2019屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專項(xiàng)二 解答題專項(xiàng) 十、二次函數(shù)與幾何圖形綜合題課件.ppt

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專項(xiàng)二解答題專項(xiàng) 十 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 針對(duì)陜西中考第24題 中考解讀 中考解讀 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題為陜西中考解答題必考題 題位為第24題 分值為10分 涉及求點(diǎn)的坐標(biāo) 求函數(shù)解析式 利用待定系數(shù)法 三角形的全等和相似的性質(zhì)和判定 等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)和判定 特殊四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 的性質(zhì)和判定 點(diǎn)的存在性 兩點(diǎn)之間線段最短 垂線段最短 面積的最值等 這類題目結(jié)構(gòu)新穎 形式美觀 動(dòng)靜結(jié)合 解法活而不難 但有較強(qiáng)的綜合性 要逐步突破 其主要考查類型為 1 二次函數(shù)與圖形判定 2 二次函數(shù)與相似三角形 全等三角形 3 二次函數(shù)與圖形面積 4 二次函數(shù)與圖形變換 5 二次函數(shù)與最值問題 解答題專項(xiàng) 核心素養(yǎng)及解題思想和方法1 核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)運(yùn)算 直觀想象 2 數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想 3 常用解題方法 代數(shù)法和幾何法 類型1二次函數(shù)與圖形判定 解答題專項(xiàng) 代數(shù)模型一 平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離公式 代數(shù)模型二 中點(diǎn)坐標(biāo)公式 解答題專項(xiàng) 代數(shù)模型三 平行四邊形四頂點(diǎn)坐標(biāo)模型 解答題專項(xiàng) 幾何模型一 兩圓一線法 精確定位 兩定一動(dòng) 型等腰三角形 含等邊三角形 存在性問題中的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) 問題情境 如圖 已知點(diǎn)A B和直線l 在l上求作點(diǎn)P 使 PAB為等腰三角形 問題探究 如圖 分別以點(diǎn)A B為圓心 以線段AB為半徑作圓 再作線段AB的中垂線 兩圓和AB的中垂線分別與直線l的交點(diǎn)均為符合條件的P點(diǎn) 問題解決 利用 兩圓一線 法確定符合條件的動(dòng)點(diǎn) 然后分別表示出點(diǎn)A B P的坐標(biāo) 再表示出線段AB AP BP的長(zhǎng)度 由三條線段關(guān)系 AB AP或AB BP或PA PB 建立等量關(guān)系 解決問題 等量關(guān)系可利用 1 勾股定理建立 2 方程思想建立 3 成比例線段或相似關(guān)系建立 解答題專項(xiàng) 幾何模型特例一在平面直角坐標(biāo)系中 已知點(diǎn)A 3 0 B 0 4 在x軸上找一點(diǎn)P 使 ABP為等腰三角形 求滿足條件的所有P點(diǎn)坐標(biāo) 方法一 代數(shù)法 由于動(dòng)點(diǎn)P在x軸上 設(shè)P m 0 由兩點(diǎn)距離公式表示AB AP BP 然后列方程可得 舉一反三 如果P點(diǎn)在坐標(biāo)軸上 滿足條件的點(diǎn)有幾個(gè) 方法二 兩圓一線 法精確定位 可直接口算出圓與x軸交點(diǎn)坐標(biāo) 一線 與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)可用勾股定理構(gòu)建方程求解 如圖 由勾股定理可知AB 5 當(dāng)AB AP1 AP3 5時(shí) 易得P1 8 0 P3 2 0 當(dāng)AB BP4時(shí) P4 3 0 當(dāng)AP2 BP2時(shí) 設(shè)在Rt P2OB中 P2 m 0 由勾股定理 得 m 3 2 m2 42 解得m 76 所以P2 解答題專項(xiàng) 幾何模型二 一圓兩線 法 精確定位 兩定一動(dòng) 型直角三角形存在性問題中的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) 問題情境 如圖 已知點(diǎn)A B和直線l 在l上求作點(diǎn)P 使 PAB為直角三角形 問題探究 如圖 先以AB為直徑作圓與直線l相交 再分別過A B作線段AB的垂線 垂線和圓與直線l的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn) 問題解決 分別表示出點(diǎn)A B P的坐標(biāo) 再表示出線段AB AP BP的長(zhǎng)度 根據(jù)圖形特殊性分別建立等量關(guān)系 等量關(guān)系可利用 1 AB2 AP2 BP2或AP2 AB2 BP2或BP2 AB2 AP2 即勾股定理 2 相似 常見一線三等角 3 三角函數(shù) 