全國各地中考數(shù)學(xué)解析匯編39 閱讀理解型問題

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1、 全國各地中考數(shù)學(xué)解析匯編39 閱讀理解型問題 21．（2012四川達(dá)州，21，8分）（8分）問題背景 若矩形的周長為1，則可求出該矩形面積的最大值.我們可以設(shè)矩形的一邊長為，面積為，則與的函數(shù)關(guān)系式為： ﹥0），利用函數(shù)的圖象或通過配方均可求得該函數(shù)的最大值. 提出新問題 若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（?。┲凳嵌嗌?？ 分析問題 若設(shè)該矩形的一邊長為，周長為，則與的函數(shù)關(guān)系式為： （﹥0），問題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大（小）值了. 解決問題 借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探索函數(shù)（﹥0）的最大（?。┲? （1）實(shí)踐操作

2、：填寫下表，并用描點(diǎn)法畫出函數(shù)（﹥0）的圖象： （2）觀察猜想：觀察該函數(shù)的圖象，猜想當(dāng) = 時(shí)，函數(shù)（﹥0） 有最 值（填“大”或“小”），是 . （3）推理論證：問題背景中提到，通過配方可求二次函數(shù)﹥0）的最 大值，請(qǐng)你嘗試通過配方求函數(shù)（﹥0）的最大（?。┲?，以證明你的 猜想. 〔提示：當(dāng)＞0時(shí)，〕 解析：對(duì)于（1）按照畫函數(shù)圖象的列表、描點(diǎn)、連線三步驟進(jìn)行即可；對(duì)于（2），由結(jié)合圖表可知有最小值為4；對(duì)于（3），可按照提示，用配方法來求出。 答案：(1) ……

3、……………………………………..（1分） ………………………………………….（3分） （2）1、小、4………………………………………………………………………..（5分） （3）證明： ………………………………………………（7分） 當(dāng)時(shí)，的最小值是4 即=1時(shí)，的最小值是4………………………………………………………..（8分） 點(diǎn)評(píng)：本題以閱讀理解型的形式，考查學(xué)生畫函數(shù)圖象的基本步驟及結(jié)合圖表求函數(shù)最值的觀察力，考察了學(xué)生的模仿能力、配方思想和類比的能力。 28．（2012江蘇省淮安市，28，12分）閱讀理解 如題28

4、-1圖，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合．無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱∠BAC是△ABC的好角． 小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形． 情形一：如題28-2圖，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合； 情形二：如題28-3圖，沿 △ABC的∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下的部分沿∠B1A1C的平分線 A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合． 探究發(fā)現(xiàn)

5、 (1)△ABC中，∠B=2∠C，經(jīng)過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角? ．(填：“是”或“不是”)． (2)小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角，請(qǐng)?zhí)骄俊螧與∠C(不妨設(shè)∠B>∠C)之間的等量關(guān)系． 根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C(不妨設(shè)∠B>∠C)之問的等量 關(guān)系為 ． 應(yīng)用提升 (3)小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15o，60o，l05o，發(fā)現(xiàn)60o和l05o的兩個(gè)角都是此三角形的好角． 請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4o，試求出

6、三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角． 【解析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)和折疊對(duì)稱性即可解決；（2）根據(jù)第（1）問的結(jié)論繼續(xù)探索；（3）利用“好角”的定義和三角形內(nèi)角和列出方程解之．具體過程見以下解答． 【答案】解： (1) 由折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AA1B1.因?yàn)椤螦A1B1=∠A1B1C+∠C，而∠B=2∠C，所以∠A1B1C=∠C，就是說第二次折疊后∠A1B1C與∠C重合，因此∠BAC是△ABC的好角. （2）因?yàn)榻?jīng)過三次折疊∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折疊的∠A2B2C=∠C．如圖12-4所示. 圖12-4 因?yàn)椤螦BB1=∠AA1B1，

