22《綜合法與分析法》練習(xí)及答案

2. 2綜合法與分析法 1. 理解綜合法和分析法的實(shí)質(zhì)，掌握分析法、綜合法和證明不等式的步驟 2. 了解用分析法證明不等式. 3. 了解用綜合法證明不等式. 4. 提高綜合應(yīng)用知識解決問題的能力. 1. 綜合法. 而得岀命題成 一般地，從已知條件岀發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理，論證 立，這種證明方法叫做. 又叫順推證法或 ? 答案：綜合法由因?qū)Ч? 2. 分析法. 證明命題時，我們還常常從要證的 岀發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至 所需條件為 或一個明顯成立事實(shí)(定義、公.理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得 岀要證的命題成立，這種證明方法叫做 .這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法. 答案：結(jié)論已知條件分析法 h 思考1 a, b都是正數(shù).用綜合法證明：二+-$2. b a 證明：由基本不等式 A+BA2y[AB(A, BWR+)可得》+#》2\A彳? #=2,即彳+#22.當(dāng) 且僅當(dāng)a=b時，等號成 思考2已知a, b,皿都是正數(shù)，并且a<b.用分析法證明：定〉學(xué) a+m a 要— 證明：因?yàn)橐阎猘, b, 〃都是整數(shù), 只需證 , (2) 要證(2),只需證 加>韌，(3)要證(3),只需證，(4) 已知⑷成立，所以⑴成立.答案：Z? (a+ffl ) b>a 3.綜合法與分析法的比較.綜合法與分析法的比較 1方法 證明的起始步驟 求證過程 求證目標(biāo) 證題方向 綜合法 基本不等式或已經(jīng) 證明過的不等式 實(shí)施一系列的推出 或等價變換 要求證的結(jié)論 由因?qū)Ч? 分析法 要求證的不等式 尋求結(jié)論成立的充 分條件，并證明 這個充分條件成 所需條件全部成立 執(zhí)果索因 '報分層演條 日園園因 1. 分析法證明不等式中所說的“執(zhí)果索因”是指尋求使不等式成立的（） A. 必要條件B.充分條件 C.充要條件D.必要或充份條件 答案：B 2. 若x>y>l, 0<a<l,則下列式子中正確的是（） A. a>d B. log x>log』 a _ a C. x<y D. x <f 答案：D 3. 設(shè) a, AGR+, A=\[a+\[b, B=-\[a+b, 則岀 B 的大小關(guān)系是（ ） A. B. AWB> A>BD. A<B 答案：C 4. 已知 OVaVl, O<Z?<1,且 aMb那么 a+b, 2y[ab, a' + 尻 2ab 中最大的是 答案：a+b 5. 已知⑦方GR,貝IJ “日+方>2, ”是“日>1, b>r成立的（ ） A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件D.即不充分也不必要條件 解析：當(dāng)$>1,方>1時，兩式相加得a~\~b>2,兩式相乘得ab>\.反之，當(dāng)日+方>2,日方>1時，日>1, 方>1不一定成立.如：日=* '方=4也滿足日+方>2, ab=2>l,但不滿足 日>1,方>1. 答案：B 6. 若 1<X1O, 下面不等式中正確的是 () 2 A. (lg x) <lg /<lg(lg x) B. lg /<(lg jr) 2<lg(lg x) C. (lg jr) 2<lg(lg x)<lg x 2 D. lg(lg x)<(lg jr) 2<lg x 答案： D 7. 若b, cWR,且ab+ bc+ac=l,則下列不等式中成立的是( ) A. a I d + c22 B. (5+ b~\~ c) “3 C. ££+*$D. abc(a+ Z?+ c) 解析：因?yàn)?a ljA2ab, a + cA2ac, I J ~\~cA2bc,將三式相加得 2 +c2)A2ab 1 + 2 方 c+2&c 所以 /+ 乃 + 又因?yàn)?&+ b~\- c) — a + 方$ + c +2&方+2 方 c+2 臼 c,所以(&+ b + c)空 1+2X1 = 3. 答案:B 8. 設(shè)db,方>0, N=a+b,則於與N的大小關(guān)系是 ? 答案： MAN 9. 若 b, c 是不全相等的正數(shù)，求證： a+b b+c c+a lg ■刁一+ lg-+lg-A — >|g 日十 |g b+lg c. 