四川省成都龍泉驛區(qū)高三 5月學(xué)科押題文科數(shù)學(xué)試卷及答案

四川省成都龍泉驛區(qū)2013屆高三數(shù)學(xué)學(xué)科押題試卷 I卷（文） 一、選擇題：本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,有且 只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．已知集合A＝{x|x＝a＋(－1)i(a∈R，i是虛數(shù)單位)}，若A?R，則a＝ A．1 B．－1 C．±1 D．0 2. 設(shè)集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，則M∩N＝ A．[1，2) B．[1，2] C．(2，3] D．[2，3] 3．下列說法錯誤的是 A．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2－3x＋2≠0” B．“x>1”是“|x|>1”的充分不必要條件 C．若p且q為假命題，則p、q均為假命題 D．命題p：“?x0∈R，使得x＋x0＋1<0”，則：“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0” 4．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d＝ A．－2　　　　　　　　　　 B．－ C. D．2 5．若如下框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為S＝20，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的條件是 A．k＝9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞8 6．函數(shù)y＝在區(qū)間[－，]上的簡圖是 7.若函數(shù)y＝是函數(shù)y＝(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)(，a)，則 A．　　　　　　　　　　 B． C. D． 8．如果實(shí)數(shù)x，y滿足，目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y的最大值為12，最小值為3，那么實(shí)數(shù)k的值為 A．2 B．－2 C. D．不存在 9．在直線y＝2x＋1上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且垂直于直線4x＋3y－3＝0的直線與圓x2＋y2－2x＝0有公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取值范圍是 A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，1) C．[－，－] D．(－，－) 10. 把一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為，方程組只有一組解的概率是 A． B． C. D． 二、填空題：本大題共5小題,每小題5分，共25分. 11．設(shè)向量a＝(4sin α，3)，b＝(2，3cos α)，且a∥b，則銳角α為________． 12．已知函數(shù)＝|x－a|(a為常數(shù))．若在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________． 13.已知正四面體的俯視圖如圖所示，其中四邊形ABCD是邊長為2 cm的正方形，則這個四面體的主視圖的面積為________cm2. 14. 如圖：點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線BC1上運(yùn)動，則下列四個命題： ①三棱錐A－D1PC的體積不變； ②A1P∥面ACD1； ③DP⊥BC1； ④面PDB1⊥面ACD1. 其中正確的命題的序號是________． 15. 在拋物線C：y＝2x2上有一點(diǎn)P，若它到點(diǎn)A(1，3)的距離與它到拋物線C的焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． 三、解答題：本大題共6小題，共75分. 16. (本小題滿分12分） 在數(shù)列{an}中，a1＝，點(diǎn)(an，an＋1)在直線y＝x＋上． (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (Ⅱ)記bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 17. (本小題滿分12分） 一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4. (Ⅰ)從袋中隨機(jī)抽取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率； (Ⅱ)先從袋中隨機(jī)取一個球，該球的編號為，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個球，該球的編號為，求＋2的概率． 18. (本小題滿分12分） 在斜三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c. (Ⅰ)若2sin Acos C＝sin B，求的值； (Ⅱ)若sin(2A＋B)＝3sin B，求的值． 19. (本小題滿分12分） 如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°. (Ⅰ)證明：平面ADB⊥平面BDC； (Ⅱ)若BD＝1，求三棱錐D－ABC的表面積． 20. (本小題滿分13分） 已知函數(shù)＝x2＋(a∈R)． (Ⅰ)若在x＝1處的切線垂直于直線x－14y＋13＝0，求該點(diǎn)的切線方程，并求此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ)若≤a2－2a＋4對任意的x∈[1,2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 21. (本小題滿分14分） 給定橢圓：＋＝1(0)，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個焦點(diǎn)為(，0)，且其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為. (Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程； (Ⅱ)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過動點(diǎn)作直線，，使得，與橢圓都只有一個交點(diǎn)，試判斷，是否垂直，并說明理由． 