7、∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C． 由上面的探索發(fā)現(xiàn)，若∠BAC是△ABC的好角，折疊一次重合，有∠B=∠C；折疊二次重合，有∠B=2∠C；折疊三次重合，有∠B=3∠C；…；由此可猜想若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B=n∠C． （3）因?yàn)樽钚〗鞘?o是△ABC的好角，根據(jù)好角定義，則可設(shè)另兩角分別為4mo，4mno（其中m、n都是正整數(shù)）． 由題意，得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44． 因?yàn)閙、n都是正整數(shù)，所以m與n+

8、1是44的整數(shù)因子，因此有：m=1，n+1=44；m=2，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11，n+1=4；m=22，n+1=2．所以m=1，n=43；m=2，n=21；m=4，n=10；m=11，n=3；m=22，n=1． 所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160；4m=44，4mn=132；4m=88，4mn=88． 所以該三角形的另外兩個(gè)角的度數(shù)分別為：4o，172o；8o，168o；16o，160o；44o，132o；88o，88o． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軸對(duì)稱圖形、等腰三角形、三角形形的內(nèi)角和定理及因式分解等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，

9、本題是閱讀理解題，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，理清題目中數(shù)字和字母的對(duì)應(yīng)關(guān)系和運(yùn)算規(guī)則，然后套用題目提供的對(duì)應(yīng)關(guān)系解決問題，具有一定的區(qū)分度． 23．（2012湖北咸寧，23，10分）如圖1，矩形MNPQ中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在NP，PQ，QM，MN上，若，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形．圖2，圖3，圖4中，四邊形ABCD為矩形，且，． 圖2 A B C D E F A B C D G H E F 1 2 3 4 M A B C D E F M N P Q G H E F 1 2 3 4

10、 圖1 圖3 （第23題） 圖4 理解與作圖： （1）在圖2、圖3中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，試?yán)谜叫尉W(wǎng)格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH． 計(jì)算與猜想： （2）求圖2，圖3中反射四邊形EFGH的周長，并猜想矩形ABCD的反射四邊形的周長是否為定值？ 啟發(fā)與證明： （3）如圖4，為了證明上述猜想，小華同學(xué)嘗試延長GF交BC的延長線于M，試?yán)眯∪A同學(xué)給我們的啟發(fā)證明（2）中的猜想． 【解析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出相等的角得到反射四邊形； （2）圖2中，利用勾股定理求出EF＝FG＝GH＝HE的長度，然后可得周長；圖3中利用勾

11、股定理求出EF＝GH，F(xiàn)G＝HE的長度，然后求出周長，得知四邊形EFGH的周長是定值； （3）證法一：延長GH交CB的延長線于點(diǎn)N，再利用“角邊角”證明Rt△FCE≌Rt△FCM，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF＝MF，EC＝MC，同理求出NH＝EH，NB＝EB，從而得到MN＝2BC，再證明GM＝GN，過點(diǎn)G作GK⊥BC于K，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出MK＝MN＝8，再利用勾股定理求出GM的長度，然后可求出四邊形EFGH的周長； 證法二：利用“角邊角”證明Rt△FCE≌Rt△FCM，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF＝MF，EC＝MC，再根據(jù)角的關(guān)系推出∠M＝∠HEB，根據(jù)同位角相等，

12、兩直線平行可得HE∥GF，同理可證GH∥EF，所以四邊形EFGH是平行四邊形，過點(diǎn)G作GK⊥BC于K，根據(jù)邊的關(guān)系推出MK＝BC，再利用勾股定理列式求出GM的長度，然后可求出四邊形EFGH的周長． 【答案】（1）作圖如下： 2分 （2）解：在圖2中，， ∴四邊形EFGH的周長為． 3分 在圖3中，，． ∴四邊形EFGH的周長為． 4分 猜想：矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值． 5分 （3）如圖4，證法一：延長GH交CB的延長線于點(diǎn)N． A B C D G H E F 1 2 3 4 M 圖4 N K 5 ∵，， ∴． 而，

