初中數(shù)學競賽專題復習 第三篇 初等數(shù)論 第19章 整數(shù)的整除性（下半部分）試題 新人教版

第19章 整數(shù)的整除性 綜上可知，命題成立． 評注如果兩個互質(zhì)的正整數(shù)之積是一個完全平方數(shù)，則這兩個正整數(shù)都是完全平方數(shù)．這一命題是我們證明此題的出發(fā)點． 19．4．27★★★如果正整數(shù)、、滿足． 證明：數(shù)和都可以表示為兩個正整數(shù)的平方和． 解析 巧妙運用下述命題：如果正整數(shù)可表示為兩個正整數(shù)的平方和，則也可表示為兩個整數(shù)的平方和．事實上，設，這里、、都是正整數(shù)．則．于是，可表示為兩個整數(shù)和的平方和，命題獲證． 注意到，由條件有 ． 利用已證命題，可知 ． 記，，由可知、都是正整數(shù)，并且．若、不同為偶數(shù)，則由平方數(shù)或，可知或，這是一個矛盾．所以，、都是偶數(shù)，從而，這就是 要證的結論． 評注 這里本質(zhì)上只是恒等式的應用，在處理競賽問題時，代數(shù)式變形能力顯得十分重要． 19．4．28是否存在正整數(shù)、使得是完全平方數(shù)？ 解析 分如下三種情形討論： （1）若m、都是偶數(shù)，則，，所以， 故此時不是完全平方數(shù)． （2）若、都是奇數(shù)，則，，所以， 故此時不是完全平方數(shù)． （3）若、是一奇一偶，不妨設是奇數(shù)，是偶數(shù)，則，，所以，故此時不是完全平方數(shù)． 綜上所述，對于任意正整數(shù)、，正整數(shù)都不是完全平方數(shù)． 評注 判斷一個數(shù)不是完全平方數(shù)，我們也可以用“?！钡姆椒?，例如，我們知道，偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方除以4余1，所以，若一個整數(shù)同余2或者3模4，則它一定不是完全平方數(shù)；類似地，若一個整數(shù)同余2模3，則它一定不是完全平方數(shù)；一個整數(shù)同余2、3模5，則它一定不是完全平方數(shù)等等． 其實，考慮末位數(shù)也是用“?！钡姆椒?，即模10． 19．4．29★★★已知是正整數(shù)，且和都是完全平方數(shù)，求證：． 解析 因為，所以，只需證明：，且即可． 設，，其中、都是正整數(shù)．由于是奇數(shù)，所以，，從而，于是，是奇數(shù)，所以，，即，從而． 又對于任意整數(shù)，有，所以，，于是，故只能是， 所以，，從而． 因為（8，5）=1，所以， 19．4．30★★★—個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差，稱為“智慧數(shù)”，比如，16就是一個“智慧數(shù)”，從1開始數(shù)起，第2008個“智慧數(shù)”是哪個數(shù)？ 解析 1不是“智慧數(shù)”，大于1的奇正整數(shù)，都是“智慧數(shù)”． 被4整除的偶數(shù)，有，都是“智慧數(shù)”，而4不能表示為兩個正整數(shù)的平方差，4不是“智慧數(shù)”． 被4除余2的數(shù)，設，其中、為正整數(shù)，當、奇偶性相同時，，均為偶數(shù)，被4整除，而不被4整除，所以、奇偶性相同的假設不可能成立；當、奇偶性不同時，，均為奇數(shù)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，故、奇偶性不同的假設也不可能成立．即不存在正整數(shù)、，使，即形如的數(shù)均不是“智慧數(shù)”． 綜述，在正整數(shù)列中，前四個正整數(shù)中只有3為“智慧數(shù)”，之后每連續(xù)四個數(shù)中有三個“智慧數(shù)”，其中第二個數(shù)，即形如的數(shù)不是智慧數(shù)． ，．因此，第2008個“智慧數(shù)”是2680． 19．4．