2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專(zhuān)題20 以相似三角形為背景的證明與計(jì)算（含解析）

專(zhuān)題20 以相似三角形為背景的證明與計(jì)算 考點(diǎn)分析 【例1】（2019·遼寧中考真題）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，分別以CD和AD為直角邊作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC下方，連接EF． （1）如圖1，當(dāng)BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD時(shí)， 求證：①∠CAD＝∠CDF， ②BD＝EF； （2）如圖2，當(dāng)BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD時(shí)，猜想BD和EF之間的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由． 【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）BD＝EF，理由見(jiàn)解析. 【解析】 （1）證明：①∵∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠ADC＝90°， ∵∠CDF+∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠CDF； ②作FH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H， 則四邊形FECH為矩形， ∴CH＝EF， 在△ACD和△DHF中， ， ， ， ， ，即， ； （2）， 理由如下：作交的延長(zhǎng)線于， 則四邊形為矩形， ， ，， ， ，即，GF＝2CD， ∵BC＝2AC，CE＝2CD， ∴BC＝DG，GF＝CE， ∴BD＝CG， ∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°， ∴四邊形FECG為矩形， ∴CG＝EF， ∴BD＝EF． 【點(diǎn)睛】 此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握各判定定理. 【例2】 （2019·遼寧中考真題）如圖，中，，DE垂直平分AB，交線段BC于點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合），點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)（點(diǎn)G與點(diǎn)A不重合），且． （1）如圖1，當(dāng)時(shí)，線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系是　 ?。? （2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明． （3）若，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出CF的長(zhǎng)． 【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）2.5或5 【解析】 解：（1）相等，理由：如圖1，連接AE， ∵DE垂直平分AB， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 故答案為：； （2）， 理由：如圖2，連接AE， ， ， ， ∵DE垂直平分AB， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （3）①當(dāng)G在DA上時(shí)，如圖3，連接AE， ∵DE垂直平分AB， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 過(guò)A作于點(diǎn)H， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②當(dāng)點(diǎn)G在BD上，如圖4，同（1）可得，， ， ， ， ， 綜上所述，CF的長(zhǎng)為2.5或5． 【點(diǎn)睛】 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 考點(diǎn)集訓(xùn) 1．（2019·山東中考真題）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α. （1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn) ① 當(dāng)時(shí)， ；② 當(dāng)時(shí)， （2）拓展探究 試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明. （3）問(wèn)題解決 當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出線段BD的長(zhǎng). 【答案】（1）①,②.（2）無(wú)變化；理由參見(jiàn)解析.（3），. 【解析】 （1）①當(dāng)α=0°時(shí)， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=， ∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)， ∴,BD=8÷2=4， ∴． ②如圖1， ， 當(dāng)α=180°時(shí)， 可得AB∥DE， ∵， ∴ （2）如圖2， ， 當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒(méi)有變化， ∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵， ∴△ECA∽△DCB， ∴． （3）①如圖3， ， ∵AC=4，CD=4，CD⊥AD， ∴AD= ∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四邊形ABCD是矩形， ∴BD=AC=． ②如圖4，連接BD，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P， ， ∵AC=，CD=4，CD⊥AD， ∴AD=， ∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)， ∴DE==2， ∴AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得 ， ∴BD=． 綜上所述，BD的長(zhǎng)為或． 2．（2019·江蘇初三期末）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)， （1）求證：AC2=AB?AD； （2）求證：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求的值． 【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）． 【解析】 解：（1）證明：∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB． ∵∠ADC=∠ACB=90° ∴△ADC∽△ACB． ∴ 即AC2=AB?AD． （2）證明：∵E為AB的中點(diǎn) ∴CE=AB=AE ∴∠EAC=∠ECA． ∵∠DAC=∠CAB ∴∠DAC=∠ECA ∴CE∥AD． （3）∵CE∥AD ∴△AFD∽△CFE ∴． ∵CE=AB ∴CE=×6=3． ∵AD=4 ∴ ∴． 3．（2019·四川中考真題）如圖，，DB平分∠ADC，過(guò)點(diǎn)B作交AD于M．連接CM交DB于N． （1）求證：；（2）若，求MN的長(zhǎng)． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 證明：（1）∵DB平分， ，且， （2） ，且 ，且， ， 且 【點(diǎn)睛】 考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，求MC的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵． 4．（2019·江蘇泰州中學(xué)附屬初中初三月考）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜），連接MN． （1）若△BMN與△ABC相似，求t的值； （2）連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值． 【答案】（1）△BMN與△ABC相似時(shí)，t的值為或；（2）t= 【解析】 （1）由題意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），當(dāng)△BMN∽△BAC時(shí)，，∴，解得：t=； 當(dāng)△BMN∽△BCA時(shí)，，∴，解得：t=， ∴△BMN與△ABC相似時(shí)，t的值為或； （2）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥CB于點(diǎn)D，由題意得：DM=BMsinB==（cm），BD=BMcosB==（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵M(jìn)D⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴，解得t=． 考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．解直角三角形；3．動(dòng)點(diǎn)型；4．分類(lèi)討論；5．綜合題；6．壓軸題． 5．