2019版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第一章 整式的乘除試題 （新版）北師大版

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1、第一章　整式的乘除 　　1.逆用冪的運(yùn)算法則解題 　　(1)逆用同底數(shù)冪相乘的法則解題:同底數(shù)冪相乘的法則是am×an=am+n(m,n都是正整數(shù)),反過來是am+n=am×an.逆用同底數(shù)冪相乘的法則解題,能使運(yùn)算簡便. 【例】已知am=2,an=3,求am+n的值. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】因?yàn)閍m+n=am·an, 把a(bǔ)m=2,an=3代入am+n, 得am+n=2×3=6. 　　(2)逆用冪的乘方的法則解題:冪的乘方法則是(am)n=amn(m,n都是正整數(shù)),反過來是amn=(am)n.逆用冪的乘方的法則解題,能使運(yùn)算簡便. 【例】已知am=2,求a2m的值. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】因?yàn)?/p>

2、a2m=(am)2,把a(bǔ)m=2代入a2m,得a2m=22=4. 　　(3)逆用積的乘方的法則解題:積的乘方的法則是(a×b)n=an×bn(n是正整數(shù)).反過來是an×bn=(a×b)n.逆用積的乘方的法則解題,能使運(yùn)算簡便. 【例】計(jì)算:×22016. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】×22016 =×2=12015×2 =2. 　　(4)逆用同底數(shù)冪相除的法則解題:同底數(shù)冪相除的法則是am÷an=am-n(m、n都是正整數(shù)),反過來是am-n=am÷an.逆用同底數(shù)冪相除的法則解題,能使運(yùn)算簡便. 【例】已知am=2,an=3,求am-n的值. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】因?yàn)閍m-n=am÷an, 把a(bǔ)m

3、=2,an=3代入am-n, 得am-n=2÷3=. 1.已知am=2,an=3,求a3m+2n的值. 2.當(dāng)4x=9時(shí),計(jì)算21-2x的值是多少? 3.求(-8)2015×(0.125)2016的值. 　　2.用圖形面積表示整式的乘法法則(公式) 　　(1)用圖形面積表示平方差公式: 　　數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一,通過兩個(gè)圖形的面積變化來直觀的反映平方差公式. 【例】將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置,你根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是　　　　. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】

4、圖甲的面積可以表示為(a-b)· (a+b),圖乙可以看作一個(gè)邊長為a的正方形去掉一個(gè)邊長為b的正方形,其面積等于a2-b2,因此有(a+b)(a-b)=a2-b2. 答案:(a+b)(a-b)=a2-b2 　　(2)用圖形面積表示多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則: 　　數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一,通過數(shù)和形兩個(gè)方面可說明多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則. 【例】新知識(shí)一般有兩類:第一類是不依賴于其他知識(shí)的新知識(shí),如“數(shù)”“字母表示數(shù)”這樣的初始性的知識(shí);第二類是在某些舊知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行聯(lián)系、推廣等方式產(chǎn)生的知識(shí),大多數(shù)知識(shí)是這樣的知識(shí). (1)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則,是第幾類知識(shí)? (2)在

5、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式之前,你已擁有的有關(guān)知識(shí)是哪些?(寫出三條即可) (3)請(qǐng)你用已擁有的有關(guān)知識(shí),通過數(shù)和形兩個(gè)方面說明多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則是如何獲得的?(用(a+b)(c+d)來說明) 【標(biāo)準(zhǔn)解答】(1)是第二類知識(shí). (2)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式(分配律),字母表示數(shù),數(shù)可以表示線段的長或圖形的面積等. (3)用數(shù)來說明:(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd. 用形來說明:如圖,邊長為a+b和c+d的矩形,分割前后的面積相等,即(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd. 　　(3)用楊輝三角表示完全平方公式的系數(shù): 　　楊輝三角反映了兩數(shù)

