2018年春七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第4章 三角形 專(zhuān)訓(xùn)2 構(gòu)造全等三角形的四種常用方法試題 （新版）北師大版

專(zhuān)訓(xùn)2　構(gòu)造全等三角形的四種常用方法 名師點(diǎn)金：在進(jìn)行幾何題的證明或計(jì)算時(shí)，需要在圖形中添加一些輔助線，輔助線能使題目中的已知條件比較集中，能比較容易找到一些量之間的關(guān)系，使數(shù)學(xué)問(wèn)題較輕松地解決．常見(jiàn)的輔助線作法有：旋轉(zhuǎn)法、翻折法、倍長(zhǎng)中線法和截長(zhǎng)補(bǔ)短法，目的都是構(gòu)造全等三角形． 翻折法 1．如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，AD⊥BE，垂足為D.試說(shuō)明：∠2＝∠1＋∠C. 　(第1題) 旋轉(zhuǎn)法 2．如圖，在正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度數(shù)． 　(第2題) 倍長(zhǎng)中線法 3．如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)． (1)試說(shuō)明：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范圍． (第3題) 截長(zhǎng)補(bǔ)短法 4．如圖，AB∥CD，CE，BE分別平分∠BCD和∠CBA，點(diǎn)E在AD上．試說(shuō)明：BC＝AB＋CD. (第4題) 答案 1．解：如圖，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F(相當(dāng)于將AB邊向下翻折，與BC邊重合，A點(diǎn)落在F點(diǎn)處，折痕為BE)． (第1題) 因?yàn)锽E平分∠ABC， 所以∠ABE＝∠CBE. 因?yàn)锽D⊥AD， 所以∠ADB＝∠FDB＝90°. 在△ABD和△FBD中， 所以△ABD≌△FBD(ASA)． 所以∠2＝∠DFB. 又因?yàn)椤螪FB＝180°－∠AFC，∠1＋∠C＝180°－∠AFC， 所以∠DFB＝∠1＋∠C. 所以∠2＝∠1＋∠C. 2．解：如圖，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H，使得BH＝DF，連接AH. 因?yàn)椤螦BE＝90°，∠D＝90°， 所以∠D＝∠ABH＝90°. 在△ABH和△ADF中， 所以△ABH≌△ADF. 所以AH＝AF，∠BAH＝∠DAF. 所以∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF. 所以∠HAF＝∠BAD＝90°. 因?yàn)锽E＋DF＝EF， 所以BE＋BH＝EF，即EH＝EF. 在△AEH和△AEF中， 所以△AEH≌△AEF. 所以∠EAH＝∠EAF. 所以∠EAF＝∠HAF＝45°. 點(diǎn)撥：圖中所作輔助線，相當(dāng)于將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AD邊與AB邊重合，得到△ABH. 　(第2題) 3．解：(1)如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE. 因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)， 所以CD＝BD. 又因?yàn)锳D＝ED，∠ADC＝∠EDB， 所以△ADC≌△EDB.所以AC＝EB. 因?yàn)锳B＋BE>AE，所以AB＋AC>2AD. (2)因?yàn)锳B－BE<AE<AB＋BE， 所以AB－AC<2AD<AB＋AC. 因?yàn)锳B＝5，AC＝3， 所以2<2AD<8. 所以1<AD<4. 點(diǎn)撥：本題運(yùn)用了倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形，將說(shuō)明不等關(guān)系和求線段取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為說(shuō)明全等，從而利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題． 　(第3題) 4．解：如圖，在BC上取一點(diǎn)F，使BF＝BA. 連接EF.因?yàn)镃E，BE分別平分∠BCD和∠CBA， (第4題) 所以∠3＝∠4，∠1＝∠2. 在△ABE和△FBE中， 所以△ABE≌△FBE(SAS)． 所以∠A＝∠5. 因?yàn)锳B∥CD，所以∠A＋∠D＝180°. 又因?yàn)椤?＋∠6＝180°， 所以∠6＝∠D. 在△EFC和△EDC中， 所以△EFC≌△EDC(AAS)． 所以FC＝DC.所以BC＝BF＋CF＝AB＋CD. 點(diǎn)撥：說(shuō)明一條線段等于兩條線段的和的方法：“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”．“截長(zhǎng)法”的基本思路是在長(zhǎng)線段上取一段，使之等于其中一短線段，然后說(shuō)明剩下的線段等于另一短線段；“補(bǔ)短法”的基本思路是延長(zhǎng)短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一短線段，再說(shuō)明延長(zhǎng)后的線段等于長(zhǎng)線段． 5