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1、
二次函數
一、選擇題
1.二次函數y=-x2+2x+4的最大值為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,∵a=-1<0,∴當x=1時,y有最大值,最大值為5,故選C.
2.將拋物線y=-2x2+1向右平移1個單位長度,再向上平移1個單位長度所得的拋物線解析式為( )
A.y=-2(x+1)2 B.y=-2(x+1)2+2
C.y=-2(x-1)2+2 D.y=-2(x-1)2+1
答案 C 將拋物線y=-2x2+1向右平移1個單位長度,再向上平移1個單位長度所得的拋物線解析式為y=-2(x
2、-1)2+2.故選C.
3.已知二次函數y=ax2+bx+c(a<0)的自變量x與因變量y的部分圖象如圖2-7-1所示,當-5≤x≤0時,下列說法正確的是( )
圖2-7-1
A.有最小值-5,最大值0
B.有最小值-3,最大值6
C.有最小值0,最大值6
D.有最小值2,最大值6
答案 B 根據題中圖象知,當-5≤x≤0時,圖象的最高點的坐標是(-2,6),最低點的坐標是(-5,-3),所以當x=-2時,y有最大值6;當x=-5時,y有最小值-3.
二、填空題
4.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的x與y的部分對應值如下表:
x
…
-3
-2
0
3、
1
3
5
y
…
7
0
-8
-9
-5
7
該函數圖象的對稱軸為直線x= ,x=2對應的函數值y= .?
答案 1;-8
解析 根據題表知,點(-3,7)與點(5,7)關于對稱軸對稱,從而可確定拋物線的對稱軸是直線x=1,根據拋物線上關于對稱軸對稱的一對對稱點的縱坐標相等,得x=2對應的函數值y=
-8.5.如圖2-7-2,四邊形ABCD是矩形,A、B兩點在x軸的正半軸上,C、D兩點在拋物線y=-x2+6x上,設OA=m(0
4、2m2+8m+12(0
5、∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD.當A在拋物線的頂點處時,AC最短,此時A(1,1),AC=1,∴BD=1,即對角線BD的最小值為1.
三、解答題
6.二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點(4,3),(3,0).
(1)求b、c的值;
(2)求該二次函數圖象的頂點坐標和對稱軸;
(3)在所給的坐標系(圖2-7-4)中畫出二次函數y=x2+bx+c的圖象.
圖2-7-4
解析 (1)由題意可得解得
(2)由(1)可知二次函數的表達式是y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴其圖象的頂點坐標是(2,-1),對稱軸是直線x=2.
(3)畫出二次函數的圖象如圖所示.
6、
7.如圖2-7-5,拋物線與直線y=x+3分別交于x軸和y軸上同一點,交點分別是點A和點C,且拋物線的對稱軸為直線x=-2.
(1)求拋物線與x軸的兩個交點A、B的坐標;
(2)試確定拋物線的表達式;
(3)觀察圖象,請直接寫出使二次函數的值小于一次函數的值的自變量x的取值范圍.
圖2-7-5
解析 (1)∵點A在直線y=x+3上,當y=0時,x=-3,
∴點A的坐標為(-3,0).
∵拋物線的對稱軸為直線x=-2,
∴點A與點B關于直線x=-2對稱,
∴點B的坐標為(-1,0).
(2)設拋物線的表達式為y=ax2+bx+c(a≠0).
當x=0時,y=
7、x+3=3,∴點C的坐標為(0,3).
∵拋物線經過點C(0,3)和點A(-3,0),且拋物線的對稱軸是直線x=-2,
∴解得
∴拋物線的表達式為y=x2+4x+3.
(也可將點A、點B、點C的坐標依次代入表達式中求出a、b、c的值)
(3)觀察圖象可知,當-3
8、廠家協(xié)商,采購空調的數量不少于冰箱數量的,且空調采購單價不低于1 200元,問該商家共有幾種進貨方案;
(2)該商家分別以1 760元和1 700元的銷售單價售出空調和冰箱,且全部售完.在(1)的條件下,問采購空調多少臺時總利潤最大,并求最大利潤.
解析 設空調的采購數量為x臺,則冰箱的采購數量為(20-x)臺.
(1)根據題意可得
解得11≤x≤15,因為x為整數,所以x可取的值為11,12,13,14,15,所以該商家共有5種進貨方案.
(2)設總利潤為W(元),
則W=(1 760-y1)x1+(1 700-y2)x2
=1 760x-(-20x+1 500)x+1 700
9、(20-x)-[-10(20-x)+1 300](20-x)=1 760x-(-20x+1 500)x+
1 700(20-x)-(10x+1 100)(20-x)=30x2-540x+12 000=30(x-9)2+9 570,
當x>9時,W隨著x的增大而增大,因為11≤x≤15,所以當x=15時,W最大值=30×(15-9)2+
9 570=10 650.
所以采購空調15臺時,獲得的總利潤最大,最大利潤為10 650 元.
9.如圖2-7-6,在平面直角坐標系內,A(0,0),B(12,0),C(12,6),D(0,6).點Q沿DA邊從點D開始,向點A以1單位/秒的速度移動,
10、點P沿AB邊從點A開始,向點B以2單位/秒的速度移動,假設P、Q同時出發(fā),t(單位:秒)表示移動的時間(0≤t≤6).
圖2-7-6
(1)寫出△PQA的面積S與t的函數表達式;
(2)當t為何值時,△PQC的面積最小?最小值是多少?
解析 (1)AQ=6-t,AP=2t,
∴S=(6-t)×2t=-t2+6t(0≤t≤6).
(2)S△PQC=S梯形ABCQ-S△PBC-S△APQ
=(6-t+6)×12-(12-2t)×6-(6-t)×2t
=t2-6t+36
=(t-3)2+27.
∵0≤t≤6,
∴當t=3時,S△PQC有最小值,最小值為27.
10.一座拱
11、橋的輪廓是拋物線型,如圖2-7-7,拱高6 m,跨度為20 m,相鄰兩支柱間的距離均為5 m.
(1)建立適當的直角坐標系,求拋物線的表達式;
(2)求支柱EF的長度;
(3)拱橋下面是雙向行車道(正中間是一條寬為2 m的隔離帶),其中的一條行車道能否并排通過寬2 m、高3 m的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計)?請說明你的理由.
圖2-7-7
解析 (1)以AB所在直線為橫軸,AB的垂直平分線為縱軸建立如圖的平面直角坐標系,則A,B,C的坐標分別是(-10,0),(10,0),(0,6).
由此設拋物線的表達式為y=ax2+6(a≠0),將點B的坐標代入,得100a+6=0,解得a=-.
所以拋物線的表達式是y=-x2+6(-10≤x≤10).
(2)易知點F的橫坐標為5,于是yF=-×52+6=4.5.
所以支柱EF的長度是10-4.5=5.5(m).
(3)如圖,設DN為隔離帶的寬,NG是三輛汽車的寬度和,則點G的坐標是(7,0).
過點G作GH⊥AB交拋物線于點H,
則yH=-×72+6=3.06>3.
所以一條行車道能并排通過這樣的三輛汽車.
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2018年九年級數學下冊 專項綜合全練 二次函數試題 （新版）北師大版