參考答案 1.【答案】C 【解析】因?yàn)锳?R，所以A中的元素為實(shí)數(shù)．所以－1＝0.即a＝±1.故應(yīng)選C. 2. 【答案】A【解析】因?yàn)镸＝{x|x2＋x－6＜0}＝{x|－3＜x＜2}，由圖知：M∩N＝{x|1≤x＜2}．故應(yīng)選A. 3.【答案】C 【解析】若“p且q”為假命題，則p、q中至少有一個是假命題，而不是p、q均為假命題．故C錯．故應(yīng)選C. 4. 【答案】B【解析】根據(jù)題意得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，所以a1＝1，又因?yàn)閍3＝a1＋2d＝0，所以d＝－.故應(yīng)選B. 5.【答案】D 【解析】據(jù)算法框圖可得當(dāng)k＝9時，S＝11；k＝8時，S＝11＋9＝20.所以應(yīng)填入k>8. 故應(yīng)選D. 6.【答案】A 【解析】令x＝0得y＝＝－，排除B，D.由＝0，＝0，排除C，故應(yīng)選A. 7. 【答案】B 【解析】函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)是＝，由a＝＝得＝.故應(yīng)選B. 8.【答案】A 【解析】如圖為所對應(yīng)的平面區(qū)域，由直線方程聯(lián)立方程組易得A(1，)，B(1，1)，C(5，2)，由于3x＋5y－25＝0在y軸上的截距為5，故目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y的斜率－k<－，即k>. 將k＝2代入，過B的截距z＝2×1＋1＝3. 過C的截距z＝2×5＋2＝12.符合題意．故k＝2. 故應(yīng)選A. 9.【答案】C 【解析】過點(diǎn)P且垂直于直線4x＋3y－3＝0的直線的斜率是k＝，設(shè)點(diǎn)P(，＋1)，其方程是y－－1＝ (x－)，由圓心(1，0)到直線的距離小于或等于1可解得．故應(yīng)選C. 10.【答案】D 【解析】方程組只有一組解ó，即除了m=2且n=3或m=4且n=6這兩種情況之外都可以，故所求概率p=．故應(yīng)選D. 12.【答案】 【解析】因?yàn)閍∥b，所以4sin α·3cos α＝2×3，所以sin 2α＝1，因?yàn)棣翞殇J角．所以α＝. 12.【答案】(－∞，1]【解析】因?yàn)樵赱1，＋∞)上單調(diào)遞增，由函數(shù)圖象可知a≤1. 13.【答案】2【解析】由俯視圖可得，該正四面體AMNC可視作是如圖所示的正方體的一內(nèi)接幾何體，該正方體的棱長為2，正四面體的主視圖為三角形，則其面積為×2×2＝2(cm2)． 14.【答案】①②④【解析】因?yàn)椋?#183;，由于AD1∥BC1，所以為定值，又h為點(diǎn)C到面AD1C1B的距離，也是定值，所以三棱錐A－D1PC為定值，①正確；因?yàn)槠矫鍭1BC1∥平面AD1C，所以A1P∥平面AD1C，②正確；③錯誤，如當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，DB與BC就不垂直；因?yàn)镈B1⊥平面AD1C，所以平面PDB1⊥平面AD1C成立，④正確． 15.【答案】(1，2)【解析】由題知點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部，根據(jù)拋物線定義，問題等價于求拋物線上一點(diǎn)P，使得該點(diǎn)到點(diǎn)A與到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和最小，顯然點(diǎn)P是直線x＝1與拋物線的交點(diǎn)，故所求點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，2)． 16. 解：(Ⅰ)由已知得an＋1＝an＋，即an＋1－an＝. 所以數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，…………………………4分 即an＝＋(n－1)＝.……………………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得bn＝＝，即bn＝4[－]，………………10分 所以Tn＝4＝4[1－]＝.……………………12分 17. 命題闡釋 本題兩問中，一個是無放回取球，一個是有放回取球，試題通過這兩個問題，考查列舉基本事件個數(shù)、找出所求的隨機(jī)事件所含有的基本事件個數(shù)的數(shù)據(jù)處理能力以及運(yùn)算求解能力． 思考流程 (Ⅰ)(條件)四個球中不放回取出兩個球 ? (目標(biāo))取出的球的編號之和不大于4的概率 ? (方法)列舉基本事件的個數(shù)，從中找出隨機(jī)事件“球的編號之和不大于4”所包含的基本事件的個數(shù)，根據(jù)古典概型的公式進(jìn)行計(jì)算； (Ⅱ)(條件)有放回地從四個球中取出兩個球 ? (目標(biāo))求解一個古典概型 ? (方法)仍然是列舉基本事件的個數(shù)，再從中找出隨機(jī)事件“＋2”所含有的基本事件的個數(shù)，根據(jù)古典概型的公式進(jìn)行計(jì)算． 解：(Ⅰ)從袋子中隨機(jī)取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)共6個．………………………………3分 從袋中隨機(jī)取出的球的編號之和不大于4的事件共有(1，2)，(1，3)，有兩個．因此所求事件的概率為＝. ………………………………6分 (Ⅱ)先從袋中隨機(jī)取一個球，記下編號為，放回后，再從袋中隨機(jī)取一個球，記下編號為，其一切可能的結(jié)果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16個． ………………………………………………………………………9分 滿足條件≥＋2的事件為(1，3)，(1，4)，(2，4)共3個，所以滿足條件≥＋2的事件的概率P＝， 故滿足條件n<m＋2的事件的概率為1－＝. ………………………………12分 18. 