6、和的n次方,即展開式各項(xiàng)的系數(shù)的規(guī)律,直觀形象,簡單易記. 【例】我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列,其中“楊輝三角”就是一例.如圖,這個(gè)三角形的構(gòu)造法則:兩腰上的數(shù)都是1,其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和,它給出了(n為正整數(shù))的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律.例如,在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1,2,1,恰好對(duì)應(yīng)=a2+2ab+b2展開式中的系數(shù);第四行的四個(gè)數(shù)1,3,3,1,恰好對(duì)應(yīng)著=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中的系數(shù)等. (1)根據(jù)上面的規(guī)律,寫出的展開式. (2)利用上面的規(guī)律計(jì)算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1. 【標(biāo)準(zhǔn)

7、解答】(1)=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5. (2)原式=25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10×22×(-1)3+5×2×(-1)4+(-1)5=(2-1)5=1. 1.如圖,矩形ABCD的面積為　　　　　(用含x的代數(shù)式表示). 2.先閱讀后作答:我們已經(jīng)知道,根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系可以說明完全平方公式,實(shí)際上還有一些等式也可以用這種方式加以說明.例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用圖①的面積關(guān)系來說明. (1)根據(jù)圖②寫出一個(gè)等式　　　　　　　. (2)已知等式:(x+p)(x+q)=x2+(p+

8、q)x+pq,請(qǐng)你畫出一個(gè)相應(yīng)的幾何圖形加以說明. 3.有足夠多的長方形和正方形的卡片,如圖: (1)如果選取1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)卡片分別為1張、2張、3張,可拼成一個(gè)長方形(不重疊無縫隙).請(qǐng)畫出這個(gè)長方形的草圖,并運(yùn)用拼圖前后面積之間的關(guān)系說明這個(gè)長方形的代數(shù)意義. 　　　　　. 這個(gè)長方形的代數(shù)意義是　　　　. (2)小明想用類似的方法解釋多項(xiàng)式乘法(a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2,那么需用2號(hào)卡片　　　張,3號(hào)卡片　　　張. 4.如圖a是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊形狀大小完全一樣的

9、小長方形,然后按圖b形狀拼成一個(gè)大正方形. (1)你認(rèn)為圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少? (2)觀察圖b你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎?代數(shù)式:(m+n)2,(m-n)2,mn. (3)已知m+n=9,mn=14,求(m-n)2的值. 　　3.整式乘除中的整體思想 　　(1)先利用公式將所求多項(xiàng)式變形,再整體代入求值. 【例】已知實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=5,ab=3,則a-b=　　　　. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】將a+b=5兩邊平方得: (a+b)2=a2+b2+2ab=25, 將ab=3代入得:a2+b2=19, 所以(a

10、-b)2=a2+b2-2ab=19-6=13, 則a-b=±. 答案:± 　　(2)當(dāng)兩個(gè)三項(xiàng)式相乘時(shí),通過添括號(hào)把其中兩項(xiàng)看成一個(gè)整體,再利用乘法公式進(jìn)行計(jì)算. 【例】化簡:(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2=[(x-z)+2y][(x-z)-2y] -[(x+y)-z]2=(x-z)2-4y2-(x+y)2+2z(x+y)-z2=x2-2xz+z2-4y2-x2-2xy-y2+2xz+2yz-z2 =-5y2-2xy+2yz. 1.若m+n =2,mn =1,則m2+n2=　　　. 2.