解答題專項(xiàng) 幾何模型特例二如圖11 在平面直角坐標(biāo)系中 已知點(diǎn)A 3 0 B 0 4 在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C 使 ABC為直角三角形 求滿足條件的所有C點(diǎn)坐標(biāo) 簡(jiǎn)析 本例可采用 代數(shù)法 借助兩點(diǎn)距離公式 用勾股定理建立等量模型 分類討論求解 也可采用 一圓兩線 法 方法一 代數(shù)法 利用兩點(diǎn)距離公式分別表示出AB AC BC 然后利用勾股定理建立等量關(guān)系即可解決問題 解答題專項(xiàng) 方法二 一圓兩線 法 如圖12 精確畫圖后 利用相似或勾股定理求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo) 通解通法 解特殊三角形點(diǎn)的存在性問題有兩種方法 1 代數(shù)法盲解盲算 代數(shù)法一般分三步 羅列三邊長(zhǎng) 分類列方程 等量關(guān)系有勾股定理 相似 三角函數(shù)等 求解并檢驗(yàn) 2 幾何法 即 兩圓一線 和 一圓兩線 精準(zhǔn)定位 分三步 分類 畫圖 計(jì)算 解題過程中 二者有效結(jié)合 有力彰顯數(shù)形結(jié)合思想 幾何模型三 平行線構(gòu)造 法 精確確定 三定一動(dòng) 型或 兩定兩動(dòng) 型特殊四邊形 包括菱形 矩形 正方形 這里以平行四邊形為例 存在性問題 問題情境 如圖13 已知平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A B C或兩點(diǎn)A B 求作一點(diǎn)或兩點(diǎn)C P 使得A B C P四個(gè)點(diǎn)組成平行四邊形 問題探究 1 如圖14 順次連接AB BC CA 分別過A B C作對(duì)邊的平行線 三條平行線交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P 解答題專項(xiàng) 2 對(duì)于已知兩點(diǎn) 求兩點(diǎn)C P 題目中的C P兩動(dòng)點(diǎn)位置受某種條件約束 如圖15 若以AB為一邊 根據(jù)題目約束條件 可將AB進(jìn)行上下左右平移 找到適合條件的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 如圖16 若以AB為對(duì)角線 找出AB中點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)經(jīng)過中點(diǎn)的直線 尋找適合條件的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 問題解決 1 用四頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解決 三定一動(dòng) 平行四邊形存在性問題的方法 直接利用平行四邊形四頂點(diǎn)坐標(biāo)模型為等量關(guān)系列方程求出P點(diǎn)坐標(biāo) 2 轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的平移 平行 的幾何模型求出點(diǎn)的坐標(biāo) 2 用四頂點(diǎn)坐標(biāo)模型解決 兩定兩動(dòng) 平行四邊形存在性問題的方法 首先確定已知兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo) 設(shè)出一個(gè)特殊位置的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) 然后確定相對(duì)頂點(diǎn) 分三種情況分類討論 把第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示 最后代入相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式即可求出待定點(diǎn)的坐標(biāo) 解答題專項(xiàng) 幾何模型特例三如圖17 在平面直角坐標(biāo)系中 已知點(diǎn)A 1 0 B 2 2 C 0 3 在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)D 使得以A B C D四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形 簡(jiǎn)析 如圖18 分別過A B C三點(diǎn)作對(duì)邊的平行線 三條平行線互相交于點(diǎn)D1 D2 D3 方法一 如圖19 以D1點(diǎn)為例 在平行四邊形ABD1C中 以AB為一邊時(shí) 設(shè)D1 xD yD 這里點(diǎn)A與點(diǎn)D1 點(diǎn)C與點(diǎn)B為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn) 利用四頂點(diǎn)坐標(biāo)公式 易得D1 解答題專項(xiàng) 點(diǎn)坐標(biāo) 以D3點(diǎn)為例 AB為對(duì)角線 這里點(diǎn)A與點(diǎn)B 點(diǎn)C與點(diǎn)D3為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn) 用上述方法易得D3點(diǎn)坐標(biāo) 方法二 平移法 如圖19 