（2019·湖北中考真題）在中，，，是上一點(diǎn)，連接 （1）如圖1，若，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與垂直，求證： （2）過(guò)點(diǎn)作，為垂足，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn). ①如圖2，若，求證： ②如圖3，若是的中點(diǎn)，直接寫(xiě)出的值（用含的式子表示） 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；② 【解析】 (1)延長(zhǎng)交于點(diǎn)， ∵與垂直，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； (2)①過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)， ∵，∴與垂直， 由(1)，得， ∵， ∴，即； ②過(guò)點(diǎn)C作CD//BP交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AM交CD于點(diǎn)H， ∴∠PCH=∠BPQ， ∵，∴⊥， ∴∠BPM=∠CHM=90°， 又∵∠BMP=∠CMH，BM=CM， ∴△BPM≌△CHM， ∴BP=CH，PM=HM， ∴PH=2PM， ∵∠PMB=∠BMA，∠ABM=∠BPM=90°， ∴△ABM∽△BPM， ∴， 在Rt△PCH中，tan∠PCH=， ∴tan∠BPQ=， 又∵BC=2BM，， ∴tan∠BPQ=. 【點(diǎn)睛】 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用. 6．（2019·遼寧初三期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD=∠B, （1）求證：AC?CD=CP?BP； （2）若AB=10，BC=12，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求BP的長(zhǎng)． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C． ∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C． ∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC， ∴∠BAP=∠DPC， ∴△ABP∽△PCD， ∴， ∴AB?CD=CP?BP． ∵AB=AC， ∴AC?CD=CP?BP； （2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP． ∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C． ∵∠B=∠B， ∴△BAP∽△BCA， ∴． ∵AB=10，BC=12， ∴， ∴BP=． “點(diǎn)睛”本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，把證明AC?CD=CP?BP轉(zhuǎn)化為證明AB?CD=CP?BP是解決第（1）小題的關(guān)鍵，證到∠BAP=∠C進(jìn)而得到△BAP∽△BCA是解決第（2）小題的關(guān)鍵． 7．（2019·山西初三期末）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)． （1）求證：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠EAC=90°時(shí)，求PB的長(zhǎng)； 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）PB的長(zhǎng)為或． 【解析】 解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE， ∴△ADB≌△AEC， ∴BD=CE． （2）解：①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AB﹣AE=1． ∵∠EAC=90°， ∴CE==． 同（1）可證△ADB≌△AEC， ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC， ∴， ∴， ∴PB=． ②當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=3． ∵∠EAC=90°， ∴CE==． 同（1）可證△ADB≌△AEC， ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC， ∴， ∴， ∴PB=． 綜上所述，PB的長(zhǎng)為或． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，證明得△PEB∽△AEC是解題的關(guān)鍵． 8．（2019·山東初三）如圖①，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)E，AB=AC=BD，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，N為線段AM上的點(diǎn)，且MB=MN. （1）求證：BN平分∠ABE； （2）若BD=1，連結(jié)DN，當(dāng)四邊形DNBC為平行四邊形時(shí)，求線段BC的長(zhǎng)； （3）如圖②，若點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連結(jié)FN、FM，求證：△MFN∽△BDC． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析. 【解析】 （1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)， ∴AM⊥BC， 在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°， 在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°， ∴∠MAB=∠EBC， 又∵M(jìn)B=MN， ∴△MBN為等腰直角三角形， ∴∠MNB=∠MBN=45°， ∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°， ∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE； （2）設(shè)BM=CM=MN=a， ∵四邊形DNBC是平行四邊形， ∴DN=BC=2a， 在△ABN和△DBN中， ∵， ∴△ABN≌△DBN（SAS）， ∴AN=DN=2a， 在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1， 解得：a=±（負(fù)值舍去）， ∴BC=2a=； （3）∵F是AB的中點(diǎn)， ∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF， ∴∠MAB=∠FMN， 又∵∠MAB=∠CBD， ∴∠FMN=∠CBD， ∵， ∴， ∴△MFN∽△BDC． 點(diǎn)睛：本題主要考查相似形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)、直角三角形和平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)． 9．（2019·河南中考真題）在，，．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP． （1）觀察猜想 如圖1，當(dāng)時(shí)，的值是　 　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是　 ?。? （2）類(lèi)比探究 如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說(shuō)明理由． （3）解決問(wèn)題 當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時(shí)的值． 【答案】（1）1，（2）45°（3）， 【解析】 解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)CP交BD的延長(zhǎng)線于E，設(shè)AB交EC于點(diǎn)O． ， ， ，， ， ，， ， ， ，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是， 故答案為1，． （2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，BD交PC于點(diǎn)E． ， ， ， ， ，， ， ， 直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為． （3）如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于H． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， A，D，C，B四點(diǎn)共圓， ，， ， ，設(shè)，則，， c． 如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，同法可證：，設(shè)，則，， ， ． 【點(diǎn)睛】 本題屬于相似形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題． 10．（2019·山東初三期中）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC． （1）求證：AD＝BC； （2）求證：△AGD∽△EGF； （3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3） 【解析】 （1）∵GE是AB的垂直平分線，∴GA=GB．