11、計(jì)算:(1)(3x-2y+5)2. (2)(2a-b+1)(b-1+2a). 3.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,求a+b的值. 　　4.整式加減中的規(guī)律探索問題 　　(1)數(shù)表中的“規(guī)律探究” 　　通過觀察、分析、比較數(shù)表,根據(jù)數(shù)表中每一行、列中數(shù)的自身特點(diǎn)和數(shù)表中前后數(shù)之間的聯(lián)系來發(fā)現(xiàn)、歸納規(guī)律. 【例】觀察下列數(shù)表: 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 1 2 3 4 第二行 2 3 4 5 第三行 3 4 5 6 第四行 4 5 6 7 …… … … … … 請(qǐng)猜

12、想第n行第n列上的數(shù)是　　　. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】通過觀察、分析、比較可知:第1行與第1列,第2行與第2列,第3行與第3列,第4行與第4列,交叉點(diǎn)上的數(shù)依次為1、3、5、7,它們是連續(xù)的奇數(shù),所以可猜想第n行與第n列交叉點(diǎn)上的數(shù)為2n-1. 答案:2n-1 　　(2)圖形中的“規(guī)律探究” 　　從簡單圖形入手,抓住隨著“編號(hào)”或“序號(hào)”增加時(shí),后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形相比,通過類比、計(jì)算等方法找出數(shù)量上的變化規(guī)律,從而推出一般性的結(jié)論,再驗(yàn)證所總結(jié)規(guī)律的正確性. 【例1】如圖,觀察每一個(gè)圖中黑色正六邊形的排列規(guī)律,則第10個(gè)圖中黑色正六邊形有　　　　個(gè). 【標(biāo)準(zhǔn)解答】第1個(gè)圖有1個(gè)黑色正

13、六邊形,第2個(gè)圖有4=22個(gè)黑色正六邊形,第3個(gè)圖有9=32個(gè)黑色正六邊形,…,第n個(gè)圖有n2個(gè)黑色正六邊形,因此第10個(gè)圖有100個(gè)黑色正六邊形. 答案:100 【例2】如圖,每個(gè)圖案都由若干個(gè)棋子擺成,按照此規(guī)律,第n個(gè)圖案中棋子的總個(gè)數(shù)可用含n的代數(shù)式表示為　　　　. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】從行上看,每個(gè)圖中棋子的行數(shù)等于圖形的序號(hào)n,而列數(shù)比圖形的序號(hào)多1,即為n+1,所以第n個(gè)圖案中棋子的總個(gè)數(shù)為n(n+1). 答案:n(n+1) 　　(3)等式中的“規(guī)律探究” 　　觀察等式的左、右兩邊的數(shù)式,隨著序號(hào)變化有何特點(diǎn),通過分析、比較、歸納,得出規(guī)律. 【例】觀察下列等式: 1

14、2+2×1=1×(1+2) 22+2×2=2×(2+2) 32+2×3=3×(3+2) 　…… 則第n個(gè)等式可以表示為　　　　. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】通過觀察可以發(fā)現(xiàn),等式的左邊是兩項(xiàng),第1項(xiàng)是從1開始的整數(shù)的平方,第2項(xiàng)是2與這個(gè)整數(shù)的乘積,所以在左邊可用一般式子表示為n2+2n(n為大于等于1的整數(shù)),每一項(xiàng)等式的右邊是這個(gè)整數(shù)與2的和的積,所以可用一般的式子表示為n,所以第n個(gè)等式為n2+2n=n. 答案:n2+2n=n 　　(4)算式中的“規(guī)律探究” 　　依據(jù)算式找尋規(guī)律就是根據(jù)每個(gè)算式自身特點(diǎn),以及前后算式之間的聯(lián)系發(fā)現(xiàn)歸納規(guī)律. 【例】已知: =3×2=6, =5×4

15、×3=60, =5×4×3×2=120, =6×5×4×3=360,…, 觀察前面的計(jì)算過程,尋找計(jì)算規(guī)律計(jì)算=　　　　(直接寫出計(jì)算結(jié)果),并比較　　　?(填“>”“<”或“=”). 【標(biāo)準(zhǔn)解答】=7×6=42, =9×8×7×6×5=15 120, =10×9×8=720,所以>. 答案:42　> 1.觀察下列各式及其展開式 =a2+2ab+b2 =a3+3a2b+3ab2+b3 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 =a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 …… 請(qǐng)你猜想的展開式第三項(xiàng)的系數(shù)是　(　　) A.36 B.45