以AB為一邊時(shí) 以D1點(diǎn)為例 首先確定點(diǎn)D1與點(diǎn)C在同一條直線上 且CD1 AB 故A 1 0 平移法 秒殺D1點(diǎn)坐標(biāo) 本題還可以利用點(diǎn)D1與點(diǎn)B在同一條直線上 且得D1點(diǎn)坐標(biāo) 以AB為對(duì)角線時(shí) 以D3點(diǎn)為例 通過構(gòu)造 BGD3 COA 易得D3點(diǎn)坐標(biāo) 通解通法 平行四邊形的存在性問題 可以利用上述 平行線 構(gòu)造法和對(duì)角線互相平分來精確確定適合條件的點(diǎn)的存在性問題 然后利用全等或平移 平行 相關(guān)性質(zhì)求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo) 也可以利用代數(shù)模型求解 三定一動(dòng) 或 兩定兩動(dòng) 平行四邊形存在性問題代數(shù)法求解步驟 1 寫出或設(shè)出三個(gè) 兩個(gè) 頂點(diǎn)的坐標(biāo) 2 確定對(duì)應(yīng)頂點(diǎn) 利用對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)建立等量關(guān)系 直接求出或用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 3 將設(shè)出的點(diǎn)的坐標(biāo)代入相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式 求出待定點(diǎn)的坐標(biāo) 解答題專項(xiàng) 例1如圖 拋物線y 2x2 bx c與x軸交于A 2 0 B 1 0 兩點(diǎn) 交y軸于點(diǎn)C 1 求該拋物線的解析式 2 在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P 使 BCP為等腰三角形 若存在 求出P點(diǎn)坐標(biāo) 若不存在 說明理由 解答題專項(xiàng) 解答題專項(xiàng) 解答題專項(xiàng) 解答題專項(xiàng) 類型2二次函數(shù)與相似三角形 全等三角形 核心素養(yǎng)及解題思想和方法1 核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)運(yùn)算 直觀想象 2 常用解題思想 數(shù)形結(jié)合思想 分類討論思想 方程思想 3 常用解題方法 代數(shù)法和幾何法 代數(shù)模型1 如果給定的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同 如 x1 y x2 y 則可以得到對(duì)稱軸為直線x 2 一次函數(shù)y kx n k 0 的圖像l與二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖像C的交點(diǎn) 由方程組的解的數(shù)目來確定 1 方程組有兩組不同的解時(shí) l與C有兩個(gè)交點(diǎn) 2 方程組只有一組解時(shí) l與C只有一個(gè)交點(diǎn) 3 方程組無解時(shí) l與C沒有交點(diǎn) 解答題專項(xiàng) 幾何模型 三角形相似模型 解答題專項(xiàng) 知識(shí)必備及方法歸納 1 相似的判定 a 兩邊對(duì)應(yīng)成比例 夾角相等的兩個(gè)三角形相似 b 兩角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形相似 c 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似 d 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似 e 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例 那么這兩個(gè)直角三角形相似 2 相似 與 一般地 若 ABC與 DEF相似 則不存在對(duì)應(yīng)關(guān)系 需分類討論 若 ABC DEF 則具備對(duì)應(yīng)關(guān)系 只有一種情況 不需討論 通解通法 1 兩個(gè)定三角形是否相似 1 已知一角相等 等角分顯性和隱性 方法為 運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出已知角的兩條夾邊 若是 相似 對(duì)應(yīng)成比例有兩種情況 分類求解 若是 則對(duì)應(yīng)成比例只有一種情形 利用定角定比結(jié)論 即確定的角 其三角函數(shù)值確定 巧用三角函數(shù)求解 2 若無角相等的情形 運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩個(gè)三角形各邊的長(zhǎng) 看看是否成比例 若成比例 則相似 否則不相似 解答題專項(xiàng) 2 一個(gè)定三角形和動(dòng)三角形相似 1 已知有一個(gè)角相等的情形 先借助于相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式 把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出來 用字母表示 然后把兩個(gè)目標(biāo)三角形 題中要求相似的那兩個(gè)三角形 中相等的那個(gè)已知角作為夾角 分別計(jì)算或表示出夾角的兩邊 