滬教版高數(shù)學(xué)不等式復(fù)習(xí)教材教案

(滬教版高一)數(shù)學(xué)：第2章不等式 n新課講授 1.一元二次不等式(x+a)(x+b)<0的解法： 首先我們來觀察這個不等式(x+4)(x-1)<0的特點(diǎn)，以不等式兩邊來觀察 特點(diǎn)：左邊是兩個x 一次因式的積，右邊是0. x+4<0 x-1>0 思考：依據(jù)該特點(diǎn)，不等式能否實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化而又能轉(zhuǎn)化成什么形式的不等式? 不等式(x+4)(x-1)<0可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，可轉(zhuǎn)化成一次不等式組： |x+4>0 x-1<0 x 1<0 注意：不等式(x+4)(x-1)<0的解集是上面不等式組解集的并集 一元二次不等式(x+4)(x-1)<0的解法: 解：將(x+4)(x-1)<0轉(zhuǎn)化為 …網(wǎng)' ［來源”世紀(jì)教育網(wǎng)］文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) Jx+ >0與 |x-1<0 j x+4>0 x-1<0 x+4<0 x-1>0 x-1<0 得原不等式的解集是{x|-4<x<1} U I x+4<0 x-1>0 x-1<0 ={x|-4<x<-1} ={x|-4<x<1} 21世紀(jì)教育網(wǎng) 6 / 9 步驟：從上可看出一般形式(x+a)(x+b)<0解的步驟： 將所解不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式組，求其解集的并集，即為所求不等式的解 通過因式分解，轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組的方法， ［例］求解下列不等式? 2 1、x2-3x-4>0 解：將 x2-3x-4>0 分解為(x-4)(x+1)>0 轉(zhuǎn)化為x+4>0 Lx-1<0 x+4<0 -x-1>0 x+4>0 x-1<0 ={x|-4<x<1} ix jx-1<0 x+4>0 原不等式的解集為{x|x>4} U {x|x<-1}={x|x<-1 或 x>4} 2、x(x-2)>82,世紀(jì)教育網(wǎng) 解：將x(x-2)>8變形為x2-2x-8>0化成積的形式為(x-4)(x+2)>0［來g育網(wǎng)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個 人學(xué)習(xí) 一 x卜 x-4>0 - 匚 x+2>0 x-4<0 「 1- 1 L x+2<0 」 ={x|x>4} ［21世紀(jì)教育網(wǎng) ={x|x<-2} 21世紀(jì)教育網(wǎng) 原不等式的解集為{x|x>4} U {x|x<-2} ={x|x<-2 或 x>4} 說明：問題解決的關(guān)鍵在于通過正確因式分解，將不等號左端化成兩個一次因式積的 形式? 2?分式不等式 ^+a >0的解法*世紀(jì)教育網(wǎng)］ x+b 比較學(xué)〈0與(x-3)(x+7)<0與的解集 思考：x+7+7〈0與(x-3)(x+7)<0的解集，是否相同. 它們都可化為一次不等式組H 「x-3>0 與 J L x+7<0 與 I x-3<0 :教育網(wǎng)x+7>0 [例5] x-3 解不等式 x+7 <0 解析: 是 >0 這個不等式若要正確無誤地求出解集，則必須實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，而這個轉(zhuǎn)化依據(jù)就 旦ab>0共〉 <0 旦ab<0咬檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) b b 解：這個不等式解集是不等式組 21世紀(jì)教育網(wǎng) x-3>0 與 -x+7<0 x-3>0 x+7<0 、x-3<0 1 x+7>0 -={x|-7<x<3} 的解集的并集世紀(jì)教育網(wǎng) 得原不等式的解集是{x|-7<x<3} U ={x|-7<x<3} 由些得出不等式 岀>0的解法同(x+a)(x+b)>0的解法相同. x+b ［例］求不等式3+ 2 <0的解集. x 解: 3+2<0可變形為 I 轉(zhuǎn)化為(3x+2) x<0— 21世紀(jì)教育網(wǎng) 3x+2>0 u -s x| J 3x+2<0 .x>0 IV ={x|- 2 <x<0 } U 3 課堂練習(xí): 21世紀(jì)教育網(wǎng) 課時(shí)小結(jié)： 1、(x+a)(x+b)<0 2、 x+a x+b 21世紀(jì)教育網(wǎng) <x<0 } 21世紀(jì)教育網(wǎng) 型不等式轉(zhuǎn)化方法是 >0型不等式轉(zhuǎn)化結(jié)果 x+a>0 x+b<0 :(x+a)(x+b)>0 |來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)］ 』x+a<0 ||_ x+b>0 3、上述兩類不等式解法相同之處及關(guān)鍵、 注意點(diǎn). 2.4基本不等式的應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo)：通過集體討論發(fā)現(xiàn)容易出現(xiàn)的問題， 師生共同探究弄清兩個基本不等式的應(yīng)用及其等號成 立的條件。