16、 C.55 D.66 2.一組按照規(guī)律排列的式子:x,,,,,……,其中第8個(gè)式子是　　　　;第n個(gè)式子是　　　　.(n為正整數(shù)) 3.如圖是一組有規(guī)律的圖案,第1個(gè)圖案由4個(gè)▲組成,第2個(gè)圖案由7個(gè)▲組成,第3個(gè)圖案由10個(gè)▲組成,第4個(gè)圖案由13個(gè)▲組成,…,則第n(n為正整數(shù))個(gè)圖案由　　　　個(gè)▲組成. 4.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣,根據(jù)上述排列規(guī)律,數(shù)陣中第10行從左至右的第5個(gè)數(shù)是　　　　. 　　　　　　1 　　　　2　　　3 　　4　　　5　　　6 7　　　8　　　9　　　10 …… 5.觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式: (1)32—4×12=5　　

17、?、? (2)52—4×22=9 ② (3)72—4×32=13 ③ …… 根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題: (1)完成第四個(gè)等式: 92—4×(　　　)2=(　　　). (2)寫出你猜想的第n個(gè)等式(用含n的式子表示),并驗(yàn)證其正確性. 　　5.乘法公式在實(shí)際生活中的應(yīng)用 　　乘法公式在實(shí)際應(yīng)用中主要是解決有關(guān)整式的計(jì)算求值問題,使運(yùn)算量大大減少,顯示利用公式的優(yōu)越性和使用價(jià)值,是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要方面. 　　(1)用乘法公式解決面積問題 【例】光明幼兒園有一個(gè)游戲場和一個(gè)桂花園,所占地的形狀都是正方形,面積也相同.后來重新改建,擴(kuò)大了游戲場,縮

18、小了桂花園,擴(kuò)大后的游戲場地仍為正方形,邊長比原來增大了3米,縮小后的桂花園也為正方形,邊長比原來減少了2米,設(shè)它們?cè)瓉淼倪呴L為x米,請(qǐng)表示出擴(kuò)大后的游戲場地比縮小后的桂花園的面積多多少平方米,并計(jì)算x=16時(shí)的值. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】(x+3)2-(x-2)2=(x2+6x+9)-(x2-4x+4) =x2+6x+9-x2+4x-4=10x+5. 當(dāng)x=16時(shí),原式=10×16+5=165(平方米) 所以擴(kuò)大后的游戲場地比縮小后的桂花園的面積多(10x+5)平方米,當(dāng)x=16時(shí),為165平方米. 　　(2)用乘法公式解決包裝問題 【例】將一條邊長為2.4m鍍金彩邊剪成兩段,恰好可用來鑲

19、兩張大小不同的正方形壁畫的邊,而兩張壁畫的面積相差1 200 cm2,這條彩邊應(yīng)剪成多長的兩段? 【標(biāo)準(zhǔn)解答】設(shè)較大正方形壁畫的周長為xcm,則較小正方形壁畫的周長為(240-x)cm. 由題意,得-=1200, 即-=1200. 去括號(hào),得-3600+30x-=1200, 即30x=4800.解得x=160,240-160=80(cm).所以這條彩邊應(yīng)剪成長為160cm,80cm的兩段. 某商人對(duì)數(shù)字“8”情有獨(dú)鐘,他每年八月份都要到制作廣告牌的張師傅那里做兩個(gè)一大一小的正方形廣告牌,面積之差為8的倍數(shù).請(qǐng)問兩張廣告牌的邊長至少要滿足什么樣的條件,才能符合商人的要求. 跟蹤

20、訓(xùn)練答案解析 1.逆用冪的運(yùn)算法則解題 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】a3m+2n=a3m×a2n=×. 把a(bǔ)m=2,an=3代入得 a3m+2n=23×32=8×9=72. 2.【解析】因?yàn)?x=(2)2x=9, 所以21-2x=2÷22x=2÷9=. 3.【解析】∵(ab)n=anbn, ∴(-8)2015×(0.125)2016 =[(-8)×0.125]2015×0.125 =(-1)2015×0.125 =(-1)×0.125 =-0.125. 2.用圖形面積表示整式的乘法法則(公式) 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】面積=AD×AB=(x+3)(x+2).