同理GD=GC． 在△AGD和△BGC中，∵GA=GB，∠AGD=∠BGC，GD=GC， ∴△AGD≌△BGC．∴AD=BC． （2）∵∠AGD=∠BGC， ∴∠AGB=∠DGC． 在△AGB和△DGC中，，∠AGB=∠DGC， ∴△AGB∽△DGC． ∴，又∠AGE=∠DGF，∴∠AGD=∠EGF，∴△AGD∽△EGF． （3）如圖，延長(zhǎng)AD交GB于點(diǎn)M，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則AH⊥BH． 由△AGD≌△BGC，知∠GAD=∠GBC， 在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB． ∴∠AGB=∠AHB=90°， ∴∠AGE=∠AGB=45°， ∴ 又△AGD∽△EGF， ∴ 11．（2019·溫江中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中）如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD． （1）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論； （2）現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H．請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫(xiě)出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明． 【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由見(jiàn)解析；（2）理由見(jiàn)解析；（3）PM=kPN；理由見(jiàn)解析 【解析】 （1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下： ∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°． 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠EAC=∠CBD， ∵點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)， ∴PM=BD，PN=AE， ∴PM=PM， ∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°， ∴∠MPA+∠NPC=90°， ∴∠MPN=90°， 即PM⊥PN； （2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∴△ACE≌△BCD． ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD， ∴∠BHO=∠ACO=90°． ∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)， ∴PM=BD，PM∥BD； PN=AE，PN∥AE． ∴PM=PN． ∴∠MGE+∠BHA=180°． ∴∠MGE=90°． ∴∠MPN=90°． ∴PM⊥PN． （3）PM=kPN ∵△ACB和△ECD是直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∵BC=kAC，CD=kCE， ∴=k． ∴△BCD∽△ACE． ∴BD=kAE． ∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)， ∴PM=BD，PN=AE． ∴PM=kPN． 考點(diǎn)：相似形綜合題． 12．（2019·山東初三期中）（提出問(wèn)題） （1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN． （類(lèi)比探究） （2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． （拓展延伸） （3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】見(jiàn)解析 【解析】 解：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°． ∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，， ∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN． （2）結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下： ∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°． ∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，， ∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN． （3）∠ABC=∠ACN．理由如下： ∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN． ∴△ABC∽△AMN．∴． 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN. ∴△BAM∽△CAN．∴∠ABC=∠ACN． 13．（2019·福建省莆田擢英中學(xué)初三月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí)，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E （1）求證：∠CBP=∠ABP； （2）求證：AE=CP； （3）當(dāng)，BP′=時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)． 【解析】 （1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到， ∴AP=AP′， ∴∠APP′=∠AP′P， ∵∠C=90°，AP′⊥AB， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°， 又∵∠BPC=∠APP′， ∴∠CBP=∠ABP； （2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D， ∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°， ∴CP=DP， ∵P′E⊥AC， ∴∠EAP′+∠AP′E=90°， 又∵∠PAD+∠EAP′=90°， ∴∠PAD=∠AP′E， 在△APD和△P′AE中， ， ∴△APD≌△P′AE（AAS）， ∴AE=DP， ∴AE=CP； （3）解：∵， ∴設(shè)CP=3k，PE=2k， 則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k， 在Rt△AEP′中，P′E==4k， ∵∠C=90°，P′E⊥AC， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°， ∵∠BPC=∠EPP′， ∴∠CBP=∠EP′P， 又∵∠CBP=∠ABP，∴∠ABP=∠EP′P， 又∵∠BAP′=∠P′EP=90°， ∴△ABP′∽△EPP′， ∴， 即， 解得P′A=AB， 在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2， 即AB2+AB2=（5）2， 解得AB=10． 考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.角平分線的性質(zhì)；3.勾股定理；4.相似三角形的判定與性質(zhì)． 14．（2019·遼寧中考真題）如圖1，在中，，，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，連接MC，點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接MP交AC于點(diǎn)H．將射線MP繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交線段CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D． （1）找出與相等的角，并說(shuō)明理由． （2）如圖2，，求的值． （3）在（2）的條件下，若，求線段AB的長(zhǎng)． 【答案】（1）；理由見(jiàn)解析；（2）；（3）. 【解析】 （1）． 理由如下：∵，， ∴． ∴． 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，． ∴； （2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作交MP于點(diǎn)G． ∴，． ∵，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． 在與中， ∴． ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． 設(shè)，則，． 在中，． ∴． ∴； （3）如圖，由（2）知．則． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 由（2）知，，則． ∴，． ∵，． ∴． ∴． ∴，即． 解得，（舍去）． ∴． 【點(diǎn)睛】 考查了幾何變換綜合題．解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定（ASA）與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題過(guò)程中，注意方程思想在求相關(guān)線段長(zhǎng)度時(shí)的靈活運(yùn)用．