13、 ∴Rt△FCE≌Rt△FCM． ∴，． 6分 同理：，． ∴． 7分 ∵，， ∴． ∴． 8分 過點(diǎn)G作GK⊥BC于K，則． 9分 ∴． ∴四邊形EFGH的周長為． 10分 證法二：∵，， ∴． 而， ∴Rt△FCE≌Rt△FCM． ∴，． 6分 ∵，， 而， ∴． ∴HE∥GF． 同理：GH∥EF． ∴四邊形EFGH是平行四邊形． ∴． 而， ∴Rt△FDG≌Rt△HBE． ∴． 過點(diǎn)G作GK⊥BC于K，則 ∴． ∴四邊形EFGH的周長為． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾

14、股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，讀懂題意理解“反射四邊形EFGH”特征是解題的關(guān)鍵． 25．(2012貴州黔西南州，25，14分)問題： 已知方程x2＋x－1=0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍． 解：設(shè)所求方程的根為y，則y=2x，所以x=． 把x=代入已知方程，得()2＋－1=0． 化簡，得：y2＋2y－4=0． 故所求方程為y2＋2y－4=0． 這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程(要求：把所求方程化成一般形式)： (1)已知方程x2＋x－2=0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)

15、． (2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)． 【解析】按照題目給出的范例，對(duì)于(1)的“根相反”，用“y=－x”作替換；對(duì)于(2)的“根是倒數(shù)”，用“y=”作替換，并且注意有“不等于零的實(shí)數(shù)根”的限制，要進(jìn)行討論． 【答案】(1)設(shè)所求方程的根為y，則y=－x，所以x=－y．………………(2分) 把x=－y代入已知方程x2＋x－2=0， 得(－y)2＋(－y)－2=0．………………(4分) 化簡，得：y2－y－2=0．………………(6分) (2)設(shè)所求方程的根為y，則y=，所以x=．…

16、……………(8分) 把x=代如方程ax2＋bx＋c=0得． a()2＋b·＋c=0，………………(10分) 去分母，得，a＋by＋cy2=0．……………………(12分) 若c=0，有ax2＋bx=0，于是方程ax2＋bx＋c=0有一個(gè)根為0，不符合題意． ∴c≠0，故所求方程為cy2＋by＋a=0(c≠0)．……………………(14分) 【點(diǎn)評(píng)】本題屬于閱讀理解題，讀懂題意，理解題目講述的方法的基礎(chǔ)；在實(shí)際解題時(shí)，還要靈活運(yùn)用題目提供的方法進(jìn)行解題，實(shí)際上是數(shù)學(xué)中“轉(zhuǎn)化”思想的運(yùn)用． 八、(本大題16分) 26．(2012貴州黔西南州，26，16分)如圖11，在平面直角坐標(biāo)系xo

17、y中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)拋物線的對(duì)稱軸l與x軸相交于點(diǎn)M． (1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式和對(duì)稱軸． (2)設(shè)點(diǎn)P為拋物線(x＞5)上的一點(diǎn)，若以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊的長度為四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)．請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)． (3)連接AC，探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積最大？若存在，請(qǐng)你求出N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【解析】(1)已知拋物線上三點(diǎn)，用“待定系數(shù)法”確定解析式；(2)四邊形AOMP中，AO=4，OM=3，過A作x軸的平行線交拋物線于P點(diǎn)，這個(gè)P點(diǎn)符合要求“四條邊的長度為四個(gè)連續(xù)的正

18、整數(shù)”；(3)使△NAC的面積最大，AC確定，需要N點(diǎn)離AC的距離最大，一種方法可以作平行于AC的直線，計(jì)算這條直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這個(gè)交點(diǎn)即為N；另一種方法，過AC上任意一點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于N點(diǎn)，這樣△NAC被分成兩個(gè)三角形，建立函數(shù)解析式求最大值． 【答案】(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=a(x―1)·(x―5)，………………(1分) 把點(diǎn)A(0，4)代入上式，得a=．………………(2分) ∴y=(x―1)(x―5)=x2―x＋4=―(x―3)2―．………………(3分) ∴拋物線的對(duì)稱軸是x=3．…………(4分) (2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，4)．…