21、答案:(x+3)(x+2) 2.【解析】(1)(a+2b)(2a+b) =2a2+5ab+2b2. (2)畫出的圖形如圖所示. 3.【解析】(1)圖形如下: 代數(shù)意義為:a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b). (2)需用2號(hào)卡片3張,3號(hào)卡片7張. 4.【解析】(1)m-n. (2)(m-n)2=(m+n)2-4mn. (3)當(dāng)m+n=9,mn=14時(shí), (m-n)2=(m+n)2-4mn=92-4×14 =81-56=25. 3.整式乘除中的整體思想 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】m2+n2=(m+n)2-2mn=2. 答案:2 2.【解析】(1)

22、(3x-2y+5)2=[(3x-2y)+5]2 =(3x-2y)2+10(3x-2y)+25 =9x2-12xy+4y2+30x-20y+25. (2)(2a-b+1)(b-1+2a) =[2a-(b-1)][2a+(b-1)] =4a2-(b-1)2 =4a2-b2+2b-1. 3.【解析】∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63, ∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63, ∴(2a+2b)2-1=63, ∴(2a+2b)2=64, ∴2a+2b=8或2a+2b=-8, ∴a+b=4或a+b=-4, ∴a+b的值為4或-4. 4.整式加減中的規(guī)律

23、探索問題 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】選B.∵由楊輝三角可得: ∴的展開式第三項(xiàng)的系數(shù)是45. 2.【解析】根據(jù)前5個(gè)數(shù),可以得到這一組數(shù)排列的規(guī)律是分子的指數(shù)是從1開始的奇數(shù),分母是底數(shù)從1開始的自然數(shù)的平方,因此第8個(gè)式子是=,第n個(gè)式子是. 答案:　 3.【解析】觀察發(fā)現(xiàn): 第一個(gè)圖形有3×2-3+1=4個(gè)三角形; 第二個(gè)圖形有3×3-3+1=7個(gè)三角形; 第三個(gè)圖形有3×4-3+1=10個(gè)三角形; … 第n個(gè)圖形有3(n+1)-3+1=3n+1個(gè)三角形. 答案:3n+1 4.【解析】由排列的規(guī)律可得,第n-1行結(jié)束的時(shí)候排了1+2+3+…+n-1 =n(n

24、-1)個(gè)數(shù). 所以第n行從左向右的第5個(gè)數(shù)為 n(n-1)+5. 所以當(dāng)n=10時(shí),第10行從左向右的第5個(gè)數(shù)為50. 答案:50 5.【解析】(1)92-4×42=17. (2)(2n+1)2-4×n2=4n+1; ∵左邊=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右邊, ∴等式成立. 5.乘法公式在實(shí)際生活中的應(yīng)用 【跟蹤訓(xùn)練】 　分析:若設(shè)兩張廣告牌的邊長大的為a米,小的為b米,即可得a2-b2=8n(n為正整數(shù)),若以a=3,b=1為例發(fā)現(xiàn)32-12=8,符合條件;若a=4,b=2,則42-22=12,不符合條件;若a=5,b=3,則52-32=16=8×2,符合條件……這樣多寫幾組,便可發(fā)現(xiàn)兩個(gè)相鄰的奇數(shù),其中較大的與較小的平方差是8的倍數(shù). 【解析】設(shè)兩張廣告牌的邊長是相鄰的奇數(shù)時(shí),兩張廣告牌的面積之差是8的倍數(shù),因?yàn)?2n+1)2-(2n-1)2=(4n2+4n+1)-(4n2-4n+1)=8n(n為正整數(shù)). 15