式,得a=.………………(2分)
∴y=(x―1)(x―5)=x2―x+4=―(x―3)2―.………………(3分)
∴拋物線的對稱軸是x=3.…………(4分)
(2)點P的坐標為(6,4).………………(8分)
(3)在直線AC下方的拋物線上存在點N,使△NAC的面積最大,由題意可設(shè)點N的坐標為(t,t2―t+4)(0<t<5).………………(9分)
如圖,過點N作NG∥y軸交AC于點G,連接AN、CN.由點A(0,4)和點C(5,0)可求出直線AC的解析式為:y=―x+4.………………(10分)
把x=t代入y=―x+4得y=―t+4,
則G(t,―t+4).………………(11分)
此時NG=―t+4―(t2―t+4)=―t2+t.………………(12分)
∴S△NAC=NG·OC=(-t2+t)×5
=―2t2+10t=―2(t-)2+.………………(13分)
又∵0<t<5,
∴當t=時,△CAN的面積最大,最大值為.………………(14分)
t=時,t2-t+4=-3.………………(15分)
∴點N的坐標為(,-3).……………………(16分)
【點評】本題是一道二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形的綜合題,其中第(3)問也是一道具有難度的“存在性”探究問題.本題主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用.
專項十 閱讀理解題
19. (2012山東省臨沂市,19,3分)讀一讀:式子“1+2+3+4+……+100”表示從1開始的100個連續(xù)自然數(shù)的和,由于式子比較長,書寫不方便,為了簡便起見,我們將其表示為,這里“”是求和符號,通過以上材料的閱讀,計算= .
【解析】式子“1+2+3+4+……+100”的結(jié)果是,即=;
又∵,,………,
∴=++…+=1-,
∴ ==++…+=1-=.
【答案】
【點評】本題是一道找規(guī)律的題目,要求學(xué)生的通過觀察,分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題.此題重點除首位兩項外,其余各項相互抵消的規(guī)律.
23. (2012浙江省嘉興市,23,12分)將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ度,并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍,得△AB′ C′ ,即如圖①,∠BAB′ =θ,,我們將這種變換記為.
(1)如圖①,對△ABC作變換得△AB′ C′ ,則: =_______;直線BC與
直線B′C′所夾的銳角為_______度;
(2)如圖② ,△ABC中,∠BAC=30° ,∠ACB=90° ,對△ABC作變換得△AB′ C′ ,使
點B、C、在同一直線上,且四邊形ABB′C′為矩形,求θ和n的值;
(3)如圖③ ,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36° ,BC=1,對△ABC作變換得△AB′C′ ,
使點B、C、B′在同一直線上,且四邊形ABB′C′為平行四邊形,求θ和n的值.
【解析】(1) 由題意知, θ為旋轉(zhuǎn)角, n為位似比.由變換和相似三角形的面積比等于相似比的平方,得: = 3, 直線BC與直線B′C′所夾的銳角為60°;
(2)由已知條件得θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=60°.由直角三角形中, 30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半得n==2.
(3) 由已知條件得θ=∠CAC′=∠ACB=72°.再由兩角對應(yīng)相等,證得△ABC∽△B′BA,由相似三角形的性質(zhì)求得n==.
【答案】(1) 3;60°.
(2) ∵四邊形ABB′C′是矩形,∴∠BAC′=90°.
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°.
在Rt△ABB′中,∠ABB′=90°, ∠BAB′=60°,
∴n==2.
(3) ∵四邊形ABB′C′是平行四邊形,∴AC′∥BB′,又∵∠BAC=36°
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°
∴∠C′AB′=∠ABB′=∠BAC=36°,而∠B=∠B,
∴△ABC∽△B′BA,∴AB2=CB·B′B=CB·(BC+CB′),
而CB′=AC=AB=B′C′, BC=1, ∴AB2=1·(1+AB)
∴AB=,∵AB>0,
∴n==.
