2019版七年級數(shù)學下冊 第一章 整式的乘除試題 （新版）北師大版

第一章　整式的乘除 　　1.逆用冪的運算法則解題 　　(1)逆用同底數(shù)冪相乘的法則解題:同底數(shù)冪相乘的法則是am×an=am+n(m,n都是正整數(shù)),反過來是am+n=am×an.逆用同底數(shù)冪相乘的法則解題,能使運算簡便. 【例】已知am=2,an=3,求am+n的值. 【標準解答】因為am+n=am·an, 把am=2,an=3代入am+n, 得am+n=2×3=6. 　　(2)逆用冪的乘方的法則解題:冪的乘方法則是(am)n=amn(m,n都是正整數(shù)),反過來是amn=(am)n.逆用冪的乘方的法則解題,能使運算簡便. 【例】已知am=2,求a2m的值. 【標準解答】因為a2m=(am)2,把am=2代入a2m,得a2m=22=4. 　　(3)逆用積的乘方的法則解題:積的乘方的法則是(a×b)n=an×bn(n是正整數(shù)).反過來是an×bn=(a×b)n.逆用積的乘方的法則解題,能使運算簡便. 【例】計算:×22016. 【標準解答】×22016 =×2=12015×2 =2. 　　(4)逆用同底數(shù)冪相除的法則解題:同底數(shù)冪相除的法則是am÷an=am-n(m、n都是正整數(shù)),反過來是am-n=am÷an.逆用同底數(shù)冪相除的法則解題,能使運算簡便. 【例】已知am=2,an=3,求am-n的值. 【標準解答】因為am-n=am÷an, 把am=2,an=3代入am-n, 得am-n=2÷3=. 1.已知am=2,an=3,求a3m+2n的值. 2.當4x=9時,計算21-2x的值是多少? 3.求(-8)2015×(0.125)2016的值. 　　2.用圖形面積表示整式的乘法法則(公式) 　　(1)用圖形面積表示平方差公式: 　　數(shù)形結合是重要的數(shù)學思想方法之一,通過兩個圖形的面積變化來直觀的反映平方差公式. 【例】將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置,你根據(jù)兩個圖形的面積關系得到的數(shù)學公式是　　　　. 【標準解答】圖甲的面積可以表示為(a-b)· (a+b),圖乙可以看作一個邊長為a的正方形去掉一個邊長為b的正方形,其面積等于a2-b2,因此有(a+b)(a-b)=a2-b2. 答案:(a+b)(a-b)=a2-b2 　　(2)用圖形面積表示多項式乘以多項式的法則: 　　數(shù)形結合是重要的數(shù)學思想方法之一,通過數(shù)和形兩個方面可說明多項式乘以多項式的法則. 【例】新知識一般有兩類:第一類是不依賴于其他知識的新知識,如“數(shù)”“字母表示數(shù)”這樣的初始性的知識;第二類是在某些舊知識的基礎上進行聯(lián)系、推廣等方式產(chǎn)生的知識,大多數(shù)知識是這樣的知識. (1)多項式乘以多項式的法則,是第幾類知識? (2)在多項式乘以多項式之前,你已擁有的有關知識是哪些?(寫出三條即可) (3)請你用已擁有的有關知識,通過數(shù)和形兩個方面說明多項式乘以多項式的法則是如何獲得的?(用(a+b)(c+d)來說明) 【標準解答】(1)是第二類知識. (2)單項式乘以多項式(分配律),字母表示數(shù),數(shù)可以表示線段的長或圖形的面積等. (3)用數(shù)來說明:(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd. 用形來說明:如圖,邊長為a+b和c+d的矩形,分割前后的面積相等,即(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd. 　　(3)用楊輝三角表示完全平方公式的系數(shù): 　　楊輝三角反映了兩數(shù)和的n次方,即展開式各項的系數(shù)的規(guī)律,直觀形象,簡單易記. 【例】我國古代數(shù)學的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列,其中“楊輝三角”就是一例.如圖,這個三角形的構造法則:兩腰上的數(shù)都是1,其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和,它給出了(n為正整數(shù))的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律.例如,在三角形中第三行的三個數(shù)1,2,1,恰好對應=a2+2ab+b2展開式中的系數(shù);第四行的四個數(shù)1,3,3,1,恰好對應著=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中的系數(shù)等. (1)根據(jù)上面的規(guī)律,寫出的展開式. (2)利用上面的規(guī)律計算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1. 