讓形成相等的夾角的那兩邊對(duì)應(yīng)成比例 要注意是否有兩種情況 列出方程 解此方程即可求出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo) 進(jìn)而求出縱坐標(biāo) 注意去掉不合題意的點(diǎn) 2 未知是否有一角相等的情形 這種情形在相似中屬于高端問題 破解方法是 在定三角形中 由各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出定三角形三邊的長(zhǎng)度 用觀察法得出某一個(gè)角可能是特殊角 再為該角尋找一個(gè)直角三角形 用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù) 在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用字母表示后 分析在動(dòng)三角形中哪個(gè)角可以和定三角形中的那個(gè)特殊角相等 借助特殊角 為動(dòng)點(diǎn)尋找一個(gè)直角三角形 求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) 從而轉(zhuǎn)化為已知有一個(gè)角相等的兩個(gè)定三角形是否相似的問題 只需再驗(yàn)證已知角的兩邊是否成比例 若成比例 則所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)符合題意 否則這樣的點(diǎn)不存在 簡(jiǎn)稱 找特角 求 動(dòng) 點(diǎn)標(biāo) 再驗(yàn)證 或稱為 一找角 二求標(biāo) 三驗(yàn)證 解答題專項(xiàng) 例2如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 直線y x 2與x軸交于點(diǎn)A 與y軸交于點(diǎn)C 拋物線y ax2 bx c的對(duì)稱軸是直線x 且經(jīng)過A C兩點(diǎn) 與x軸的另一交點(diǎn)為B 1 直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo) 求拋物線的解析式 2 拋物線上是否存在點(diǎn)M 過點(diǎn)M作MN x軸于點(diǎn)N 使得以點(diǎn)A M N為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似 若存在 求出點(diǎn)M的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 解答題專項(xiàng) 解答題專項(xiàng) 解答題專項(xiàng) 類型3二次函數(shù)與圖形面積核心素養(yǎng)及解題思想和方法1 核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)運(yùn)算 直觀想象 2 數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想 3 常用解題方法 寬高模型和平行線構(gòu)造模型 代數(shù)模型 解答題專項(xiàng) 幾何模型寬高模型如圖 已知 ABC 分別過A B C三點(diǎn)向水平直線l作垂線 垂足分別為D E F AE交BC于點(diǎn)K 設(shè)DF a AK h 則S ABC h a 我們把DF叫水平寬 AK叫鉛垂高 結(jié)論推導(dǎo) 任意三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半 平行線構(gòu)造模型如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 拋物線交x軸于A B 點(diǎn)C在x軸下方的拋物線上 在拋物線上找一點(diǎn)P 使S ACP S ACB 平行構(gòu)圖 因?yàn)?ACP和 ACB同底 若面積相等 則高線相等 所以過B點(diǎn)在AC上方作直線l1 AC 在AC下方作直線l2 AC 且直線l1 l2到AC距離相等 其他倍比關(guān)系同上法 解答題專項(xiàng) 通解通法 設(shè)拋物線解析式為y ax2 bx c 直線AC的解析式為y kx m 1 如圖 水平寬鉛垂高模型 以P2點(diǎn)為例 首先設(shè)出待求點(diǎn)P2的坐標(biāo)為 x ax2 bx c G x kx m S ACP S ACB 同底 則鉛垂高相等 P2G kx m ax2 bx c 那么 yc kx m ax2 bx c 列方程求解 2 如圖 因?yàn)閘1 AC 以P1為例 利用平行關(guān)系和點(diǎn)B坐標(biāo) 求出直線l1解析式 然后聯(lián)立直線l1解析式與拋物線解析式 解方程組得出P1點(diǎn)坐標(biāo) 解答題專項(xiàng) 例3 2015 陜西中考 在平面直角坐標(biāo)系中 拋物線y x2 5x 4的頂點(diǎn)為M 與x軸交于A B兩點(diǎn) 與y軸交于C點(diǎn) 1 求點(diǎn)A B C的坐標(biāo) 2 求拋物線y x2 5x 4關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的拋物線的函數(shù)解析式 3 設(shè) 2 中所求拋物線的頂點(diǎn)為M 與x軸交于A B 兩點(diǎn) 與y軸交于C 點(diǎn) 在以A B C M A B C M 