在集體探究過程中，培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想、代換思想等；通過一題多解培養(yǎng) 學(xué)生的發(fā)展性思維。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) 教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：不等式等號成立條件 教學(xué)過程： 創(chuàng)設(shè)問題情景： 已知面積為2的矩形ABCD的邊長為x, y，求矩形ABCD的對角線AC長的取值范圍。 ――引出基本不等式的應(yīng)用 基本不等式1 :對于任意實(shí)數(shù)a,b，有a2 ? b2 _2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a =b時(shí)，等號成立。 基本不等式2 :對于任意正數(shù)a,b，有ab，當(dāng)且僅當(dāng)a =b時(shí)，等號成立。 2 基本不等式揭示了兩數(shù)和 (a ? b)，兩數(shù)積(ab)，兩數(shù)平方和(a2 b2)之間的不等關(guān)系。 問題一： 1)已知X, R，且xy - -2，求x2 y2的取值范圍。 2)已知x, R，且x2 y2 =2，求xy的取值范圍。 1 1 冋題二：已知x, y 0，且x 2y =1，求 的最小值。 x y 2.6破解不等式解集的端點(diǎn) 在不等式這一章中，有這樣一類題目：已知不等式的解集，求參數(shù)的值。這類題目往往感覺無從 下手，已知的不等式的解集這一條件不好用。下面通過幾個例題來看一下這一條件的使用。 文檔收集自 網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) 例1：已知不等式ax-1>0的解集為(-：：,-1)，求實(shí)數(shù)a的值。 分析：設(shè)f(x)=ax-1，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-1不合題意舍去。f(x)=ax-1為一次函數(shù)，要想使 f(x)>0恰 a 0 在(-：：，-1)成立，需滿足 即可。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) [f(-1)=0 解：由題意可知：a<0，且x=-1時(shí)，ax-仁0， 所以a=-1。 點(diǎn)評：不等式ax-1>0解集的端點(diǎn)-1實(shí)質(zhì)上是一次函數(shù) f(x)=ax-1的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即 例2： 1 1 已知不等式ax2+bx+2>0的解集為｛x | -—<x< ｝，求實(shí)數(shù)a、b的值。 2 3 分析： 2 1 1 由題意可知：a = 0,設(shè)f(x)=ax +bx+2，要想使f(x)>0恰在｛x | -—<x<—｝上成立，需滿 2 3 方程ax-1=0的根。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) a <0 1 足 f( )=0即可。25網(wǎng)25網(wǎng)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) 2 1 吋0 解：由題意可知: 1 1 2 a<0，且-一、-是方程 ax +bx+2=0的解, 2 3 由韋達(dá)定理得: 1 + — 3 1 ■— 3 a»12 b =2 2 點(diǎn)評：不等式ax +bx+2>0 解集的端點(diǎn) 1 1 2 、—實(shí)質(zhì)上是—次函數(shù) f(x)= ax +bx+2的圖像與x軸 2 3 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即方程 ax2 +bx+2=0 的根。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) ax 例3:關(guān)于x的不等式 <1的解集為｛x | x<1或x>2｝，則實(shí)數(shù)a= 。［來源--教育網(wǎng)文檔收集自網(wǎng) x -1 絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) ax ax 分析：原不等式可化為： -1<0,設(shè)f(x)= -1，它的圖像是分布在直線 x=1兩側(cè)的兩部分 X「1 x-1 連續(xù)的曲線，曲線與 x軸的交點(diǎn)是曲線由x軸上方進(jìn)入下方的分界點(diǎn)，它的坐標(biāo)是方程 f(x)=0的根。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) 解：由x=2時(shí)， ax =1得，玄=丄。 x -1 2 ax ax 點(diǎn)評：不等式 -1<0解集的端點(diǎn)1、2實(shí)質(zhì)上是函數(shù)f(x)= 的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) x-1 X -1 ax 或使函數(shù)無意義的 x的值。