2012北京市高三二模文科數(shù)學(xué)分類匯編空間幾何體.doc
十九、空間幾何體(必修二、選修2-1)
1.(2012年西城二模 文13)一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為的兩個全等的等腰直角三角形,該幾何體的體積是_____;若該幾何體的所有頂點在同一球面上,則球的表面積是_____.
答案:,。
正視圖
俯視圖
側(cè)視圖
2.(2012年朝陽二模文6)如圖,一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為全等的等腰直角三角形,如果直 角三角形的直角邊長都為1,那么這個幾何體的表面積為( D )
A. B.
C. D.
主視圖
左視圖
2
2
俯視圖
2
3.(2012年昌平二模文4)已知空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( B )
A. B.
C. 4 D.
4.(2012年海淀二模文7)某幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示,左視圖與主視圖相同,且圖中的四邊形都是邊長為2的正方形,兩條虛線互相垂直,則該幾何體的體積是( A )
A. B.
C. D.
5.(2012年昌平二模文7)四面體的四個面的面積分別為、、、,記其中最大的面積為,則的取值范圍是( C )
A. B. C. (] D. []
6.(2012年東城二模文14) 已知四棱柱中,側(cè)棱
,,底面的邊長均大于2,且,點在底
面內(nèi)運動且在上的射影分別為,,若,則三棱錐
體積的最大值為____.
答案:。
7.(2012年豐臺二模文4)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分別是AA1,A1D1,
CC1,BC的中點,給出以下四個結(jié)論:①A1C⊥MN;②A1C∥平面MNPQ;③A1C與PM相交;④
NC與PM異面.其中不正確的結(jié)論是( B )
A.① B.② C.③ D.④
8.(2012年海淀二模文5)已知平面和直線,且,則“∥”是“∥”的( C )
A.充要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分不必要條件 D. 既不充分也不必要條件
9.(2012年西城二模 文4)設(shè),是不同的直線,,是不同的平面,且.
則“∥”是“∥且∥”的( A )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
10.(2012年東城二模文6)已知和是兩條不同的直線,和是兩個不重合的平面,
那么下面給出的條件中一定能推出 的是( B )
A.,且 B.∥,且
C.,且∥ D.,且∥
11.(2012年西城二模 文17)如圖,四棱錐中,,∥,,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)線段上是否存在點,使// 平面?若存在,求出;若不存在,說明理由.
證明:(Ⅰ)取中點,連結(jié),.
因為 ,所以 . ………2分
因為 ∥,,
所以 ∥,.
又因為 ,所以四邊形為矩形,
所以 . ………4分
因為 ,所以 平面. ……5分
所以 . …6分
解:(Ⅱ)點滿足,即為中點時,有// 平面.………7分
證明如下:取中點,連接,. ……8分
因為為中點,所以∥,.
因為∥,,所以∥,.
所以四邊形是平行四邊形,所以 ∥. ………11分
因為 平面,平面, ……12分
所以 // 平面. ………13分
12.(2012年朝陽二模文17)如圖,四邊形為正方形,平面,,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若點在線段上,且滿足, 求證:平面;(Ⅲ)試判斷直線與平面是否垂直?若垂 直,請給出證明;若不垂直,請說明理由.
證明:(Ⅰ)因為,所以與確定平面,
因為平面,所以. ………2分
由已知得且,
所以平面. ………3分
又平面,
所以. ………4分
(Ⅱ)過作,垂足為,連結(jié),則. .………5分
P
又,所以.
又且,所以.
.………6分
且,所以四邊形為平行四邊形.
所以.
又平面,平面,
所以平面. …9分
(Ⅲ)直線垂直于平面. …10分
證明如下:
由(Ⅰ)可知,.
在四邊形中,,,
所以,則.
設(shè),因為,故
則,即. ……12分
又因為,所以平面. ……13分
13.(2012年豐臺二模文17)如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,Q是棱上的動點.(Ⅰ)若Q是PA的中點,求證:PC//平面BDQ; (Ⅱ)若PB=PD,求證:BD⊥CQ;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若PA=PC,PB=3,∠ABC=60,求四棱錐P-ABCD的體積.
證明:(Ⅰ)連結(jié)AC,交BD于O.
因為 底面ABCD為菱形,
所以 O為AC中點.
因為 Q是PA的中點,
所以 OQ// PC,
因為OQ平面BDQ,PC平面BDQ,
所以PC//平面BDQ. …………5分
(Ⅱ)因為 底面ABCD為菱形,
所以 AC⊥BD,O為BD中點.
因為 PB=PD,
所以 PO⊥BD.
因為 PO∩BD =O,
所以 BD ⊥平面PAC.因為 CQ平面PAC,
所以 BD⊥CQ. …10分
(Ⅲ)因為 PA=PC,
所以 △PAC為等腰三角形 .
因為 O為AC中點,
所以 PO⊥AC.
由(Ⅱ)知 PO⊥BD,且AC∩BD =O,
所以 PO⊥平面ABCD,即PO為四棱錐P-ABCD的高.
因為四邊形是邊長為2的菱形,且∠ABC=60,
所以BO=,所以PO=.
所以 ,即. …14分
14.(2012年昌平二模文17)在正四棱柱中,為中點, 為中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)在上是否存在一點,使平面?若存在,請確定點的位置,并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.
證明:(Ⅰ)在正四棱柱中,取中點,連結(jié)
.
四邊形是平行四邊形.
.………2分
,
四邊形是平行四邊形.
.
為中點,
.
四邊形是平行四邊形. ………4分
.
.
,,
. ……… 6分
證明:(Ⅱ)在上存在一點,使平面
取中點,連結(jié) …7分
在正方形中,
. . ………9分
. .
. …11分
,
,.
平面.
故在CD上存在中點G,使得平面. …13分
15.(2012年東城二模文17) 如圖,矩形所在的平面與直角梯形所在的平面互相垂直,∥,.(Ⅰ)求證:平面∥平面;(Ⅱ)若,求證.
證明:(Ⅰ)因為//,平面,平面,
所以//平面. ………2分
因為是矩形,
所以//.
又 平面,平面,
所以//平面. ……4分
又,且,平面,
所以平面//平面. ……6分
(Ⅱ)因為是矩形,
所以.
因為,且,
所以.
因為,
所以. ………10分
因為,
所以. ………12分
因為,
所以. ………13分
16.(2012年海淀二模文17)在正方體中, 棱的中點分別是, 如圖所示.(Ⅰ)求證:∥平面;(Ⅱ)求證:平面;(Ⅲ)判斷點是否共面? 并說明理由.
證明:(Ⅰ)連接.
在正方體中,,∥.
所以 四邊形是平行四邊形.
所以 ∥.
因為 分別是的中點,
所以 ∥.
所以 ∥. ……2分
因為 是異面直線,
所以 平面.
因為 平面,
所以 ∥平面.………4分
證明:(Ⅱ)連接.
在正方體中,平面,平面,
所以 .
在正方形中,,
因為 平面,平面,,
所以 平面. ………6分
因為 平面,
所以 . ………7分
因為 ∥,
所以 .
同理可證:.
因為 平面,平面,,
所以 平面. ……9分
(Ⅲ)點不共面. 理由如下: ……10分
假設(shè)共面. 連接.
由(Ⅰ)知,∥,
因為 平面,平面.
所以 ∥平面.…12分
因為 ,
所以 平面平面.
因為 平面,
所以 ∥.
所以 ∥,而與相交,矛盾.
所以 點不共面. ……14分