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1、
函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用
一、選擇題
1. （2014·湖南高考理科·Ｔ10）
已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是 ( )
A． B． C． D．
【解題提示】利用存在性命題及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，再構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)圖象平移求解。
【解析】選B.解法一：由題可得存在滿足
,當(dāng)取決于負(fù)無(wú)窮小時(shí),趨近于,因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的,所以。
解法二：
由已知設(shè)，滿足，
即，構(gòu)造函數(shù)，
畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，當(dāng)向右平移個(gè)單位，恰好過(guò)點(diǎn)時(shí)，得到，所以。
2、2、（2014·上海高考文科·Ｔ18）
【解題提示】通過(guò)消元法解方程組，可得y的關(guān)系式，結(jié)合，可把y求出來(lái)，代入可得x的取值.
【解析】
3. （2014·山東高考理科·Ｔ8）
已知函數(shù)，，若有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解題指南】 本題考查了函數(shù)與方程，函數(shù)的圖像，可先作出草圖，再利用數(shù)形結(jié)合確定k的范圍.
【解析】選B.
先作出函數(shù)的圖像，由易知，函數(shù)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，由圖像知當(dāng)直線介于之間時(shí)，符合題意，故選B.
二、填空題
4.（2014·福建高考文科·Ｔ15）15．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是
3、_________
【解題指南】分段函數(shù)分段處理．
【解析】令，解得（舍）或；
令，即，如圖3，在的范圍內(nèi)兩函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，即原方程有一個(gè)根．
綜上函數(shù)共有兩個(gè)零點(diǎn)．
答案：２．
5. （2014·遼寧高考理科·Ｔ1６）對(duì)于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)滿足且使最大時(shí)，的最小值為
【解析】令，則，代入整理得
，
由于存在，所以方程有解，
即，整理得
從而的最大值為，此時(shí)方程有相等實(shí)根，
解得．從而，
所以
答案：
【誤區(qū)警示】抓住“取得最大值”這一關(guān)鍵，尋求取得最值時(shí)間的關(guān)系，減少變量個(gè)數(shù)，防止由于多個(gè)變量糾纏不清[來(lái)源:Z#xx#k.Com]
6. （2014·遼寧高考理科·Ｔ
4、1６）對(duì)于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)滿足且使最大時(shí)，的最小值為
【解析】令，則，代入整理得
，
由于存在，所以方程有解，
即，整理得
從而的最大值為，此時(shí)方程有相等實(shí)根，
解得．從而，
所以
答案：
【誤區(qū)警示】抓住“取得最大值”這一關(guān)鍵，尋求取得最值時(shí)間的關(guān)系，減少變量個(gè)數(shù)，防止由于多個(gè)變量糾纏不清
三、解答題
7. （2014·遼寧高考理科·Ｔ21）（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，.
證明：（Ⅰ）存在唯一，使；
（Ⅱ）存在唯一，使，且對(duì)（1）中的，有.
【解析】證明：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
函數(shù)在上為減函數(shù)，，所以存在唯一，使；
（Ⅱ）考察函數(shù)
令，則時(shí)，.
記.則
由（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可見在上，為增函數(shù)，而，因此當(dāng)時(shí)，，所以在上無(wú)零點(diǎn).在上，為減函數(shù)，而，，則存在唯一的使得所以存在唯一的使得 因此存在唯一的，
使得
當(dāng)時(shí)， ，則與有相同的零點(diǎn)，所以存在惟一的，使.因?yàn)?，，所?
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高考數(shù)學(xué)真題分類匯編： 函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用
