2018年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專(zhuān)項(xiàng)綜合全練 二次函數(shù)試題 （新版）北師大版

二次函數(shù) 一、選擇題 1.二次函數(shù)y=-x2+2x+4的最大值為(　　) A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 答案　C　y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,∵a=-1<0,∴當(dāng)x=1時(shí),y有最大值,最大值為5,故選C. 2.將拋物線y=-2x2+1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得的拋物線解析式為(　　) A.y=-2(x+1)2　　　　B.y=-2(x+1)2+2 C.y=-2(x-1)2+2　　　　D.y=-2(x-1)2+1 答案　C　將拋物線y=-2x2+1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得的拋物線解析式為y=-2(x-1)2+2.故選C. 3.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的自變量x與因變量y的部分圖象如圖2-7-1所示,當(dāng)-5≤x≤0時(shí),下列說(shuō)法正確的是(　　) 圖2-7-1 A.有最小值-5,最大值0 B.有最小值-3,最大值6 C.有最小值0,最大值6 D.有最小值2,最大值6 答案　B　根據(jù)題中圖象知,當(dāng)-5≤x≤0時(shí),圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,6),最低點(diǎn)的坐標(biāo)是(-5,-3),所以當(dāng)x=-2時(shí),y有最大值6;當(dāng)x=-5時(shí),y有最小值-3. 二、填空題 4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表: x … -3 -2 0 1 3 5 y … 7 0 -8 -9 -5 7 該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=　　　　,x=2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y=　　　　.  答案　1;-8 解析　根據(jù)題表知,點(diǎn)(-3,7)與點(diǎn)(5,7)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),從而可確定拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1,根據(jù)拋物線上關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,得x=2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y= -8.5.如圖2-7-2,四邊形ABCD是矩形,A、B兩點(diǎn)在x軸的正半軸上,C、D兩點(diǎn)在拋物線y=-x2+6x上,設(shè)OA=m(0<m<3),矩形ABCD的周長(zhǎng)為l,則l與m之間的函數(shù)關(guān)系式為　　　　　　　　.  圖2-7-2 答案　l=-2m2+8m+12(0<m<3) 解析　由OA=m可知點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,∵點(diǎn)D在拋物線y=-x2+6x上,∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-m2+6m,即AD=-m2+6m.∵A(m,0),且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3,根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知B(6-m,0),∴AB=6-2m,∴矩形ABCD的周長(zhǎng)l=2(AD+AB)=2(-m2+6m+6-2m)=-2m2+8m+12(0<m<3). 5.如圖2-7-3,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在拋物線y=x2-2x+2上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,以AC為對(duì)角線作矩形ABCD,連接BD.則對(duì)角線BD的最小值為　　　　.  圖2-7-3 答案　1 解析　∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD.當(dāng)A在拋物線的頂點(diǎn)處時(shí),AC最短,此時(shí)A(1,1),AC=1,∴BD=1,即對(duì)角線BD的最小值為1. 三、解答題 6.二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3),(3,0). (1)求b、c的值; (2)求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸; (3)在所給的坐標(biāo)系(圖2-7-4)中畫(huà)出二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象. 圖2-7-4 解析　(1)由題意可得解得 (2)由(1)可知二次函數(shù)的表達(dá)式是y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-1),對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2. (3)畫(huà)出二次函數(shù)的圖象如圖所示. 7.如圖2-7-5,拋物線與直線y=x+3分別交于x軸和y軸上同一點(diǎn),交點(diǎn)分別是點(diǎn)A和點(diǎn)C,且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2. (1)求拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo); (2)試確定拋物線的表達(dá)式; (3)觀察圖象,請(qǐng)直接寫(xiě)出使二次函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值的自變量x的取值范圍. 