（課標通用）2018年高考數(shù)學一輪復習 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 11.8 條件概率、n次獨立重復試驗與二項分布學案 理

§11.8　條件概率、n次獨立重復試驗與二項分布 考綱展示?　 1.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念． 2．理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題． 考點1　條件概率 條件概率 (1)定義 設A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率． (2)性質(zhì) ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 條件概率的性質(zhì)． (1)有界性：0≤P(B|A)≤1.(　　) 答案：√ (2)可加性：如果B和C為互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(　　) 答案：√ [典題1]　(1)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A：“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B：“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　解法一：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，共4個． 事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2,4)一種情形， 故P(B|A)＝＝. 解法二：P(A)＝＝，P(AB)＝＝. 由條件概率計算公式，得 P(B|A)＝＝＝. (2)1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　設從1號箱取到紅球為事件A，從2號箱取到紅球為事件B. 由題意，P(A)＝＝， P(B|A)＝＝， 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A) ＝×＝， 所以兩次都取到紅球的概率為. [點石成金]　條件概率的兩種求解方法 (1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)． (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝. 考點2　事件的相互獨立性 (1)定義：設A，B為兩個事件，如果P(AB)＝________，則稱事件A與事件B相互獨立． (2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，則A與B、與B、A與也都相互獨立，P(B|A)＝________，P(A|B)＝________. 答案：(1)P(A)P(B)　(2)P(B)　P(A) [典題2]　為了分流地鐵高峰的壓力，某市發(fā)改委通過聽眾會，決定實施低峰優(yōu)惠票價制度．不超過22千米的地鐵票價如下表： 乘坐里程x(單位：km) 0＜x≤6 6＜x≤12 12＜x≤22 票價(單位：元) 3 4 5 現(xiàn)有甲、乙兩位乘客，他們乘坐的里程都不超過22千米．已知甲、乙乘車不超過6千米的概率分別為，，甲、乙乘車超過6千米且不超過12千米的概率分別為，. (1)求甲、乙兩人所付乘車費用不相同的概率； (2)設甲、乙兩人所付乘車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列． [解]　(1)由題意可知，甲、乙乘車超過12千米且不超過22千米的概率分別為，. 則甲、乙兩人所付乘車費用相同的概率P1＝×＋×＋×＝， 所以甲、乙兩人所付乘車費用不相同的概率P＝1－P1＝1－＝. (2)由題意可知，ξ＝6,7,8,9,10. P(ξ＝6)＝×＝， P(ξ＝7)＝×＋×＝， P(ξ＝8)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝9)＝×＋×＝， P(ξ＝10)＝×＝. 所以ξ的分布列為 ξ 6 7 8 9 10 P [點石成金]　1.利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解； 2．正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算. 在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表： 作物產(chǎn)量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市場價格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (1)設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列； (2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率． 解：(1)設A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價格為6元/kg”， 由題設知，P(A)＝0.5，P(B)＝0.4， 因為利潤＝產(chǎn)量×市場價格－成本， 所以X所有可能的取值為 500×10－1 000＝4 000， 500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000， 300×6－1 000＝800. P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3， P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2. 所以X的分布列為 X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2 (2)設Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i＝1,2,3)， 由題意知C1，C2，C3相互獨立，由(1)知， P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)， 3季的利潤均不少于2 000元的概率為 P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為P(C2C3)＋P(C1C3)＋P(C1C2) ＝3×0.82×0.2＝0.384. 所以，3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.512＋0.384＝0.896. 考點3　獨立重復試驗與二項分布 獨立重復試驗與二項分布 獨立重復試驗 二項分布 定義 在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗 在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作________，并稱p為________ 計算 公式 Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝ P(A1)P(A2)·…· P(An) 在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) 答案：X～B(n，p)　成功概率 (1)[教材習題改編]某人拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正反的概率都是，構(gòu)造數(shù)列{an}，使得an＝ 記Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，則S4＝2的概率為________． 答案： 解析：依題意得知，“S4＝2”表示在連續(xù)4次拋擲中恰有3次出現(xiàn)正面，因此“S4＝2”的概率為C3×＝. (2)[教材習題改編]小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是________． 答案： 解析：所求概率P＝C·3－1＝. 二項分布：P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． 設隨機變量X～B，則P(X＝3)的值是________． 答案： 解析：P(X＝3)＝C33＝. [典題3]　[2017·湖南長沙模擬]博彩公司對2016年NBA總決賽做了大膽地預測和分析，預測西部冠軍是老辣的馬刺隊，東部冠軍是擁有詹姆斯的年輕的騎士隊，總決賽采取7場4勝制，每場必須分出勝負，場與場之間的結(jié)果互不影響，只要有一隊獲勝4場就結(jié)束比賽．