【標準解答】(1)=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5. (2)原式=25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10×22×(-1)3+5×2×(-1)4+(-1)5=(2-1)5=1. 1.如圖,矩形ABCD的面積為　　　　　(用含x的代數(shù)式表示). 2.先閱讀后作答:我們已經(jīng)知道,根據(jù)幾何圖形的面積關系可以說明完全平方公式,實際上還有一些等式也可以用這種方式加以說明.例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用圖①的面積關系來說明. (1)根據(jù)圖②寫出一個等式　　　　　　　. (2)已知等式:(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,請你畫出一個相應的幾何圖形加以說明. 3.有足夠多的長方形和正方形的卡片,如圖: (1)如果選取1號、2號、3號卡片分別為1張、2張、3張,可拼成一個長方形(不重疊無縫隙).請畫出這個長方形的草圖,并運用拼圖前后面積之間的關系說明這個長方形的代數(shù)意義. 　　　　　. 這個長方形的代數(shù)意義是　　　　. (2)小明想用類似的方法解釋多項式乘法(a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2,那么需用2號卡片　　　張,3號卡片　　　張. 4.如圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊形狀大小完全一樣的小長方形,然后按圖b形狀拼成一個大正方形. (1)你認為圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少? (2)觀察圖b你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關系嗎?代數(shù)式:(m+n)2,(m-n)2,mn. (3)已知m+n=9,mn=14,求(m-n)2的值. 　　3.整式乘除中的整體思想 　　(1)先利用公式將所求多項式變形,再整體代入求值. 【例】已知實數(shù)a,b滿足a+b=5,ab=3,則a-b=　　　　. 【標準解答】將a+b=5兩邊平方得: (a+b)2=a2+b2+2ab=25, 將ab=3代入得:a2+b2=19, 所以(a-b)2=a2+b2-2ab=19-6=13, 則a-b=±. 答案:± 　　(2)當兩個三項式相乘時,通過添括號把其中兩項看成一個整體,再利用乘法公式進行計算. 【例】化簡:(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2. 【標準解答】(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2=[(x-z)+2y][(x-z)-2y] -[(x+y)-z]2=(x-z)2-4y2-(x+y)2+2z(x+y)-z2=x2-2xz+z2-4y2-x2-2xy-y2+2xz+2yz-z2 =-5y2-2xy+2yz. 1.若m+n =2,mn =1,則m2+n2=　　　. 2.計算:(1)(3x-2y+5)2. (2)(2a-b+1)(b-1+2a). 3.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,求a+b的值. 　　4.整式加減中的規(guī)律探索問題 　　(1)數(shù)表中的“規(guī)律探究” 　　通過觀察、分析、比較數(shù)表,根據(jù)數(shù)表中每一行、列中數(shù)的自身特點和數(shù)表中前后數(shù)之間的聯(lián)系來發(fā)現(xiàn)、歸納規(guī)律. 【例】觀察下列數(shù)表: 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 1 2 3 4 第二行 2 3 4 5 第三行 3 4 5 6 第四行 4 5 6 7 …… … … … … 請猜想第n行第n列上的數(shù)是　　　. 【標準解答】通過觀察、分析、比較可知:第1行與第1列,第2行與第2列,第3行與第3列,第4行與第4列,交叉點上的數(shù)依次為1、3、5、7,它們是連續(xù)的奇數(shù),所以可猜想第n行與第n列交叉點上的數(shù)為2n-1. 答案:2n-1 　　(2)圖形中的“規(guī)律探究” 　　從簡單圖形入手,抓住隨著“編號”或“序號”增加時,后一個圖形與前一個圖形相比,通過類比、計算等方法找出數(shù)量上的變化規(guī)律,從而推出一般性的結論,再驗證所總結規(guī)律的正確性. 