19、……………(8分) (3)在直線AC下方的拋物線上存在點(diǎn)N，使△NAC的面積最大，由題意可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(t，t2―t＋4)(0＜t＜5)．………………(9分) 如圖，過點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于點(diǎn)G，連接AN、CN．由點(diǎn)A(0，4)和點(diǎn)C(5，0)可求出直線AC的解析式為：y=―x＋4．………………(10分) 把x=t代入y=―x＋4得y=―t＋4， 則G(t，―t＋4)．………………(11分) 此時(shí)NG=―t＋4―(t2―t＋4)=―t2＋t．………………(12分) ∴S△NAC=NG·OC=(－t2＋t)×5 =―2t2＋10t=―2(t－)2＋．………………(13分)

20、 又∵0＜t＜5， ∴當(dāng)t=時(shí)，△CAN的面積最大，最大值為．………………(14分) t=時(shí)，t2－t＋4=－3．………………(15分) ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，－3)．……………………(16分) 【點(diǎn)評(píng)】本題是一道二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形的綜合題，其中第(3)問也是一道具有難度的“存在性”探究問題．本題主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用． 專項(xiàng)十 閱讀理解題 19. (2012山東省臨沂市，19，3分）讀一讀：式子“1+2+3+4+……+100”表示從1開始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，由于式子比較長，書寫不方便，為了簡便起見，我們將其表示為，這里“”是求和符號(hào)，

21、通過以上材料的閱讀，計(jì)算= . 【解析】式子“1+2+3+4+……+100”的結(jié)果是，即=； 又∵，，………， ∴=++…+=1-， ∴ ==++…+=1-=. 【答案】 【點(diǎn)評(píng)】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生的通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．此題重點(diǎn)除首位兩項(xiàng)外，其余各項(xiàng)相互抵消的規(guī)律． 23. （2012浙江省嘉興市，23，12分）將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ度,并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍,得△AB′ C′ ,即如圖①,∠BAB′ ＝θ,,我們將這種變換記為. (1)如圖①,對(duì)△ABC作變換得△AB′ C′ ,則:

22、 =_______;直線BC與 直線B′C′所夾的銳角為_______度; (2)如圖② ,△ABC中,∠BAC=30° ,∠ACB=90° ,對(duì)△ABC作變換得△AB′ C′ ,使 點(diǎn)B、C、在同一直線上,且四邊形ABB′C′為矩形,求θ和n的值; (3)如圖③ ,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36° ,BC=1,對(duì)△ABC作變換得△AB′C′ , 使點(diǎn)B、C、B′在同一直線上,且四邊形ABB′C′為平行四邊形,求θ和n的值. 【解析】(1) 由題意知, θ為旋轉(zhuǎn)角, n為位似比.由變換和相似三角形的面積比等于相似比的平方,得: = 3, 直線BC與直線B′C′所夾的銳角

23、為60°; (2)由已知條件得θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝60°.由直角三角形中, 30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得n＝＝2. (3) 由已知條件得θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72°.再由兩角對(duì)應(yīng)相等,證得△ABC∽△B′BA,由相似三角形的性質(zhì)求得n＝＝. 【答案】(1) 3;60°. (2) ∵四邊形ABB′C′是矩形,∴∠BAC′＝90°. ∴θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝90°－30°＝60°. 在Rt△ABB′中，∠ABB′＝90°, ∠BAB′＝60°, ∴n＝＝2. (3) ∵四邊形ABB′C′是平行四邊形,∴AC′∥BB′,又∵∠BAC＝3