31★★★把能表示成兩個正整數(shù)平方差的這種正整數(shù)，從小到大排成一列：，例如：，求的值． 解析 當時，若是奇數(shù)，則，即能表示成兩個正整數(shù)的平方差；若，則，即也能表示成兩個正整數(shù)的平方差；若，則，即也能表示成兩個正整數(shù)的平方差；若，則不能表示成兩個正整數(shù)的平方差． 所以，，，，…，一般地， ，， ， 故， 而，所以 ． 19．4．32★★在二個連續(xù)的平方數(shù)之間能不能有二個完全立方數(shù)？換言之，是否存在正整數(shù)、、使得？ 解析 假設存在正整數(shù)、、，使得． 因，可得．又因為，可得，即．故，矛盾． 故假設不成立，即二個連續(xù)的平方數(shù)之間不能有二個完全立方數(shù)． 19．4．33★★★設為正整數(shù)，如果存在一個完全平方數(shù)，使得在十進制表示下此完全平方數(shù)的各位數(shù)字之和為，那么稱為好數(shù)（例如13是一個好數(shù)，因為的各位數(shù)字之和等于13）．問：在1，2，…，2007中有多少個好數(shù)？ 解析 首先，對分別計算，可得，利用十進制下一個數(shù)與它的數(shù)碼和模9同余，可知滿足條件的，即或． 其次，注意到，因此，若存在非負整數(shù)，使得，則為好數(shù)，又由，可知，4是好數(shù)，因此，若，則為好數(shù)．最后，由 ， 可知若，則是好數(shù)． 綜上可知，為好數(shù)的充要條件是或．依此可求得1，2，…，2007中好數(shù)的個數(shù)為個． 19．4．34★★★在黑板上依如下規(guī)則寫下了若干個數(shù)：第一個數(shù)為1，以后的每一個數(shù)都等于已寫數(shù)的個數(shù)加上這些已寫數(shù)的平方和．證明：黑板上不可能出現(xiàn)除1以外的完全平方數(shù)． 解析 利用相鄰兩個完全平方數(shù)之間的正整數(shù)都不是完全平方數(shù)這一結論． 設第次所寫的數(shù)為，則，，并且 ，． ① 利用遞推式①，可知 ，，② 由①-②，可知 ，， 即，． 注意到，，故時，不是完全平方數(shù)，又不是完全平方數(shù)，故命題成立． 評注 用遞推式表示題中的條件后，問題得以數(shù)學化，從而獲得解決．用恰當?shù)姆绞綄栴}表示，這一過程是一個數(shù)學化的過程，是處理實際問題時必要的第一步． 19.4.35★★★如果對的一切整數(shù)值，的二次三項式都是平方數(shù)（即整數(shù)的平方）．證明： （1）、、都是整數(shù)； （2）、、都是整數(shù)，并且是平方數(shù)． 反過來，如果（2）成立，是否對一切的整數(shù)值，的值都是平方數(shù)？ 解析 （1）令得平方數(shù). 令得，，其中、都是整數(shù)，所以 ， 都是整數(shù)． （2）如果是奇數(shù)（是整數(shù)），那么令得 ， 其中是整數(shù)． 由于是整數(shù)，所以被4整除， 除以4余2． 而，在、的奇偶性不同時，是奇數(shù)；在、的奇偶性相同時，被4整除． 因此，從而是偶數(shù)，是整數(shù)．也是整數(shù)． 在（2）成立時，不一定對的整數(shù)值都是平方數(shù)．例如，，，，時， 不是平方數(shù)． 19．4．36★★★設為任意正整數(shù)，為正整數(shù)． 試確定正整數(shù)，使都是某個正整數(shù)的平方． 解析 令. 首先我們知道： （1），. 因此，均不為完全平方數(shù)． 所以，2不滿足所要求的條件． （2），對任意正整數(shù)而言，必為整數(shù)，所以必為完全平方數(shù)． （3）對任意而言，必為奇數(shù)，但任一奇數(shù)，設（為整數(shù)），則 ． 顯然不可能是型的數(shù)．（因為必為一奇一偶，除之外，，又時，，而時，也不為的數(shù)）． 由（1）、（2）、（3）的討論得知是唯一使恒為完全平方數(shù)的正整數(shù)． 6