【點評】本題是一道閱讀理解題.命題者首先定義了一種變換,要求考生根據(jù)這種定義解決相關(guān)的問題. 讀懂定義是解題的關(guān)鍵所在.
本題所涉及的知識點有相似三角形的面積比等于相似比的平方,黃金比等.
27.(2011江蘇省無錫市,27,8′)
對于平面直角坐標系中的任意兩點,我們把叫做兩點間的直角距離,記作.
(1)已知O為坐標原點,動點滿足=1,請寫出之間滿足的關(guān)系式,并在所給的直角坐標系中出所有符合條件的點P所組成的圖形;
(2)設(shè)是一定點,是直線上的動點,我們把的最小值叫做到直線的直角距離,試求點M(2,1)到直線的直角距離。
【解析】本題是信息給予題,題目中已經(jīng)把相關(guān)概念進行闡述,按照給出的定義題就可以。(1)已知O(0,0)和利用定義可知
=;(2)由=,
則利用絕對值的幾何意義可以求出點M(2,1)到直線的直角距離為3.
【答案】解:(1)有題意,得,
所有符合條件的點P組成的圖形如圖所示。
(2)∵
∴x可取一切實數(shù),表示數(shù)軸上實數(shù)x所對應(yīng)的點到數(shù)2和-1所對應(yīng)的點的距離之和,其最小值為3.
∴M(2,1)到直線的直角距離為3.
【點評】本題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用的及時應(yīng)用能力。這是中考的發(fā)展的大趨勢。
27.(2012江蘇鹽城,27,12分)知識遷移
當a>0且x>0時,因為()2≥0,所以x-2+≥0,從而x+≥2(當x=2時取等號).記函數(shù)y= x+( a>0,x>0),由上述結(jié)論可知:當x=2時,該函數(shù)有最小值為2.
直接應(yīng)用
已知函數(shù)y1=x(x>0)與函數(shù)y2=(x>0),則當x= 時,y1+y2取得最小值為 .
變形應(yīng)用
已知函數(shù)y1=x+1(x>-1)與函數(shù)y2=(x+1)2+4(x>-1),求的最小值,并指出取得該最小值時相應(yīng)的x的值.
實際應(yīng)用
已知某汽車的依次運輸成本包含以下三個部分:一是固定費用,共360元;二是燃油費,每千米1.6元;三是折舊費,它與路程的平方成正比,比例系數(shù)為0.001,設(shè)汽車一次運輸路程為x千米,求當x為多少時,該汽車平均每千米的運輸成本最低?最低是多少元?
【解析】本題考查了函數(shù)等知識.掌握和理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵.(1)通過閱讀發(fā)現(xiàn)x+≥2(當x=2時取等號).然后運用結(jié)論解決問題;
(2)構(gòu)造x+≥2,運用結(jié)論解決.
(3)解決實際問題.
【答案】直接應(yīng)用1,2
變形應(yīng)用=≥4,所以的最小值是4,此時x+1=,(x+1)2=4,
x=1.
實際應(yīng)用
設(shè)該汽車平均每千米的運輸成本為y,則y=360+1.6x+0.01x2,當x=8時,y有最小值,最低運輸成本是424(元).
【點評】數(shù)學(xué)的建模思想是一種重要的思想,能體現(xiàn)學(xué)生綜合應(yīng)用能力,具有一定的挑戰(zhàn)性,特別是運用函數(shù)來確定最大(?。┲禃r,要運用配方法得到函數(shù)的最小值.
24.(2012四川省資陽市,24,9分)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以AB為直徑的⊙O交BC于點D,交AC于點,連結(jié)DE,過點B作BP平行于DE,交⊙O于點P,連結(jié)EP、CP、OP.
(1)(3分)BD=DC嗎?說明理由;
(2)(3分)求∠BOP的度數(shù);
(3)(3分)求證:CP是⊙O的切線;
如果你解答這個問題有困難,可以參考如下信息:
為了解答這個問題,小明和小強做了認真的探究,然后分別用不同的思路完成了這個題目.在進行小組交流的時候,小明說:“設(shè)OP交AC于點G,證△AOG∽△CPG”;小強說:“過點C作CH⊥AB于點H,證四邊形CHOP是矩形”.