24、6° ∴θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72° ∴∠C′AB′＝∠ABB′＝∠BAC＝36°,而∠B＝∠B, ∴△ABC∽△B′BA,∴AB2＝CB·B′B＝CB·(BC+CB′), 而CB′＝AC＝AB＝B′C′, BC＝1, ∴AB2＝1·(1+AB) ∴AB＝,∵AB＞0, ∴n＝＝. 【點(diǎn)評(píng)】本題是一道閱讀理解題.命題者首先定義了一種變換,要求考生根據(jù)這種定義解決相關(guān)的問題. 讀懂定義是解題的關(guān)鍵所在. 本題所涉及的知識(shí)點(diǎn)有相似三角形的面積比等于相似比的平方,黃金比等. 27.（2011江蘇省無錫市，27，8′） 對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn),我們把叫做

25、兩點(diǎn)間的直角距離，記作. (1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足=1，請(qǐng)寫出之間滿足的關(guān)系式，并在所給的直角坐標(biāo)系中出所有符合條件的點(diǎn)P所組成的圖形； （2）設(shè)是一定點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，我們把的最小值叫做到直線的直角距離，試求點(diǎn)M（2,1）到直線的直角距離。 【解析】本題是信息給予題，題目中已經(jīng)把相關(guān)概念進(jìn)行闡述，按照給出的定義題就可以。（1）已知O(0,0)和利用定義可知 =；（2）由=， 則利用絕對(duì)值的幾何意義可以求出點(diǎn)M（2,1）到直線的直角距離為3. 【答案】解：（1）有題意，得， 所有符合條件的點(diǎn)P組成的圖形如圖所示。 （2）∵ ∴x可取一切實(shí)數(shù)，表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)x所對(duì)應(yīng)的

26、點(diǎn)到數(shù)2和-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，其最小值為3. ∴M（2,1）到直線的直角距離為3. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用的及時(shí)應(yīng)用能力。這是中考的發(fā)展的大趨勢。 27．（2012江蘇鹽城，27，12分）知識(shí)遷移 當(dāng)a＞0且x＞0時(shí)，因?yàn)椋ǎ?≥0，所以x-2+≥0，從而x+≥2（當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)）．記函數(shù)y= x+( a＞0,x＞0),由上述結(jié)論可知：當(dāng)x=2時(shí)，該函數(shù)有最小值為2. 直接應(yīng)用 已知函數(shù)y1=x（x＞0）與函數(shù)y2=（x＞0）,則當(dāng)x= 時(shí)，y1+y2取得最小值為 . 變形應(yīng)用 已知函數(shù)y1=x+1（x＞-1）與函數(shù)y2=(

27、x+1)2+4（x＞-1）,求的最小值，并指出取得該最小值時(shí)相應(yīng)的x的值. 實(shí)際應(yīng)用 已知某汽車的依次運(yùn)輸成本包含以下三個(gè)部分：一是固定費(fèi)用，共360元；二是燃油費(fèi)，每千米1.6元；三是折舊費(fèi)，它與路程的平方成正比，比例系數(shù)為0.001，設(shè)汽車一次運(yùn)輸路程為x千米，求當(dāng)x為多少時(shí)，該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本最低？最低是多少元？ 【解析】本題考查了函數(shù)等知識(shí)．掌握和理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵.（1）通過閱讀發(fā)現(xiàn)x+≥2（當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)）．然后運(yùn)用結(jié)論解決問題； （2）構(gòu)造x+≥2，運(yùn)用結(jié)論解決. （3）解決實(shí)際問題. 【答案】直接應(yīng)用1,2 變形應(yīng)用=≥4，所以的最小值是4，

28、此時(shí)x+1=,(x+1)2=4， x=1. 實(shí)際應(yīng)用 設(shè)該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本為y，則y=360+1.6x+0.01x2，當(dāng)x=8時(shí)，y有最小值，最低運(yùn)輸成本是424（元）. 【點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)的建模思想是一種重要的思想，能體現(xiàn)學(xué)生綜合應(yīng)用能力，具有一定的挑戰(zhàn)性，特別是運(yùn)用函數(shù)來確定最大（小）值時(shí)，要運(yùn)用配方法得到函數(shù)的最小值. 24．（2012四川省資陽市，24，9分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB為直徑的⊙O交BＣ于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)B作BP平行于DE，交⊙O于點(diǎn)P，連結(jié)EP、CP、OP． （1）(3分)BD＝DC嗎？說明理由；

