二次函數(shù)( 含問題詳解)

word 二次函數(shù) 一、 知識梳理 1. 二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調(diào)性 在x∈上單調(diào)遞減； 在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞增； 在x∈上單調(diào)遞減 對稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－對稱 3. 思考辨析 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√〞或“×〞) (1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　) (2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函數(shù)．(　×　) (3)冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)．(　×　) (4)當(dāng)n>0時，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的增函數(shù)．(　×　) (5)假如函數(shù)f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上單調(diào)遞增，如此k＝±.(　×　) (6)f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，如此f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(　×　) 二、 根底自測 1．設(shè)b>0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為如下之一，如此a的值為(　　) A. B. C．1 D．－1 答案　D 解析　因?yàn)閎>0，故對稱軸不可能為y軸，由給出的圖可知對稱軸在y軸右側(cè)，故a<0，所以二次函數(shù)的圖象為第三個圖，圖象過原點(diǎn)，故a2－1＝0，a＝±1，又a<0，所以a＝－1，應(yīng)當(dāng)選D. 2． 函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，如此m的取值圍為________． 答案　[1,2] 解析　y＝x2－2x＋3的對稱軸為x＝1. 當(dāng)m<1時，y＝f(x)在[0，m]上為減函數(shù)． ∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2. ∴m＝1與m<1矛盾，舍去． 當(dāng)1≤m≤2時，ymin＝f(1)＝12－2×1＋3＝2，ymax＝f(0)＝3. 當(dāng)m>2時，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3，∴m＝0或m＝2，與m>2矛盾，舍去． 綜上所述，1≤m≤2. 3. (2014·)函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，假如對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，如此實(shí)數(shù)m的取值圍是________． 答案　(－，0) 解析　作出二次函數(shù)f(x)的草圖，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，如此有 即解得－<m<0. 三、 典型例題 題型一　二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例1　函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)當(dāng)a＝－2時，求f(x)的最值； (2)數(shù)a的取值圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)； (3)當(dāng)a＝1時，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間． 解　(1)當(dāng)a＝－2時，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]， ∴f(x)在[－4,2]上單調(diào)遞減，在[2,6]上單調(diào)遞增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. (3)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x2＋2x＋3， ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此時定義域?yàn)閤∈[－6,6]， 且f(x)＝ ∴f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6]， 單調(diào)遞減區(qū)間是[－6,0]． 【思維升華】　(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵都是考查對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)展分類討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題如此主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸進(jìn)展分析討論求解． 變式1 求函數(shù)在[0,2]上的值域. 變式2 (1)函數(shù)在區(qū)間上有最小值3,求. (2)二次函數(shù),假如在上的最小值為,求的表達(dá)式. 變式3 (1)如果函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，如此函數(shù)f(x)的最小值為________． (2)假如函數(shù)f(x)＝2x2＋mx－1在區(qū)間[－1，＋∞)上遞增，如此f(－1)的取值圍是________． 答案　(1)5　(2)(－∞，－3] 解析　(1)由題意知 得 如此f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5. (2)∵拋物線開口向上，對稱軸為x＝－， ∴－≤－1，∴m≥4. 又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]． 題型二　二次函數(shù)的應(yīng)用 例2　函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)假如函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間； (2)在(1)的條件下，f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求k的圍． 解　(1)由題意得f(－1)＝a－b＋1＝0，a≠0， 且－＝－1，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋1，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1]， 單調(diào)增區(qū)間為[－1，＋∞)． (2)f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為x2＋x＋1>k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立． 設(shè)g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，如此g(x)在[－3，－1]上遞減． ∴g(x)min＝g(－1)＝1. ∴k<1，即k的取值圍為(－∞，1)． 【思維升華】　有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．用函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點(diǎn)． 變式 函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)當(dāng)a＝－1時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值； (2)數(shù)a的取值圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)． 解　(1)當(dāng)a＝－1時，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]， 所以當(dāng)x＝1時，f(x)取得最小值1； 當(dāng)x＝－5時，f(x)取得最大值37. (2)函數(shù)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的圖象的對稱軸為直線x＝－a， 因?yàn)閥＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)， 所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5. 故a的取值圍是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 分類討論思想在二次函數(shù)最值中的應(yīng)用 例3f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值． 【思維點(diǎn)撥】　參數(shù)a的值確定f(x)圖象的形狀；a≠0時，函數(shù)f(x)的圖象為拋物線，還要考慮開口方向和對稱軸位置． 解　(1)當(dāng)a＝0時，f(x)＝－2x在[0,1]上遞減， ∴f(x)min＝f(1)＝－2.[2分] (2)當(dāng)a>0時，f(x)＝ax2－2x圖象的開口方向向上，且對稱軸為x＝. ①當(dāng)≤1，即a≥1時，f(x)＝ax2－2x圖象的對稱軸在[0,1]， ∴f(x)在[0，]上遞減，在[，1]上遞增． ∴f(x)min＝f()＝－＝－.[6分] ②當(dāng)>1，即0<a<1時，f(x)＝ax2－2x圖象的對稱軸在[0,1]的右側(cè)， ∴f(x)在[0,1]上遞減． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.[9分] (3)當(dāng)a<0時，f(x)＝ax2－2x的圖象的開口方向向下， 且對稱軸x＝<0，在y軸的左側(cè)， ∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上遞減． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.