(第24題圖)
【解析】(1)連接AD,由∵AB是直徑得∠ADB=90°及等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出BD=DC
(2)由∠BAD=∠CAD得弧BD=弧DE,得BD=DE,得出∠DEC=∠DCE=75°,所以∠EDC=30°,BP∥DE,∴∠PBD=∠EDC=300,∴∠OBP=∠OPB=75°-30°=45°,∴∠BOP=90°
(3)要證CP是⊙O的切線即證OP⊥CP,在Rt△AOG中,∵∠OAG=30°,∴又∵,∴,∴又∵∠AGO=∠CGP∴△AOG∽△CPG得∠GPC=∠AOG=90°得證結(jié)論成立.
【答案】(1)BD=DC……………………………………1分
連結(jié)AD,∵AB是直徑,∴∠ADB=90°……………………………………………2分
∵AB=AC,∴BD=DC……………………………………………………………3分
(2)∵AD是等腰三角形ABC底邊上的中線 ∴∠BAD=∠CAD ∴弧BD與弧DE是等弧,
∴BD=DE……………4分
∴BD=DE=DC,∴∠DEC=∠DCE ∵△ABC中,AB=AC,∠A=30°
∴∠DCE=∠ABC=(180°-30°)=75°,∴∠DEC=75°
∴∠EDC=180°-75°-75°=30°
∵BP∥DE,∴∠PBC=∠EDC=30°……………………………5分
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75°-30°=45°
∵OB=OP,∴∠OBP=∠OPB=45°,∴∠BOP=90° …………6分
(3)證法一:設(shè)OP交AC于點G,則∠AOG=∠BOP =90°
在Rt△AOG中,∵∠OAG=30°,∴………………7分
又∵,∴,∴
又∵∠AGO=∠CGP
∴△AOG∽△CPG…………………………………8分
∴∠GPC=∠AOG=90°∴CP是⊙的切線………………………9分
證法二:過點C作CH⊥AB于點H,則∠BOP=∠BHC=90°,∴PO∥CH
在Rt△AHC中,∵∠HAC=30°,∴………………7分
又∵,∴PO=CH,∴四邊形CHOP是平行四邊形
∴四邊形CHOP是矩形……………………………8分
∴∠OPC=90°,∴CP是⊙的切線………………………9分
【點評】本題屬于幾何知識綜合運用題,主要考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)及常用輔助線、三角形相似判定、圓的性質(zhì)及圓切線的判定等知識.解答此類題應(yīng)具備綜合運用能力,包括知識綜合、方法綜合以及數(shù)學(xué)思想的綜合運用,能較好地區(qū)分出不同數(shù)學(xué)水平的學(xué)生,保證區(qū)分結(jié)果的穩(wěn)定性,從而確保試題具有良好的區(qū)分度,進而有利于高一級學(xué)校選拔新生.難度較大.
22. (2012浙江省紹興,22,12分)小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時,對課本“目標與評定”中的一道思考題,進行了認真的探索.
思 考 題
如圖,一架2.5米工的梯子AB斜靠在豎直
的墻AC上,這時B到墻底端C的距離為
0.7米,如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米,
那么點B將向外移動多少米?
(1)請你將小明對“思考題的解答補充完整:
解:設(shè)點B將向外移動x米,即BB1=x,
則B1C=x+0.7,A1C=AC-AA1=,
而A1B1=2.5,在Rt△A1B1C中,由B1C2+A1C2=A1B12,
得方程 ▲ ,
解方程x1= ▲ ,x2= ▲ ,
∴點B將向外移動 ▲ 米.
(2)解完“思考題”后,小陪提出了如下兩個問題:
在“思考題”中將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”,那么該題的答案會是0.9米嗎?為什么?