這八個(gè)點(diǎn)中的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形中 求其中一個(gè)不是菱形的平行四邊形的面積 解答題專項(xiàng) 解答題專項(xiàng) 類型4二次函數(shù)與圖形變換核心素養(yǎng)及解題思想和方法1 核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)運(yùn)算 直觀想象 2 數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想 3 平移模型 旋轉(zhuǎn)模型和軸對(duì)稱模型 一 平移模型如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)A 0 yA B xB 0 C xC 0 將 ABC向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度 再向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度 此時(shí)點(diǎn)A m yA n B xB m n C xC m n 注 平移不改變圖形的形狀和大小 解答題專項(xiàng) 通解通法 1 知識(shí)必備 根據(jù)圖形平移的性質(zhì) 平移不改變圖形的形狀和大小 拋物線平移的過程中 形狀 大小 開口均不變 即a的值不變 2 如圖 拋物線C1 y ax2 bx c向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度 再向上平移n個(gè)單位長(zhǎng)度 求平移后的拋物線C2的解析式或滿足某個(gè)特殊圖形相應(yīng)條件的問題 解法 當(dāng)平移距離一定時(shí) 拋物線C1平移到拋物線C2后 易得點(diǎn)C 的坐標(biāo) a的值不變 設(shè)C2 y ax2 b x c 利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出待定系數(shù)b c 的值 當(dāng)平移距離待定時(shí) 設(shè)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo) 利用特殊圖形的性質(zhì) 列方程建立等量關(guān)系解題 二 旋轉(zhuǎn)模型如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)A 0 yA B xB 0 C xC 0 將 ABC繞點(diǎn)B順 解答題專項(xiàng) 或逆 時(shí)針旋轉(zhuǎn)180 此時(shí)點(diǎn)A 2xB yA C 2xB xC 0 注 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小 通解通法 1 知識(shí)必備 初中階段旋轉(zhuǎn)一般旋轉(zhuǎn)180 實(shí)際上指的是關(guān)于某個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小 拋物線在旋轉(zhuǎn)過程中 形狀 大小不變 開口方向相反 兩拋物線關(guān)于某個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱 特例 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 a的值變?yōu)橄喾磾?shù) 頂點(diǎn)的橫 縱坐標(biāo)互為相反數(shù) 2 如圖 拋物線C1 y ax2 bx c繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180 得到拋物線C2 求旋轉(zhuǎn)后的拋物線C2的解析式或滿足某個(gè)特殊圖形相應(yīng)條件的問題 解法 1 確定原拋物線的旋轉(zhuǎn)中心 2 拋物線C2的二次項(xiàng)系數(shù)為 a 利用中心對(duì)稱的性質(zhì)構(gòu)造全等求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)或設(shè)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo) 利用特殊圖形的性質(zhì) 列方程建立等量關(guān)系解題 解答題專項(xiàng) 三 軸對(duì)稱模型如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)A 0 yA B xB 0 C xC 0 ABC與 AB C 關(guān)于y軸對(duì)稱 此時(shí)點(diǎn)B xB 0 C xC 0 注 軸對(duì)稱又稱折疊 對(duì)稱或翻折 通解通法 1 知識(shí)必備 根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì) 成軸對(duì)稱圖形的兩個(gè)圖形 形狀 大小不變 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分 如圖 拋物線C1 y ax2 bx c沿直線x m對(duì)折得到拋物線C2 求折疊后的拋物線C2的解析式或滿足某個(gè)特殊圖形相應(yīng)條件的問題 解法 1 確定原拋物線特殊點(diǎn)的坐標(biāo) 2 拋物線C2的二次項(xiàng)系數(shù)為a 利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩拋物線的對(duì)稱軸 