[11分] 綜上所述，f(x)min＝ 【提示】　(1)此題在求二次函數(shù)最值時，用到了分類討論思想，求解中既對系數(shù)a的符號進(jìn)展了討論，又對對稱軸進(jìn)展討論．在分類討論時要遵循分類的原如此：一是分類的標(biāo)準(zhǔn)要一致，二是分類時要做到不重不漏，三是能不分類的要盡量防止分類，絕不無原如此的分類討論． (2)在有關(guān)二次函數(shù)最值的求解中，假如軸定區(qū)間動，仍應(yīng)對區(qū)間進(jìn)展分類討論. 變式 求f(x)＝x2－2ax－1在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值． 解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，對稱軸為x＝a. (1) 當(dāng)a<0時，由圖①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a (2)當(dāng)0≤a1時，由圖②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a. (3)當(dāng)1<a≤2時，由圖③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1 (4)當(dāng)a>2時，由圖④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1. 綜上，(1)當(dāng)a<0時，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a； (2)當(dāng)0≤a1時，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a； (3)當(dāng)1<a≤2時，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1； (4)當(dāng)a>2時，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1 【課堂總結(jié)】 方法與技巧 1．二次函數(shù)的三種形式 (1)三個點(diǎn)的坐標(biāo)時，宜用一般式． (2)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)的量時，常使用頂點(diǎn)式． (3)二次函數(shù)與x軸有兩個交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)時，選用零點(diǎn)式求f(x)更方便． 2．二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉(zhuǎn)化的一般規(guī)律 (1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號四個方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解 【失誤與防】 1．對于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當(dāng)題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況． 2．冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多能同時出現(xiàn)在兩個象限；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，如此交點(diǎn)一定是原點(diǎn). 專項(xiàng)訓(xùn)練〔A組〕 1．如果函數(shù)f(x)＝x2－ax－3在區(qū)間(－∞，4]上單調(diào)遞減，如此實(shí)數(shù)a滿足的條件是(　　) A．a(chǎn)≥8 B．a(chǎn)≤8 C．a(chǎn)≥4 D．a(chǎn)≥－4 答案　A 解析　函數(shù)圖象的對稱軸為x＝，由題意得≥4，解得a≥8. 2．一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是(　　) 答案　C 解析　假如a>0，如此一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的開口向上，故可排除A； 假如a<0，一次函數(shù)y＝ax＋b為減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c開口向下，故可排除D； 對于選項(xiàng)B，看直線可知a>0，b>0，從而－<0，而二次函數(shù)的對稱軸在y軸的右側(cè)，故應(yīng)排除B，因此選C. 3．假如函數(shù)f(x)＝x2－ax－a在區(qū)間[0,2]上的最大值為1，如此實(shí)數(shù)a等于(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 答案　B 解析　∵函數(shù)f(x)＝x2－ax－a的圖象為開口向上的拋物線， ∴函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得． ∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a， ∴或解得a＝1. 4. 對于任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒為正值，如此a的取值圍是________． 答案　(－4,4) 解析　由題意得 解得－4<a<4. 5. 設(shè)函數(shù)y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函數(shù)的最小值g(a)． 解　∵函數(shù)y＝x2－2x＝(x－1)2－1. ∴對稱軸為直線x＝1，而x＝1不一定在區(qū)間[－2，a]，應(yīng)進(jìn)展討論． 當(dāng)－2<a<1時，函數(shù)在[－2，a]上單調(diào)遞減． 如此當(dāng)x＝a時，ymin＝a2－2a； 當(dāng)a≥1時，函數(shù)在[－2,1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增，如此當(dāng)x＝1時，ymin＝－1. 綜上，g(a)＝ 6. 二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f(x)>－2x的解集為(1,3)．假如方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的根，求f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解　∵f(x)＋2x>0的解集為(1,3)， 設(shè)f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0， ∴f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.① 由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.② ∵方程②有兩個相等的根， ∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0， 解得a＝1或a＝－.由于a<0，舍去a＝1. 將a＝－代入①式得 f(x)＝－x2－x－＝－(x＋3)2＋， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－3]，單調(diào)減區(qū)間是[－3，＋∞)． 專項(xiàng)訓(xùn)練〔B組〕 7．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且f(m)≤f(0)，如此實(shí)數(shù)m的取值圍是(　　) A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2] 答案　D 解析　二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，如此a≠0，f′(x)＝2a(x－1)<0，x∈[0,1]， 所以a>0，即函數(shù)的圖象開口向上，又因?yàn)閷ΨQ軸是直線x＝1. 所以f(0)＝f(2)，如此當(dāng)f(m)≤f(0)時，有0≤m≤2. 8. 對于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*〞：a*b＝設(shè)f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且關(guān)于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，如此m的取值圍是________． 答案　(0，) 解析　由題意得f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝ 即 如下列圖，關(guān)于x的方程f(x)＝m恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝m有三個不同的交點(diǎn)，如此0<m<. 9. 函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)． (1)假如函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值； (2)假如a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值圍． 解　(1)由c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2. ∴f(x) ＝(x＋1)2. ∴F(x)＝∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)f(x)＝x2＋bx，原命題等價于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立， 即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立． 又x∈(0,1]時，－x的最小值為0，－－x的最大值為－2. ∴－2≤b≤0. 故b的取值圍是[－2,0]． 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，假如a＝c，如此函數(shù)f(x)的圖象不可能是(　　) 答案　D 解析　由A，B，C，D四個選項(xiàng)知，圖象與x軸均有交點(diǎn)，記兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，假如只有一個交點(diǎn)，如此x1＝x2.因?yàn)閍＝c，所以x1x2＝＝1，比擬四個選項(xiàng)，可知選項(xiàng)D的x1<－1，x2<－1，所以D不滿足． 12 / 12