問 題 ②
在“思考題”中,梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離,有可能相等嗎?為什么?請你解答小聰提出的這兩個問題.
【解析】(1)根據(jù)題意求解一元二次方程即可;(2)根據(jù)題意建立勾股定理模型,通過計算驗證它是否符合題意;(3)在假設(shè)結(jié)論成立的條件下,建立一元二次方程模型,看看方程是否有實數(shù)解即可 .
【答案】解:(1),
0.8,-2.2(舍去),0.8.
(2)①不會是0.9米.
若AA1=BB1+0.9,則A1C=2.4-0.9-1.6,A1C-0.7+0.9=1.6
,.
∵A1C2+B1C2≠A1B12,∴該題的答案不會是0.9米.
②有可能.
設(shè)梯子頂端從A處下滑1.7米時,點B向外也移動1.7米,腳梯子頂端從A 處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離有可能相等.
【點評】這是一道實際應(yīng)用題,解答本題的關(guān)鍵是借助勾股定理將實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題來求解..
25.(2012湖北隨州,25,13分) 在一次數(shù)學(xué)活動課上,老師出了一道題:
(1)解方程
巡視后,老師發(fā)現(xiàn)同學(xué)們解此題的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法).接著,老師請大家用自己熟悉的方法解第二題:
(2)解關(guān)于x的方程(m為常數(shù),且m≠0).
老師繼續(xù)巡視,及時觀察、點撥大家.再接著,老師將第二道題變式為第三道題:
(3)已知關(guān)于x的函數(shù)(m為常數(shù)).
①求證:不論m為何值,此函數(shù)的圖象恒過x軸、y軸上的兩個定點(設(shè)x軸上的定點為A,y軸上的定點為C);
②若m≠0時,設(shè)此函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為B.當△ABC為銳角三角形時,求m的取值范圍;當△ABC為鈍角三角形時,直接寫出m的取值范圍.
請你也用自己熟悉的方法解上述三道題.
解析:(1)、(2)兩問,用十字相乘法即可解決問題;(3)中的第①個問題,只要說明檔x=0或y=0時,對應(yīng)的函數(shù)值或自變量的值是一個常數(shù)即可,注意要分m=0和m≠0兩偵破那個情況討論;第②小題也要根據(jù)m的值的不同情況進行分類討論.
答案:解:(1)由x2-2x-3=0,得(x+1)(x-3)=0∴x1=1,x2=3
(2):由mx2+(m-3)x-3=0得(x+1)·(mx-3)=0
∵m≠0, ∴x1=-1,x2=
(3)①1°當m=0時,函數(shù)y= mx2+(m-3)x-3為y=-3x-3,令y=0,得x=-1
令x=0,則y=-3. ∴直線y=-3x-3過定點A(-1,0),C(0,-3)
2°當m≠0時,函數(shù)y= mx2+(m-3)x-3為y=(x+1)·(mx-3)
∴拋物線y=(x+1)·(mx-3)恒過兩定點A(-1,0),C(0,-3)和B(,0)
②當m>0時,由①可知拋物線開口向上,且過點A(-1,0),C(0,-3)和
B(,0), …1分
觀察圖象,可知,當⊿ABC為Rt⊿時,
則⊿AOC∽⊿COB∴
∴∴32=1×
∴OB=9.即B(9,0)
∴當.即:m>
當m>時,⊿ABC為銳角三角形
觀察圖象可知
當0<m<時,則B點在(9,0)的右邊時,∠ACB>90º,
當m<0且m≠-3時,點B在x軸的負半軸上,B與A不重合.
∴⊿ABC中的∠ABC>90º
∴⊿ABC是鈍角三角形.
∴當0<m<或m<0且m≠-3時,
⊿ABC為鈍角三角形 …………2分
點評:本題綜合考查了十字相乘法的因式分解、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等.考查了學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識和數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)的思想和方程的思想等多種數(shù)學(xué)思想方法來解決問題的能力. 其中兩處分類討論,就可以將中下層面的學(xué)生拒之題外.難度較大.