解：(Ⅰ)由正弦定理得＝. ………………………………2分 從而2sin Acos C＝sin B可化為2acos C＝b. ………………………………3分 由余弦定理得2a×＝b. 整理得a＝c，即＝1. …………………………………………………………6分 (Ⅱ)在斜三角形ABC中，A＋B＋C＝π， 所以sin(2A＋B)＝3sin B可化為sin[π＋(A－C)]＝3sin[π－(A＋C)]， 即－sin(A－C)＝3sin(A＋C)．…………………………………………………………8分 故－sin Acos C＋cos Asin C＝3(sin Acos C＋cos Asin C)． 整理得4sin Acos C＝－2cos Asin C，………………………………………………10分 因?yàn)椤鰽BC是斜三角形，所以cos Acos C≠0， 所以＝－.………………………………12分 19.解：(Ⅰ)因?yàn)檎燮鹎癆D是BC邊上的高． 所以當(dāng)△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，…………………………3分 又DB∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，因?yàn)锳D?平面ABD， 所以平面ABD⊥平面BDC. ……………………………………………………6分 (2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA， 因?yàn)镈B＝DA＝DC＝1， 所以AB＝BC＝CA＝，……………………………………………………9分 從而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝， S△ABC＝×××＝， 所以三棱錐D－ABC的表面積S＝×3＋＝.…………………………12分 20. 解：(Ⅰ) ＝2x－，根據(jù)題意f′(1)＝2－2a＝－14，解得a＝8， 此時切點(diǎn)坐標(biāo)是(1,17)，故所求的切線方程是y－17＝－14(x－1)，即14x＋y－31＝0. 當(dāng)a＝8時，＝2x－＝， 令>0，解得x>2，令<0，解得x<2且x≠0，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)和(0，2)．…………………………………5分 (Ⅱ) ＝2x－＝. ①若a<1，則>0在區(qū)間[1,2]上恒成立，f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為f(2)＝4＋a；………………………………………………………7分 ②若1≤a≤8，則在區(qū)間(1，)上<0，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間(，2)上>0，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為f(1)，f(2)中的較大者，f(1)－f(2)＝1＋2a－4－a＝a－3，故當(dāng)1≤a≤3時，函數(shù)的最大值為f(2)＝4＋a，當(dāng)3<a≤8時，函數(shù)的最大值為f(1)＝1＋2a；………………………………………………………9分 ③當(dāng)a>8時，<0在區(qū)間[1,2]上恒成立，函數(shù)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，函數(shù)的最大值為f(1)＝1＋2a. ………………………………………………………11分 綜上可知，在區(qū)間[1,2]上，當(dāng)a≤3時，函數(shù)f(x)max＝4＋a，當(dāng)a>3時，函數(shù)f(x)max＝1＋2a. 不等式≤a2－2a＋4對任意的x∈[1,2]恒成立等價于在區(qū)間[1,2]上，f(x)max≤a2－2a＋4，故當(dāng)a≤3時，4＋a≤a2－2a＋4，即a2－3a≥0，解得a≤0或a＝3；當(dāng)a>3時，1＋2a≤a2－2a＋4，即a2－4a＋3≥0，解得a>3. …………………………………………12分 綜合知當(dāng)a≤0或a≥3時，不等式≤a2－2a＋4對任意的x∈[1，2]恒成立． ………………………………………………………13分 21.解：(Ⅰ)由題意可知＝，＋＝，則＝，＝1， 所以橢圓方程為＋＝1. ………………………………………………2分 易知準(zhǔn)圓半徑為＝2， 則準(zhǔn)圓方程為＋＝4. ………………………………………………………4分 (Ⅱ)①當(dāng)，中有一條直線的斜率不存在時， 不妨設(shè)的斜率不存在， 因?yàn)榕c橢圓只有一個公共點(diǎn)， 則其方程為x＝±， 當(dāng)?shù)姆匠虨閤＝時， 此時與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)(，1)，(，－1)， 此時經(jīng)過點(diǎn)(，1)或(，－1)且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線是y＝1或y＝－1， 即為y＝1或y＝－1，顯然直線，垂直；……………………………6分 同理可證直線的方程為x＝－時，直線，也垂直．………………7分 ②當(dāng)，的斜率都存在時，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)， 其中x＋y＝4. 設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為y＝t(x－x0)＋y0， 由消去y，得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0. 由Δ＝0化簡整理得，(3－x)t2＋2x0y0t＋1－y＝0. 因?yàn)閤＋y＝4， 所以有(3－x)t2＋2x0y0t＋x－3＝0. …………………………………………10分 設(shè)直線，的斜率分別為t1，t2，因?yàn)?，與橢圓只有一個公共點(diǎn)， 所以t1，t2滿足方程(3－x)t2＋2x0y0t＋x－3＝0， 所以t1·t2＝－1，即，垂直．………………………………………………13分 綜合①②知，，垂直． ………………………………………………14分 ·8·