圖2-7-5 解析　(1)∵點(diǎn)A在直線y=x+3上,當(dāng)y=0時(shí),x=-3, ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0). ∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2, ∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(chēng), ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,0). (2)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0). 當(dāng)x=0時(shí),y=x+3=3,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3). ∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,3)和點(diǎn)A(-3,0),且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-2, ∴解得 ∴拋物線的表達(dá)式為y=x2+4x+3. (也可將點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)依次代入表達(dá)式中求出a、b、c的值) (3)觀察圖象可知,當(dāng)-3<x<0時(shí),二次函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值. 8.某商家計(jì)劃從廠家采購(gòu)空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺(tái).空調(diào)的采購(gòu)單價(jià)y1(元)與采購(gòu)量x1(臺(tái))滿(mǎn)足y1=-20x1+1 500(0<x1≤20,x1為整數(shù));冰箱的采購(gòu)單價(jià)y2(元)與采購(gòu)量x2(臺(tái))滿(mǎn)足y2=-10x2+1 300(0<x2≤20,x2為整數(shù)). (1)經(jīng)商家與廠家協(xié)商,采購(gòu)空調(diào)的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的,且空調(diào)采購(gòu)單價(jià)不低于1 200元,問(wèn)該商家共有幾種進(jìn)貨方案; (2)該商家分別以1 760元和1 700元的銷(xiāo)售單價(jià)售出空調(diào)和冰箱,且全部售完.在(1)的條件下,問(wèn)采購(gòu)空調(diào)多少臺(tái)時(shí)總利潤(rùn)最大,并求最大利潤(rùn). 解析　設(shè)空調(diào)的采購(gòu)數(shù)量為x臺(tái),則冰箱的采購(gòu)數(shù)量為(20-x)臺(tái). (1)根據(jù)題意可得 解得11≤x≤15,因?yàn)閤為整數(shù),所以x可取的值為11,12,13,14,15,所以該商家共有5種進(jìn)貨方案. (2)設(shè)總利潤(rùn)為W(元), 則W=(1 760-y1)x1+(1 700-y2)x2 =1 760x-(-20x+1 500)x+1 700(20-x)-[-10(20-x)+1 300](20-x)=1 760x-(-20x+1 500)x+ 1 700(20-x)-(10x+1 100)(20-x)=30x2-540x+12 000=30(x-9)2+9 570, 當(dāng)x>9時(shí),W隨著x的增大而增大,因?yàn)?1≤x≤15,所以當(dāng)x=15時(shí),W最大值=30×(15-9)2+ 9 570=10 650. 所以采購(gòu)空調(diào)15臺(tái)時(shí),獲得的總利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為10 650 元. 9.如圖2-7-6,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),A(0,0),B(12,0),C(12,6),D(0,6).點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始,向點(diǎn)A以1單位/秒的速度移動(dòng),點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始,向點(diǎn)B以2單位/秒的速度移動(dòng),假設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā),t(單位:秒)表示移動(dòng)的時(shí)間(0≤t≤6). 圖2-7-6 (1)寫(xiě)出△PQA的面積S與t的函數(shù)表達(dá)式; (2)當(dāng)t為何值時(shí),△PQC的面積最小?最小值是多少? 解析　(1)AQ=6-t,AP=2t, ∴S=(6-t)×2t=-t2+6t(0≤t≤6). (2)S△PQC=S梯形ABCQ-S△PBC-S△APQ =(6-t+6)×12-(12-2t)×6-(6-t)×2t =t2-6t+36 =(t-3)2+27. ∵0≤t≤6, ∴當(dāng)t=3時(shí),S△PQC有最小值,最小值為27. 10.一座拱橋的輪廓是拋物線型,如圖2-7-7,拱高6 m,跨度為20 m,相鄰兩支柱間的距離均為5 m. (1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求拋物線的表達(dá)式; (2)求支柱EF的長(zhǎng)度; (3)拱橋下面是雙向行車(chē)道(正中間是一條寬為2 m的隔離帶),其中的一條行車(chē)道能否并排通過(guò)寬2 m、高3 m的三輛汽車(chē)(汽車(chē)間的間隔忽略不計(jì))?請(qǐng)說(shuō)明你的理由. 圖2-7-7 解析　(1)以AB所在直線為橫軸,AB的垂直平分線為縱軸建立如圖的平面直角坐標(biāo)系,則A,B,C的坐標(biāo)分別是(-10,0),(10,0),(0,6). 由此設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+6(a≠0),將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入,得100a+6=0,解得a=-. 所以拋物線的表達(dá)式是y=-x2+6(-10≤x≤10). (2)易知點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為5,于是yF=-×52+6=4.5. 所以支柱EF的長(zhǎng)度是10-4.5=5.5(m). (3)如圖,設(shè)DN為隔離帶的寬,NG是三輛汽車(chē)的寬度和,則點(diǎn)G的坐標(biāo)是(7,0). 過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB交拋物線于點(diǎn)H, 則yH=-×72+6=3.06>3. 所以一條行車(chē)道能并排通過(guò)這樣的三輛汽車(chē). 7