29、 （2）(3分)求∠BOP的度數(shù)； （3）(3分)求證：CP是⊙O的切線； 如果你解答這個(gè)問題有困難，可以參考如下信息： 為了解答這個(gè)問題，小明和小強(qiáng)做了認(rèn)真的探究，然后分別用不同的思路完成了這個(gè)題目．在進(jìn)行小組交流的時(shí)候，小明說：“設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，證△AOG∽△CPG”；小強(qiáng)說：“過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，證四邊形CHOP是矩形”． （第24題圖） 【解析】（1）連接AD，由∵AB是直徑得∠ADB=90°及等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出BD＝DC （2）由∠BAD=∠CAD得弧BD=弧DE，得BD=DE，得出∠DEC=∠DCE=75°，所以∠EDC=30°，BP∥DE，∴

30、∠PBD=∠EDC=300，∴∠OBP=∠OPB=75°-30°=45°，∴∠BOP=90° （3）要證CP是⊙O的切線即證OP⊥CP，在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴又∵，∴，∴又∵∠AGO=∠CGP∴△AOG∽△CPG得∠GPC=∠AOG=90°得證結(jié)論成立. 【答案】（1）BD=DC……………………………………1分 連結(jié)AD，∵AB是直徑,∴∠ADB=90°……………………………………………2分 ∵AB=AC，∴BD=DC……………………………………………………………3分 （2）∵AD是等腰三角形ABC底邊上的中線 ∴∠BAD=∠CAD ∴弧BD與弧DE是等弧，

31、∴BD=DE……………4分 ∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE ∵△ABC中，AB=AC，∠A=30° ∴∠DCE=∠ABC=(180°－30°)=75°，∴∠DEC=75° ∴∠EDC=180°－75°－75°=30° ∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°……………………………5分 ∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75°－30°=45° ∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90° …………6分 （3）證法一：設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，則∠AOG=∠BOP =90° 在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴………………7分 又∵，∴，∴ 又

32、∵∠AGO=∠CGP ∴△AOG∽△CPG…………………………………8分 ∴∠GPC=∠AOG=90°∴CP是⊙的切線………………………9分 證法二：過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則∠BOP=∠BHC=90°，∴PO∥CH 在Rt△AHC中，∵∠HAC=30°，∴………………7分 又∵，∴PO=CH，∴四邊形CHOP是平行四邊形 ∴四邊形CHOP是矩形……………………………8分 ∴∠OPC=90°，∴CP是⊙的切線………………………9分 【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何知識(shí)綜合運(yùn)用題，主要考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)及常用輔助線、三角形相似判定、圓的性質(zhì)及圓切線的判定等知識(shí)．解答此類題應(yīng)具備

33、綜合運(yùn)用能力，包括知識(shí)綜合、方法綜合以及數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用，能較好地區(qū)分出不同數(shù)學(xué)水平的學(xué)生，保證區(qū)分結(jié)果的穩(wěn)定性，從而確保試題具有良好的區(qū)分度，進(jìn)而有利于高一級(jí)學(xué)校選拔新生．難度較大． 22. （2012浙江省紹興，22，12分）小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道思考題，進(jìn)行了認(rèn)真的探索. 思 考 題 如圖，一架2.5米工的梯子AB斜靠在豎直 的墻AC上，這時(shí)B到墻底端C的距離為 0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米， 那么點(diǎn)B將向外移動(dòng)多少米？ （1）請(qǐng)你將小明對(duì)“思考題的解答補(bǔ)充完整： 解：設(shè)點(diǎn)B將向外移動(dòng)x米，即BB1=x， 則B1C=x+0