求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)或設(shè)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo) 利用特殊圖形的性質(zhì) 列方程建立等量關(guān)系解題 解答題專項(xiàng) 例4如圖 已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中 已知拋物線y x2 bx c經(jīng)過點(diǎn)A 2 2 對(duì)稱軸是直線x 1 頂點(diǎn)為B 1 求這條拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo) 2 點(diǎn)M在對(duì)稱軸上 且位于頂點(diǎn)上方 設(shè)它的縱坐標(biāo)為m 連接AM 用含m的代數(shù)式表示 AMB的正切值 3 將該拋物線向上或向下平移 使得新拋物線的頂點(diǎn)C在x軸上 原拋物線上一點(diǎn)P平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q 如果OP OQ 求點(diǎn)Q的坐標(biāo) 解答題專項(xiàng) 解答題專項(xiàng) 類型5二次函數(shù)與線段最值 面積最值問題核心素養(yǎng)及解題思想和方法1 核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)運(yùn)算 直觀想象 2 數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)形結(jié)合思想 分類討論思想 轉(zhuǎn)化思想 3 常用解題方法 代數(shù)法和幾何法 一 二次函數(shù)與線段最值問題常見模型一 問題情境 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 拋物線與x軸交于A B兩點(diǎn) 與y軸交于點(diǎn)C 在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P 使PA PC的值最小或 PA PC 的值最大 求適合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)或最值 通解通法 1 知識(shí)必備 1 兩點(diǎn)之間 線段最短 2 二次函數(shù)頂點(diǎn)式 2 拋物線中的 兩定一動(dòng) 型 將軍飲馬 和線段之差最大問題 解答題專項(xiàng) 問題解決 1 拋物線上的將軍飲馬 1 找點(diǎn) 如圖 找出點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A 連接A C與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P 點(diǎn)P即為所求 2 說理 在 APC中 AC為定值 要使周長(zhǎng)最小 那么AP CP最小即可 由軸對(duì)稱的性質(zhì) 得AP A P 即AP CP A P CP A C 最小 3 求解 代數(shù)法 用兩點(diǎn)的距離公式分別求出A C和AC的長(zhǎng) 可得最小周長(zhǎng) 然后利用直線A C的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 幾何法 用勾股定理分別求出A C和AC的長(zhǎng) 可得最小周長(zhǎng) 然后利用相似即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 2 線段之差最大 1 找點(diǎn) 如圖 延長(zhǎng)AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P 則 PA PC 的值最大 2 說理 在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P 連接PC PA 當(dāng)A C P三點(diǎn)不在同一直線上時(shí) PA PC AC 當(dāng)A C P三點(diǎn)在同一直線上時(shí) PA PC AC PA PC AC 3 求解 求出直線AC的解析式 運(yùn)用勾股定理即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 解答題專項(xiàng) 常見模型二 問題情境 1 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B 與y軸交于點(diǎn)C 頂點(diǎn)坐標(biāo)為F 點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一點(diǎn) 點(diǎn)H為BF上一點(diǎn) 求BP PH的最小值 2 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B 與y軸交于點(diǎn)C 點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn)C到BP的距離最大時(shí) 求滿足條件的直線BP的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo) 通解通法 1 知識(shí)必備 1 垂線段最短 2 在直角三角形中 斜邊大于直角邊 2 拋物線中 一定兩動(dòng) 型和 