【例1】如圖,觀察每一個圖中黑色正六邊形的排列規(guī)律,則第10個圖中黑色正六邊形有　　　　個. 【標準解答】第1個圖有1個黑色正六邊形,第2個圖有4=22個黑色正六邊形,第3個圖有9=32個黑色正六邊形,…,第n個圖有n2個黑色正六邊形,因此第10個圖有100個黑色正六邊形. 答案:100 【例2】如圖,每個圖案都由若干個棋子擺成,按照此規(guī)律,第n個圖案中棋子的總個數(shù)可用含n的代數(shù)式表示為　　　　. 【標準解答】從行上看,每個圖中棋子的行數(shù)等于圖形的序號n,而列數(shù)比圖形的序號多1,即為n+1,所以第n個圖案中棋子的總個數(shù)為n(n+1). 答案:n(n+1) 　　(3)等式中的“規(guī)律探究” 　　觀察等式的左、右兩邊的數(shù)式,隨著序號變化有何特點,通過分析、比較、歸納,得出規(guī)律. 【例】觀察下列等式: 12+2×1=1×(1+2) 22+2×2=2×(2+2) 32+2×3=3×(3+2) 　…… 則第n個等式可以表示為　　　　. 【標準解答】通過觀察可以發(fā)現(xiàn),等式的左邊是兩項,第1項是從1開始的整數(shù)的平方,第2項是2與這個整數(shù)的乘積,所以在左邊可用一般式子表示為n2+2n(n為大于等于1的整數(shù)),每一項等式的右邊是這個整數(shù)與2的和的積,所以可用一般的式子表示為n,所以第n個等式為n2+2n=n. 答案:n2+2n=n 　　(4)算式中的“規(guī)律探究” 　　依據(jù)算式找尋規(guī)律就是根據(jù)每個算式自身特點,以及前后算式之間的聯(lián)系發(fā)現(xiàn)歸納規(guī)律. 【例】已知: =3×2=6, =5×4×3=60, =5×4×3×2=120, =6×5×4×3=360,…, 觀察前面的計算過程,尋找計算規(guī)律計算=　　　　(直接寫出計算結果),并比較　　　 (填“>”“<”或“=”). 【標準解答】=7×6=42, =9×8×7×6×5=15 120, =10×9×8=720,所以>. 答案:42　> 1.觀察下列各式及其展開式 =a2+2ab+b2 =a3+3a2b+3ab2+b3 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 =a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 …… 請你猜想的展開式第三項的系數(shù)是　(　　) A.36 B.45 C.55 D.66 2.一組按照規(guī)律排列的式子:x,,,,,……,其中第8個式子是　　　　;第n個式子是　　　　.(n為正整數(shù)) 3.如圖是一組有規(guī)律的圖案,第1個圖案由4個▲組成,第2個圖案由7個▲組成,第3個圖案由10個▲組成,第4個圖案由13個▲組成,…,則第n(n為正整數(shù))個圖案由　　　　個▲組成. 4.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣,根據(jù)上述排列規(guī)律,數(shù)陣中第10行從左至右的第5個數(shù)是　　　　. 　　　　　　1 　　　　2　　　3 　　4　　　5　　　6 7　　　8　　　9　　　10 …… 5.觀察下列關于自然數(shù)的等式: (1)32—4×12=5　　　① (2)52—4×22=9 ② (3)72—4×32=13 ③ …… 根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題: (1)完成第四個等式: 92—4×(　　　)2=(　　　). (2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示),并驗證其正確性. 　　5.乘法公式在實際生活中的應用 　　乘法公式在實際應用中主要是解決有關整式的計算求值問題,使運算量大大減少,顯示利用公式的優(yōu)越性和使用價值,是數(shù)學聯(lián)系實際的一個重要方面. 　　(1)用乘法公式解決面積問題 【例】光明幼兒園有一個游戲場和一個桂花園,所占地的形狀都是正方形,面積也相同.后來重新改建,擴大了游戲場,縮小了桂花園,擴大后的游戲場地仍為正方形,邊長比原來增大了3米,縮小后的桂花園也為正方形,邊長比原來減少了2米,設它們原來的邊長為x米,請表示出擴大后的游戲場地比縮小后的桂花園的面積多多少平方米,并計算x=16時的值. 【標準解答】(x+3)2-(x-2)2=(x2+6x+9)-(x2-4x+4) =x2+6x+9-x2+4x-4=10x+5. 當x=16時,原式=10×16+5=165(平方米) 所以擴大后的游戲場地比縮小后的桂花園的面積多(10x+5)平方米,當x=16時,為165平方米. 　　