證明：證法一 (綜合法) V a, b, CUR*, 葦空窈>0, 矗>0, £嚴(yán)》寸£>0,且上述三個不等式中等號不能同時 成立， .a+b b+ c c~\~a > abc. a~\~b b~\~c c~\~a ??」莒£ +壓2十隹2 >lg日+噸c. 證法二 (分析法 ) a~\~b b+c c~\~ a a?\~ b b?\~ 9 c c~\~ a >lg ab* 1 g 2 +1 g 2 +1 g 2 > 1 g a+lg 方 + lg 占 a~\~b b~\~c c~\~ a > abc. 因?yàn)樘?#39;三乂窈〉0,號工矗> 0,號且以上三個不等式中等號不能同 時成立，所以Y ?字？守〉&比 成立，從而原不等式成立. 10. 設(shè)b, c均為正數(shù)，且 a+ b+c=l,求證： (1) ab+ bc+ caA~ ； z J』_ d ⑵-+-+-A|. b c a 證明：⑴由 a !jA2ab, Z?2~\~cA2bc, c ~\~aA2ca 得 a cA- ab~\~ bc~\~ ca. 由題設(shè)得(日+方+c)2=l, 即 a 1} + c + 2<3Z?+ 2 bc~\~ 2ca— 1. 所以 3 @方 + bc~\~ ca) W1,即 ab~\~ bc~\~ ca"?. 舟 甘 d (2) 因?yàn)槎?+ 於 2 日,—+Q2 方，一-+aA2c, b c a 2/2 2 故三 +— +a+ (日 +方+c) 22 @+方+c), b c a 2/2 2 即三 +—+旦 $ a+ b+ c. b c a 2 72 2 所 A4 + -+-Ai- b c a 匡Han 11. ⑴設(shè)x$l, yA|,求證：滅+計(jì)丄三丄+丄+刃； xy x y (2)l〈 &WZ?Wc,求證：loga b+logb c+logc log/, <3+log c Z?+log a c. 2 證明：(1)由于 心 1,所以 K+ — A-+-+Ajry(A+ K) +lAy+jr+ (x" , xy x y 將上式中的右式減左式，得[y+x+ {xy) ] — \_xy(Ax+y) +1] = [(Ay) 2 — 1] — \_xy"x+y) — (x+ 力]=(AJ+1)(刃一 1) — {x+y)(刃一 1)=(刃一 1) (xy — x— y+1)=(刃一 1) (x — 1) (y — 1) ? 又 xMl, yA|,所以 Oy — 1)(T — 1) (y — 1) "0, 從而所要證明的不等式成立. (2)設(shè)logab.= x, log/, c=y,由對數(shù)換底公式得 1 1 1 log。log ” log。r , log. c=xy. 于是，所要證明的不等式.即為x+ y+丄£丄+丄+ xy, xy x y 其中 X=10ga 方$1,尸 10gb C$1. 故由(1)知所要證明的不等式成立. 12. 給定常數(shù)c>0,定義函數(shù)f{x) =2 1 x+ c+4 1 — | x+ c\,數(shù)列&i, a2,日3…滿足&卄1 = /*&), TJGN* ⑴若 & = — c — 2,求&2及&3; (2)求證：對任意 77GN*, an+\ — anAc. 解析：因?yàn)閏>0, N = — (c+2),故 日 2 = f@i) =21 <91 +c+41 — | =2, &3=f@i) =21 日 2+c+41 — | &2+cl =c+10. (2)要證明原命題，只需證明 A A) aX+C對任意/WR都成立， fAx) c02 I x~\~ c+41 — | x+ c I Ax+ c, 即只需證明 21 x~\~ c+41 2 I +x+ c, 若x+cWO,顯然有 2 | x+c+41 三 | x+c\ +x+c=0 成立； 若x+c>0則 21 x+ c+41 2 I x+c\ + x+ cAx+ c+ 4>x+ c 顯然咸立.綜上，/*(x)2x+c 恒成立， 即對任意的77AN*, &小一 ah c. 13. 設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列念2的前77項(xiàng)和$,滿足$+尸如ASWN* ）,（利用綜合法和分析法） 4 求證：對£23有0W越 證明：由題設(shè)條件有 S+ a n+i = a n+iSn, 故 0+1 Hl 且日卄 1= °, Sn= , bn丄 &n+1丄 從而對有 $-1 型-1 + Sk-2 ak — —1 Sk-2 — 1 + — 1 一越i +1 ° 因云-1 —越一一 i+1 —（念-1 —診尸+ 丁〉。