其中2是方程 =1的根。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) x—1 由以上三例可知，有理不等式解集的端點(diǎn)， 就是不等式所對應(yīng)方程的根或者使不等式無意義的 x 的值，只要將方程的根代入，就可求出參數(shù)的值。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) 2.7不等式中恒成立問題的解法研究 在不等式的綜合題中，經(jīng)常會遇到當(dāng)一個結(jié)論對于某一個字母的某一個取值范圍內(nèi)所有值都成 立的恒成立問題。 恒成立問題的基本類型： 類型 1：設(shè) f (x)二 ax2 ? bx ? c(a = 0), (1) f (x) . 0在x ? R上恒成立：二 a ■ ::: 0 ； (2) f (x) ::: 0在x三R上恒成立：二a 0且二■:- 0。 類型 2：設(shè) f (x) = ax2 bx c(a = 0) (1)當(dāng)a 0時(shí), f(x) . 0在x?[:?「：]上恒成立二 b 2a <a 或」 b 2a 或-務(wù) f( ) 0 2 7 / 9 f(x)v0在xE[o(,0]上恒成立二」(?<0 f(B)c0 (2)當(dāng) a ：：0 時(shí), f(x) .0在x ?[:?，訂上恒成立二 ：f(a)：>0 f (0) >0 f(x) <0在xE[a,P]上恒成立=」2a 或< 2a 或彳2a [f(G)>0 [—0 [f(P)£0 類型3: f (x)，:£對一切x ? I恒成立= f(X)min 匸二 f(X)：：：對一切 X I恒成立 二 f (X)max :。 類型4: 21世紀(jì)教育網(wǎng) f(x) g(x)對一切X I恒成立=f (x)的圖象在g(x)的圖象的上方或f(x)min g(X)max (x I) 恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、 最小值法、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) 一、用一次函數(shù)的性質(zhì) 對于一次函數(shù) f (x)二 kx ? b, x ? [ m, n]有: f (x) 0恒成立二 伽0f(x)7恒成立二 f(n) 0 f(m) ：： 0 f(n) ：： 0 例1：若不等式2x -1 m(x2 -1)對滿足-2_m_2的所有m都成立，求x的范圍。 解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為： m(x2 T) —(2x -1) ：： 0，；令 f(m)二 m(x2 -1) —(2x -1)，則一 2 乞 m 乞 2 時(shí)，f (m) ：： 0恒成 立，所以只需 廣 f 2 f(—2)c0 即』-2(x —1)—(2x—1)<0 』(2) v0 2(x2 —1) —(2x —1) <0 ，所以x的范圍是 X「i7 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) 二、利用一元二次函數(shù)的判別式 2 對于一元二次函數(shù) f (x)二 ax bx c 0(a = 0, x ? R)有: (1) f(x) 0在R上恒成立二a .0且.：::0; (2) f(x) ：：： 0在x ：二 R上恒成立=a ::: 0且二:0 例2：若不等式(m -1)x2 (m -1)x 2 0的解集是R,求m的范圍。 m，所以要 解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù) 討論 m-1是否是0。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) (1) 當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為 2>0恒成立，滿足題意； "m -1 > 0 (2) m -1式0時(shí)，只需」。 ，所以，mw [1,9)。 苫=(m-1)2 -8(m-1) v0 三、利用函數(shù)的最值(或值域) (1) f(x)_m對任意 x 都成立=f(x)min - m ； (2) f(x)乞m對任意x都成立二 m _ f (x) max。簡單計(jì)作：“大的大于最大的，小的小于最小 的”。由此看出，本類問題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) — b 例 3：在.：ABC 中，已知 f(B)=4sinBsin2( ) cos2b,且 |f(B)-m|：：2恒成立，求實(shí) 4 2 數(shù)m的范圍。 解析：由 2兀 B f(B) =4sin Bsi n ( ) cos2B 二 2 si nB 1/' 0 ：： B ：：二，sin B (0,1]， f (B) (1,3]， 'mA f(B)—2.亠 "| f(B) —m|c2 恒成立，二—2 c f(B)—mc2，即」 恒成立，m^ (1,3] 世-教育網(wǎng) m< f(B)+2 例4：( 1)求使不等式a?sin x-cosx,x ? [0,二]恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。 3 ■ — 解析：由于函 a sinx-cosx =、2sin(x -才),x-號切?