前4場，馬刺隊勝利的概率為，第5,6場馬刺隊因為平均年齡大，體能下降厲害，所以勝利的概率降為，第7場，馬刺隊因為有多次打第7場的經(jīng)驗，所以勝利的概率為. (1)分別求馬刺隊以4∶0,4∶1,4∶2,4∶3勝利的概率及總決賽馬刺隊獲得冠軍的概率； (2)隨機變量X為分出總冠軍時比賽的場數(shù)，求隨機變量X的分布列． [解]　(1)設“馬刺隊以4∶0勝利”為事件A，“馬刺隊以4∶1勝利”為事件B，“馬刺隊以4∶2勝利”為事件C，“馬刺隊以4∶3勝利”為事件D，“總決賽馬刺隊獲得冠軍”為事件E， 則P(A)＝4＝， P(B)＝C4×＝， P(C)＝C4××＋C4×2＝， P(D)＝C4×3＋C4×C×××＋C4×××＝. P(E)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝. (2)隨機變量X的可能取值為4,5,6,7， P(X＝4)＝4×2＝， P(X＝5)＝C4·＝， P(X＝6)＝2C4＋C4·＋＝， P(X＝7)＝1－P(X＝4)－P(X＝5)－P(X＝6)＝. 所以隨機變量X的分布列為 X 4 5 6 7 P [點石成金]　利用獨立重復試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三個條件： (1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p； (2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的； (3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率. 某市為了調(diào)查學?！瓣柟怏w育活動”在高三年級的實施情況，從本市某校高三男生中隨機抽取一個班的男生進行投擲實心鉛球(重3 kg)測試，成績在6.9米以上的為合格．把所得數(shù)據(jù)進行整理后，分成5組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖所示)，已知成績在[9.9,11.4)的頻數(shù)是4. (1)求這次鉛球測試成績合格的人數(shù)； (2)若從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機抽取兩名，記ξ表示兩人中成績不合格的人數(shù)，利用樣本估計總體，求ξ的分布列． 解：(1)由直方圖知，成績在[9.9,11.4)的頻率為 1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1. 因為成績在[9.9,11.4)的頻數(shù)是4， 故抽取的總?cè)藬?shù)為＝40. 又成績在6.9米以上的為合格，所以這次鉛球測試成績合格的人數(shù)為40－0.05×1.5×40＝37. (2)ξ的所有可能的取值為0,1,2，利用樣本估計總體， 從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機抽取一名成績合格的概率為， 成績不合格的概率為1－＝， 可判斷ξ～B. P(ξ＝0)＝C×2＝， P(ξ＝1)＝C××＝， P(ξ＝2)＝C×2＝， 故所求分布列為 X 0 1 2 P [方法技巧]　1.古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)＝＝，其中，在實際應用中P(B|A)＝是一種重要的求條件概率的方法． 2．判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有二：其一是獨立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一；其二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次． 3．n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次可看作是C個互斥事件的和，其中每一個事件都可看作是k個A事件與n－k個事件同時發(fā)生，只是發(fā)生的次序不同，其發(fā)生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率為Cpk(1－p)n－k. [易錯防范]　1.相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算公式為P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 2．運用公式P(AB)＝P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件，只有當事件A，B相互獨立時，公式才成立． 真題演練集訓 1．[2015·新課標全國卷Ⅰ]投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 答案：A 解析：3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A. 2．[2014·新課標全國卷Ⅱ]某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 答案：A 解析：根據(jù)條件概率公式P(B|A)＝，可得所求概率為＝0.8. 課外拓展閱讀 誤用“二項分布與超幾何分布” 二項分布和超幾何分布是兩類重要的概率分布模型，這兩種分布存在著很多的相似之處，在應用時應注意各自的適用條件和情境，以免混用出錯． [典例1]　某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種乙)進行田間試驗．現(xiàn)在在總共8小塊地中，隨機選4小塊地種植品種甲，另外4小塊地種植品種乙．種植完成后若隨機選出4塊地，其中種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學期望． [思路分析]　 →→ [解]　X的所有可能取值為0,1,2,3,4， 且P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學期望為 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2. 易錯提示 本題容易錯誤地得到X服從二項分布，每塊地種植甲的概率為，故X～B(4,0.5)．錯誤的根源在于每塊地種植甲或乙不是相互獨立的，它們之間是相互制約的，無論怎么種植都要保證8塊地中有4塊種植甲，4塊種植乙，事實上X應服從超幾何分布．如果將題目改為：在8塊地中，每塊地要么種植甲，要么種植乙，那么在選出的4塊地中種植甲的數(shù)目為X，則這時X～B(4,0.5)(這時這8塊地種植的方法總數(shù)為28，會出現(xiàn)所有地都種植一種作物的情況，而題目要求4塊地種植甲，4塊地種植乙，其方法總數(shù)為C)． [典例2]　某高校設計了一個實驗學科的實驗考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響． (1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計算數(shù)學期望； (2)試從兩位考生正確完成題數(shù)的數(shù)學期望及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實驗操作能力． [思路分析]　 [解]　(1)設考生甲、乙正確完成實驗操作的題數(shù)分別為ξ，η，則ξ的所有可能取值分別為1,2,3；η的所有可能取值分別為0,1,2,3. P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 所以考生甲正確完成題數(shù)的概率分布列為 ξ 1 2 3 P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2. 因為P(η＝0)＝C3＝， 同理，P(η＝1)＝， P(η＝2)＝，P(η＝3)＝. 所以考生乙完成題數(shù)的概率分布列為 η 0 1 2 3 P E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. (2)因為P(ξ≥2)＝＋＝0.8， P(η≥2)＝＋＝， 所以P(ξ≥2)>P(η≥2)． 故從正確完成題數(shù)的數(shù)學期望分析，兩人水平相當； 從至少完成2題的概率分析，甲通過的可能性大． 因此可以判斷甲的實驗操作能力較強． 易錯提示 本題容易錯誤地得到甲、乙兩考生正確完成的題數(shù)均服從二項分布，實際上題目中已知甲、乙兩考生按照題目要求獨立完成全部實驗操作，甲考生正確完成的題數(shù)服從超幾何分布，乙考生正確完成的題數(shù)服從二項分布． - 12 -