斜大于直 問題 解答題專項(xiàng) 問題解決 1 一定兩動(dòng) 型問題 1 找點(diǎn) 如圖 要求BP PH最短 由題意可知 B為定點(diǎn) P H為特定條件的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) 方法為 找出點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A 過點(diǎn)A作AH BF交BF于點(diǎn)H 交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P 點(diǎn)P即為所求 2 說理 由作圖可知 PB PA BP PH AH 又 AH BF AH最短 BP PH的值最小 3 求解 先求出直線BF的解析式 由AH BF求出直線AH的解析式 點(diǎn)P在對(duì)稱軸上 利用AH的解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可解決問題 2 斜大于直 問題 如圖 由題意 得C B兩點(diǎn)確定 相當(dāng)于直線BP繞BC旋轉(zhuǎn)過程中 當(dāng)BP CB時(shí) 點(diǎn)C到BP的距離最大 理論依據(jù) 斜大于直 方法為 先求出BC的解析式 再由BP BC求出BP的解析式 然后聯(lián)立BP與拋物線的解析式 即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo) 此外 二次函數(shù)與滿足某一條件的鉛垂高最大問題也是中考經(jīng)?？疾榈念}目 常與面積最值問題結(jié)合考查 這里不再一一贅述 解答題專項(xiàng) 二 二次函數(shù)與面積最值問題常見模型三 問題情境 在平面直角坐標(biāo)系中 如圖 拋物線y ax2 bx c與x軸交于A B兩點(diǎn) 與y軸交于點(diǎn)D 在拋物線上找一點(diǎn)C 使得 ACD的面積最大 求點(diǎn)C的坐標(biāo)或S ACD的面積的最大值 通解通法 1 知識(shí)必備 1 S 底 高 水平寬 鉛垂高 2 二次函數(shù)頂點(diǎn)式 3 符合某種條件的一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立求交點(diǎn)坐標(biāo)和一元二次方程根的判別式 4 兩直線平行時(shí) k值相等 斜率相等 2 拋物線中 兩定一動(dòng) 型面積問題 注 一動(dòng)實(shí)際上是滿足條件的唯一點(diǎn)的存在問題探究 本質(zhì)上屬于特殊定點(diǎn)的存在性問題 解答題專項(xiàng) 問題解決 首先設(shè)出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo) x ax2 bx c 方法1 割補(bǔ)法 把所求圖形的面積適當(dāng)割補(bǔ) 轉(zhuǎn)化成有利于面積表達(dá)的常規(guī)幾何圖形 解析 如圖 過點(diǎn)C作x軸的垂線 交x軸于點(diǎn)F S ACD S四邊形AODC S梯形CFOD S CDE S AEF 實(shí)際上采用的是轉(zhuǎn)化思想 化斜為直法解題 方法2 平寬垂高 模型 此種解法思路更為簡(jiǎn)潔 如圖 水平寬 AO 鉛垂高 CE 易得直線AD的解析式 由已知設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)得出點(diǎn)E的坐標(biāo) CE的長(zhǎng)度很容易用代數(shù)式表示出來 AO已知 則用 平寬垂高 易建立S ACD與x之間的二次函數(shù)表達(dá)式 配成頂點(diǎn)式 則易得點(diǎn)C的坐標(biāo)或 ACD面積的最大值 解答題專項(xiàng) 方法3 切線法模型 若要使 PBC的面積最大 只需要BC的高最大 過點(diǎn)P作BC的平行線l 當(dāng)直線l與拋物線有唯一交點(diǎn)時(shí) BC的高最大 此時(shí) PBC的面積最大 先求出直線BC的解析式 由直線l BC 可得k的值相等 再將直線l的解析式與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立后 令b2 4ac 0時(shí) 利用方程求解 得出直線l中b的值 易得結(jié)論 滿足特征的面積最值問題除了以上常用方法以外 有時(shí)還可以根據(jù)題目特點(diǎn)通過靈活轉(zhuǎn)化角的方法運(yùn)用三角函數(shù)解決問題 解答題專項(xiàng) 例5已知拋物線y 2x2 bx c與y軸交于點(diǎn)B 0 4 與x軸交于點(diǎn)A 2 0 拋物線的頂點(diǎn)為D 1 求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C D的坐標(biāo) 2 連接BC 在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P 使 CPB的周長(zhǎng)最小 若存在 求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 3 點(diǎn)M為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 過點(diǎn)M作ME x軸 交x軸于點(diǎn)E 交拋物線于點(diǎn)F 線段MF是否存在最大值 若存在 求出最大值 若不存在 請(qǐng)說明理由 解答題專項(xiàng)