[-才 ]，顯然函數(shù)有最大值 .2， .a 、2。 如果把上題稍微改一點(diǎn)，那么答案又如何呢？請看下題： n n (2)求使不等式a sinx-cosx,x (0,)恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。 4 2 解析：我們首先要認(rèn)真對比上面兩個例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得 y -sinx-cosx的最大值取不到 -2，即a取 2 也滿足條件，所以a 2 。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用 于個人學(xué)習(xí) 所以，我們對這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值， 因?yàn)檫@直接關(guān)系到最后所求參數(shù) a的取值。 利用這種方法時(shí)，一般要求把參數(shù)單獨(dú)放在一側(cè)，所以也叫分離參數(shù)法。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué) 習(xí) 四：數(shù)形結(jié)合法 對一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。 例5：已知a ? 0,a = 1, f (x) = x? 一 ax,當(dāng)(-1,1)時(shí),有f (x)：：：、恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范 圍。 解析：由f (x) =x2 _ax ：：： \，得x2 - \ ax，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個函數(shù)的圖象，如 .丿 2 1 2 1 1 果兩個函數(shù)分別在 x=-1和x=1處相交，則由12 a及(-1)2 a得到a分別等于2和0.5， 2 2 并作出函數(shù)y =2x及y 的圖象，所以，要想使函數(shù)x2 -1 ::: ax在區(qū)間x?( — 1,1)中恒成立， 2 2 1 只須y =2x在區(qū)間(-1,1)對應(yīng)的圖象在y=x2 在區(qū)間(-1,1)對應(yīng)圖象的上面即可。 當(dāng) 2 1 1 a?1時(shí),只有a乞2才能保證，而0 ：：： a ：：： 1時(shí)，只有a 才可以，所以a?[―,1) (1,2]。文檔 2 2 收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) 由此可以看出，對于參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來解。利用函數(shù)圖象解題 時(shí)，思路是從邊界處(從相等處)開始形成的。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) 例6：若當(dāng)P(m,n)為圓x2 (y -1)2 =1上任意一點(diǎn)時(shí)，不等式 m ? n ? c_ 0恒成立，貝U c的取值 范圍是( ) A、-1 - .2 _c _ .2 -1 B、.2 -1 _c — 2 1 C、C — 2~1 D、C — i2-121 世紀(jì)教育網(wǎng) 解析：由 m ? n c - 0，可以看作是點(diǎn) P(m,n)在直線x y 0的右側(cè)，而點(diǎn) P(m,n)在圓 x2 (y -1)2 =1 上，實(shí)質(zhì)相當(dāng)于是x2 (y -1)2 -1在直線的右側(cè)并與它相離或相切。 ，故選D。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) 0 1 c 0 |0 1 c| c 一、2 -1 1 .、12 12 其實(shí)在習(xí)題中，我們也給出了一種解恒成立問題的方法，即求出不等式的解集后再進(jìn)行處理。 以上介紹了常用的五種解決恒成立問題。其實(shí)，對于恒成立問題，有時(shí)關(guān)鍵是能否看得出來題 就是關(guān)于恒成立問題。下面，給出一些練習(xí)題，供同學(xué)們練習(xí)。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí) 練習(xí)題：1、對任意實(shí)數(shù)x,不等式a si n x+bcosx+c > 0(a, b, c乏R)恒成立的充要條件是 [c a2 b2 ] 2、設(shè) y =lglg 2x 3x 9xa 7 在（―二,1］上有意義，求實(shí)數(shù) 5 a的取值范圍.［，?:：）。 9 1 3、當(dāng)x?（一,3）時(shí)，|Logax|：：：1恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是 3 ［來源 :21世紀(jì)教育網(wǎng)］ 4、已知不等式： — —-…… ?丄Loga（a -1廠2對一切大于1的自然數(shù)n恒成 n 1 n 2 n n 12 3 1 + J5 立，求實(shí)數(shù)a的范圍。［a，（1,丄 5）］ 2 11 / 9 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)