且£一■ 1上0,由①得鳥$0. 1型一 i 即證 3£_IW4&_ I —越-1 + 1)+艮卩(越 —1 — 2)空0.此式明顯成立. 4 因此A-(A3).即原命題成立. 14. (2015 ?新課標(biāo)全國卷II,數(shù)學(xué)文理)設(shè)b, c, 〃均為正數(shù)，且a+ b= c+ d.證明： ⑴若 ab> cd,貝]\y|A+y[b>y[c+\[c/ ； (2)y[a+y[b>y[c+y[dA \ a — 的充要條件. 分析：⑴由a+b= c+d及ab>cd,可證明 2 (y[a+y[b) > (A[c+\[c/) \ 開方即 Ay[a+\[b>y[c+y[d. (2)本小題可借助第…問的結(jié)論來證明，但要分必要性與充分性來證明 解析：(1)因?yàn)?y[a+y[b) 由題設(shè) a+b= c+d, at)>cd, ⑵①若 | a~b\ < | c~d\, d,所以血cd,由⑴得 ②若寸寸寸 2,則(r\[a+y[tf) b= c+ d,所以 ab>cd. 2 =a+b+ 2y[ab, (y[c+y[c/) = c+d+ 2y[cd 9 2 2 得(y[a+y[i) >(r\[c+y[d),因此需 + 訓(xùn)〉匹 則(& —方)2〈(c—??？，即(A+Z?)2— 4a/K(c+ d) 4cd 因?yàn)閍+b =c+ 2 > (y[c+y/~A 即 a~\~ b~\~ 2y[ab> c+ d+ 2yl~cc/, 因?yàn)槿? ,綜 _Ey[a+ 于是 ©-方 T= (a+Z?)2— 4aZK (,c+(J) 2—4cd= (c — d) 21,因此 | a y[b>y[c+\[dA \a~b\< \ c — 的充要條件. 總與*h轄) i. 綜合法是從已知條件或基本不等式出發(fā)，運(yùn)用不等式的有關(guān)性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的 不等式， 證明思路是“由因?qū)Ч?綜合法證明不等式，要揭示岀條件與結(jié)論間的因果聯(lián)系 ，為此要著力分析 已知與求證間，不等式左、右兩端的差異與聯(lián)系，合理變換、恰當(dāng)選擇已知 不等式是證明的關(guān)鍵.尋 找啟動不等式是綜合法的難點(diǎn).常用不等式有：(l)a2$0(aWR)； 怡 + ”2 1 (2) (& —方)2 三 0(&,方 GR),其變形有舟七甘 A2ab, [ ? J 鼻訪，52+Z?2a-(<3+Z?) 2 ； (3)若 方 WR+, —A — "Tab,特別的有'+ 蜀2； (4)a2+z?2 +cAab+ bc+ ca{a, b, cWR). Z <3 b 2. 分析法就是從求證的不等式出發(fā)，執(zhí)果索因，找出使這個不等式成立需具備的充分 條件， 直至能肯定所需條件已經(jīng)具備 . 證明的關(guān)鍵是推理的每一步都必須可逆 . 對思路不明 顯，從條件看感 到無從下手的問題宜用分析法 . 用分析法證明“若〃則的模式為： 欲證命題 B 成立， 只需證命題 Bi 成立 只需證命題 B 成立 只需證明力為真 . 今已知力為真，故 B 必真 . 可以簡單寫成： . .. =B” =A. 3. 證明時省略掉“要證明”和“只需證明”的字樣，就會顛倒因果關(guān)系而犯邏輯上的 根本錯 誤，但可用“曰‘取代那些必要的詞語 . 應(yīng)予以足夠重視 . 4. 分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法，分■析法的特點(diǎn)是利于思考，因?yàn)槠浞较蛎?確， 思路自然，易于掌握 . 綜合法的優(yōu)點(diǎn)是宜于表述、條理清楚、形式簡潔 . 證明時常用分 析法探索證明 途徑，后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方 法. 分析與綜合互為前 提，相互滲透，分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步 分析的起點(diǎn)，分析法和綜合法 要結(jié)合. 起來使用，也就是“兩頭湊”，會使問題較易解決 .即 在分析過程中有時進(jìn)行到一定步驟不 易進(jìn)行下去，就要從已知條件出發(fā)，進(jìn)行推理， .直至 綜合法推出的結(jié)論與分析法追溯的 A5 分條件 同一為止，從而證明了不等式 .這種“由兩頭 往中間靠”的方法可稱為分析綜合法 . 5. 一般來說，如果已知條件信息量較小，或已知與待證間的直接聯(lián)系不明顯，“距離” 較 大，用分析法來證明 .