34、.7,A1C=AC－AA1=， 而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12， 得方程 ▲ ， 解方程x1= ▲ ，x2= ▲ ， ∴點(diǎn)B將向外移動(dòng) ▲ 米. （2）解完“思考題”后，小陪提出了如下兩個(gè)問題： 在“思考題”中將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會(huì)是0.9米嗎？為什么？ 問 題 ② 在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離，有可能相等嗎？為什么？請(qǐng)你解答小聰提出的這兩個(gè)問題. 【解析】（1）根據(jù)題意求解一元二次方程即可；（2）根據(jù)題意建立

35、勾股定理模型，通過計(jì)算驗(yàn)證它是否符合題意；（3）在假設(shè)結(jié)論成立的條件下，建立一元二次方程模型，看看方程是否有實(shí)數(shù)解即可 ． 【答案】解：（1）， 0.8，－2.2（舍去），0.8. （2）①不會(huì)是0.9米. 若AA1=BB1+0.9，則A1C=2.4－0.9－1.6，A1C－0.7+0.9=1.6 ，. ∵A1C2+B1C2≠A1B12，∴該題的答案不會(huì)是0.9米. ②有可能. 設(shè)梯子頂端從A處下滑1.7米時(shí)，點(diǎn)B向外也移動(dòng)1.7米，腳梯子頂端從A 處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離有可能

36、相等. 【點(diǎn)評(píng)】這是一道實(shí)際應(yīng)用題，解答本題的關(guān)鍵是借助勾股定理將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題來求解.． 25.(2012湖北隨州，25，13分) 在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出了一道題： （1）解方程 巡視后，老師發(fā)現(xiàn)同學(xué)們解此題的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）.接著，老師請(qǐng)大家用自己熟悉的方法解第二題： （2）解關(guān)于x的方程（m為常數(shù)，且m≠0）. 老師繼續(xù)巡視，及時(shí)觀察、點(diǎn)撥大家.再接著，老師將第二道題變式為第三道題： （3）已知關(guān)于x的函數(shù)（m為常數(shù)）. ①求證：不論m為何值，此函數(shù)的圖象恒過x軸、y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)（設(shè)x軸上的定點(diǎn)為A，y軸上的定

37、點(diǎn)為C）； ②若m≠0時(shí)，設(shè)此函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，求m的取值范圍；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，直接寫出m的取值范圍. 請(qǐng)你也用自己熟悉的方法解上述三道題. 解析：（1）、（2）兩問，用十字相乘法即可解決問題；（3）中的第①個(gè)問題，只要說明檔x=0或y=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值或自變量的值是一個(gè)常數(shù)即可，注意要分m=0和m≠0兩偵破那個(gè)情況討論；第②小題也要根據(jù)m的值的不同情況進(jìn)行分類討論. 答案：解：（1）由x2－2x－3＝0，得（x+1）(x－3)=0∴x1=1,x2=3 （2）：由mx2+(m－3)x－3=0得（x+1）·(mx－3)=0 ∵

38、m≠0, ∴x1=－1,x2= （3）①1°當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y= mx2+(m－3)x－3為y=－3x－3，令y=0,得x=－1 令x=0,則y=－3. ∴直線y=－3x－3過定點(diǎn)A（－1,0）,C（0，－3） 2°當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)y= mx2+(m－3)x－3為y=（x+1）·(mx－3) ∴拋物線y=（x+1）·(mx－3)恒過兩定點(diǎn)A（－1，0）,C（0，－3）和B（，0） ②當(dāng)m>0時(shí)，由①可知拋物線開口向上，且過點(diǎn)A（－1，0）,C（0，－3）和 B（，0）， …1

39、分 觀察圖象，可知，當(dāng)⊿ABC為Rt⊿時(shí)， 則⊿AOC∽⊿COB∴ ∴∴32=1× ∴OB=9.即B(9,0) ∴當(dāng).即：m＞ 當(dāng)m>時(shí)，⊿ABC為銳角三角形 觀察圖象可知 當(dāng)090o, 當(dāng)m<0且m≠－3時(shí)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，B與A不重合. ∴⊿ABC中的∠ABC>90o ∴⊿ABC是鈍角三角形. ∴當(dāng)0