(2)用乘法公式解決包裝問題 【例】將一條邊長為2.4m鍍金彩邊剪成兩段,恰好可用來鑲兩張大小不同的正方形壁畫的邊,而兩張壁畫的面積相差1 200 cm2,這條彩邊應剪成多長的兩段? 【標準解答】設較大正方形壁畫的周長為xcm,則較小正方形壁畫的周長為(240-x)cm. 由題意,得-=1200, 即-=1200. 去括號,得-3600+30x-=1200, 即30x=4800.解得x=160,240-160=80(cm).所以這條彩邊應剪成長為160cm,80cm的兩段. 某商人對數(shù)字“8”情有獨鐘,他每年八月份都要到制作廣告牌的張師傅那里做兩個一大一小的正方形廣告牌,面積之差為8的倍數(shù).請問兩張廣告牌的邊長至少要滿足什么樣的條件,才能符合商人的要求. 跟蹤訓練答案解析 1.逆用冪的運算法則解題 【跟蹤訓練】 1.【解析】a3m+2n=a3m×a2n=×. 把am=2,an=3代入得 a3m+2n=23×32=8×9=72. 2.【解析】因為4x=(2)2x=9, 所以21-2x=2÷22x=2÷9=. 3.【解析】∵(ab)n=anbn, ∴(-8)2015×(0.125)2016 =[(-8)×0.125]2015×0.125 =(-1)2015×0.125 =(-1)×0.125 =-0.125. 2.用圖形面積表示整式的乘法法則(公式) 【跟蹤訓練】 1.【解析】面積=AD×AB=(x+3)(x+2). 答案:(x+3)(x+2) 2.【解析】(1)(a+2b)(2a+b) =2a2+5ab+2b2. (2)畫出的圖形如圖所示. 3.【解析】(1)圖形如下: 代數(shù)意義為:a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b). (2)需用2號卡片3張,3號卡片7張. 4.【解析】(1)m-n. (2)(m-n)2=(m+n)2-4mn. (3)當m+n=9,mn=14時, (m-n)2=(m+n)2-4mn=92-4×14 =81-56=25. 3.整式乘除中的整體思想 【跟蹤訓練】 1.【解析】m2+n2=(m+n)2-2mn=2. 答案:2 2.【解析】(1)(3x-2y+5)2=[(3x-2y)+5]2 =(3x-2y)2+10(3x-2y)+25 =9x2-12xy+4y2+30x-20y+25. (2)(2a-b+1)(b-1+2a) =[2a-(b-1)][2a+(b-1)] =4a2-(b-1)2 =4a2-b2+2b-1. 3.【解析】∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63, ∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63, ∴(2a+2b)2-1=63, ∴(2a+2b)2=64, ∴2a+2b=8或2a+2b=-8, ∴a+b=4或a+b=-4, ∴a+b的值為4或-4. 4.整式加減中的規(guī)律探索問題 【跟蹤訓練】 1.【解析】選B.∵由楊輝三角可得: ∴的展開式第三項的系數(shù)是45. 2.【解析】根據(jù)前5個數(shù),可以得到這一組數(shù)排列的規(guī)律是分子的指數(shù)是從1開始的奇數(shù),分母是底數(shù)從1開始的自然數(shù)的平方,因此第8個式子是=,第n個式子是. 答案:　 3.【解析】觀察發(fā)現(xiàn): 第一個圖形有3×2-3+1=4個三角形; 第二個圖形有3×3-3+1=7個三角形; 第三個圖形有3×4-3+1=10個三角形; … 第n個圖形有3(n+1)-3+1=3n+1個三角形. 答案:3n+1 4.【解析】由排列的規(guī)律可得,第n-1行結束的時候排了1+2+3+…+n-1 =n(n-1)個數(shù). 所以第n行從左向右的第5個數(shù)為 n(n-1)+5. 所以當n=10時,第10行從左向右的第5個數(shù)為50. 答案:50 5.【解析】(1)92-4×42=17. (2)(2n+1)2-4×n2=4n+1; ∵左邊=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右邊, ∴等式成立. 5.乘法公式在實際生活中的應用 【跟蹤訓練】 　分析:若設兩張廣告牌的邊長大的為a米,小的為b米,即可得a2-b2=8n(n為正整數(shù)),若以a=3,b=1為例發(fā)現(xiàn)32-12=8,符合條件;若a=4,b=2,則42-22=12,不符合條件;若a=5,b=3,則52-32=16=8×2,符合條件……這樣多寫幾組,便可發(fā)現(xiàn)兩個相鄰的奇數(shù),其中較大的與較小的平方差是8的倍數(shù). 【解析】設兩張廣告牌的邊長是相鄰的奇數(shù)時,兩張廣告牌的面積之差是8的倍數(shù),因為(2n+1)2-(2n-1)2=(4n2+4n+1)-(4n2-4n+1)=8n(n為正整數(shù)). 15